精品解析：山东省泰安市泰山外国语学校复读部2025届高三上学期8月测试数学试题

泰山外国语学校复读部数学学科 考试时间：80分钟； 一、单选题 1. 设是任意实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式和取特殊值，分别判断充分性和必要性，从而得到答案. 【详解】根据基本不等式可知， 所以由可以得到， 当，，时，满足，但不满足 所以由不能得到， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，充分而不必要条件的判断，属于简单题. 2. 下列说法正确的是 ( ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 命题“若，则”的逆命题是真命题 D. 命题“若，则或”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】对每一个选项逐一判断真假得解. 【详解】对于A，当时，，不能得出，不能得出，充分性不成立，故A错误； 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B错误； 对于C，命题“若，则”的逆命题是“若，则”，当时不成立，所以是假命题，故C错误； 对于D，命题“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，是真命题，故D正确． 故选：D. 3. 函数的值域为R．则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 4. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式和对数函数不等式求出集合，由并集的定义求解即可. 【详解】由可得：，所以， 由可得：，所以，所以. 故选：D 5. 已知二次函数（为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A. B. 1 C. 2或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得的值即可． 【详解】∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数在处取得最小值， 又函数值y的最小值为，∴当时，，∴，解得： 故选：C． 6. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得，利用基本不等式运算求解，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可知：均为正实数， 设，则，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，即，所以的最小值为2. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，再结合基本不等式求得. 7. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式求得最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】, ，且a,b为正数， ， 当且仅当，即时，， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题. 8. 设正数满足，当时，恒有，则乘积的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得，，用表示，可得，构建，利用二次函数可得的最小值为或，分类讨论，结合导数求最小值. 【详解】不妨设， 由，解得， 同理可得， 所以，解得， 又因为，解得，所以. 因为，所以， 构建，. 因为，所以为开口向下的二次函数， 所以的最小值为或，则有： ①若的最小值为， 则，解得， 所以， 构建，则， 令，解得；令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减，且， 所以的最小值为2，即的最小值为2； ②若的最小值为， 则，解得， 所以， 构建，则， 则在上单调递减，则， 所以的最小值为，即的最小值为, 综上所述，的最小值为2. 故选：B. 【点睛】方法点睛：1.利用等量关系进行消元，使得未知量减少，方便观察理解； 2.对于多个变量问题，可以固定一个，逐个研究处理问题. 二、多选题 9. 对于，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】选项作差法可得，选项由基本不等式可得． 【详解】解： 选项，作差可得，当且仅当时取等号，故错误． 选项，由基本不等式可得，变形可得，当且仅当时取等号，故错误； 选项，由基本不等式可得，平方可得，当且仅当时取等号， 故正确； 选项，，当且仅当时取等号，故正确； 故选：． 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 11. 设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ） A. xy的最大值是 B. 的最小值为9 C. 4x2＋y2最小值为 D. 最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误； 对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确； 对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 12. 若函数恒满足对称，则实数m的取值为______ 【答案】 【解析】 【详解】根据确定函数图象的对称轴，结合二次函数对称轴方程即可求得答案. 函数恒满足对称， 则图象关于直线对称，则， 故答案为： 13. 设，那么最小值是________. 【答案】32 【解析】 【分析】由基本不等式求最大值，然后由不等式的性质转化，再由基本不等式求最小值即可得． 【详解】，， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 又，所以，时，取得最小值32. 故答案为：32. 14. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是______（填上你认为正确的所有结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据题设中的“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质，可判定①②③正确；设A中，得到，分和，两种情况分类讨论，可判定④正确. 【详解】对于①中，，， 集合是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若、是两个不同的正数，且是“完美集”， 设， 根据根和系数的关系和相当于的两根， 由，解得或（舍去），所以， 所以、至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程，当t取不同的值时，的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④中，不妨设A中， 由，得， 当时，即有，所以，于是，无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当时，，故只能，，求得， 于是“完美集”A只有一个，为． 当时，由，即有， 事实上，，矛盾， 所以当时不存在完美集，所以④正确. 故答案：①②③④. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 四、解答题 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 16. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【小问1详解】 由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． 【小问2详解】 因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 17. 已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞）；当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）.（2）a． 【解析】 【分析】（1）函数求导得，然后分a≤0和a＞0两种情况分类求解. （2）根据对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等价于f（x）max＜g（x）max，然后分别求最大值求解即可. 【详解】（1）， 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 当a＞0时，在区间（0，）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在区间（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减． 综上：当a≤0时，f（x）单调递增区间是（0，+∞）， 当a＞0时，f（x）单调递增区间是（0，），单调递减在区间是（，+∞）. （2）， 在区间（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 在区间（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 所以g（x）max＝g（3）＝ln3， 因为对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立， 等价于f（x）max＜g（x）max， 由（1）知当a≤0时，f（x）无最值， 当a＞0时，f（x）max＝f（）＝﹣lna， 所以﹣lna＜ln3， 所以， 解得a． 【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性及不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰山外国语学校复读部数学学科 考试时间：80分钟； 一、单选题 1. 设是任意实数，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列说法正确的是 ( ) A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 命题“若，则”的逆命题是真命题 D. 命题“若，则或”的逆否命题为真命题 3. 函数的值域为R．则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4 已知集合，则（ ） A B. C. D. 5. 已知二次函数（为常数），当时，函数值y最小值为，则m的值是（　　） A. B. 1 C. 2或 D. 6. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（　　） A B. 1 C. 2 D. 4 7. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 8. 设正数满足，当时，恒有，则乘积的最小值是（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 对于，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ） A. xy的最大值是 B. 的最小值为9 C. 4x2＋y2最小值为 D. 最大值为2 三、填空题 12. 若函数恒满足对称，则实数m的取值为______ 13. 设，那么的最小值是________. 14. 已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“完美集”. ①集合是“完美集”； ②若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于2； ③二元“完美集”有无穷多个； ④若，则“完美集”A有且只有一个，且. 其中正确的结论是______（填上你认为正确的所有结论的序号） 四、解答题 15. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 16. 已知集合 ，，且． （1）若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 17. 已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）． （1）求f（x）的单调区间； （2）设g（x）＝lnx，若对任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$