精品解析：河北省衡水市衡水中学2024届高三上学期五调数学试题

2023-2024学年度上学期高三年级五调考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知，阴影部分表示的是，由此求得的取值范围. 【详解】或， 根据图象可知阴影部分表示的是， 因为，， 所以或. 故选：A 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义确定函数为偶函数，再根据余弦函数的性质可求解. 【详解】由题可知，的定义域为， 又因为， 所以，为偶函数． 当时，，当时，，当时，. 故选：C． 3. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B，易得，，由此建立a，c的齐次式，进而可得结果. 【详解】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是A，B， 易得，， ∴，∴， ∴， 故选：D. 4. 已知的一段图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是 D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数图像求出函数解析式，即可判断A，再根据正弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：由图可知，，所以，解得，所以，又函数过点，即，所以，解得，因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以函数关于对称，故B错误； 令，解得，故函数的单调递增区间为，故C正确； 将函数的图象向左平移个单位得为偶函数，故D错误； 故选：C 5. 设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按题意设出向量坐标，展开运算即可. 【详解】设，，，则 所以 故选：D. 6. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 7. 设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围. 【详解】由，则，， 当时，，恒成立， 即任意，对恒成立； 当时，， 即，其中， 构造函数，则. ，因为，所以，单调递增； 则有，则， 构造函数， 则，令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 即当时，， 故要使恒成立，则，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等. 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数模的几何意义，及椭圆、双曲线的定义逐项分析即可. 【详解】由复数模的几何意义知， 表示复平面内点与点之间的距离为定值2， 则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确； 由复数模的几何意义知， 表示复平面内点到点和的距离之和为， 又，不满足椭圆的定义，故B不正确； 由复数模的几何意义知， 表示复平面内点到点和的距离之差为1， 又，满足双曲线的定义，故C正确； 对于D，可化为， 表示复平面内点到点和的距离相等，轨迹是直线， 故D不正确， 故选：AC. 10. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，计算体积最大值判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用求范围判断C；将以为轴旋转到与共面，得到，求出判断D作答. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，A错误； 对于B，当时，的面积最大，此时， 则三棱锥体积的最大值为：，B正确； 对于C，是等腰三角形，，又因为，则， 依题意，，而，因此，C错误； 对于D，由，，得，有为等边三角形， 将以为轴旋转到与共面的位置，得到，则为等边三角形，，如图， 于是，因为， ， 所以，D正确. 故选：BD 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则下列命题正确的是（ ） A. B. 记为的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的通项公式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，根据题意由正三角形求得点和，代入曲线，即可求解；B项，由为边长为的等边三角形，求得；C项，将坐标代入曲线，整理得；D项，结合，化简得到，利用等差数列的通项公式求解得. 【详解】选项A，由题意知为边长为的等边三角形， 如图，则， 因为点在曲线上，可得，解得或(舍去）， 又由题意知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或(舍去），故A正确； 选项B，由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； 选项C，由点在曲线上，则， 整理得， 由，可知，故C错误； 选项D，当时，可得， 所以， 可化为， 因为，则，所以， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为，故D正确． 故选：ABD. 12. 如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求得过点的切线方程，得到，得出和，可判断A正确；当点在准线上，求得，可判定B错误；由，求得，可判定C错误；分别求得和，可判定D正确. 【详解】设抛物线上一点，则， 过点的切线方程为， 联立方程组，整理的， 令，解得，即过抛物线上一点的切线的斜率为， 对于A中，设，则过点的切线方程为， 令，可得，即， 又由抛物线的焦点为，所以， 则，所以，即， 同理可得，则四点共圆，所以，所以A正确； 对于B中，若点在准线上，可直线的方程为， 此时直线过焦点，则，所以，所以B错误； 对于C中，由，，可得，， 若，可得，则， 所以，此时直线过焦点， 设直线，代入抛物线，可得， 设方程的两根为，可得， 即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为， 而直线不一定过抛物线的交点，所以C错误； 对于D中，由，可得， 联立方程组，解得，即, 则，所以，所以D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，，则的值__________． 【答案】54 【解析】 【详解】由，得：，则，故答案为54. 14. 在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题，利用导数及韦达定理可得，后利用等比中项性质可得答案. 【详解】， 由题是方程的两个不等实根， 则由韦达定理，所以 又是的等比中项且与同号，则. 故答案为：. 15. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设直线l与圆C的切点为，过点作于点Q，则，由题意求出，进而求出、，结合双曲线的定义化简计算即可求解. 【详解】设直线l与圆C的切点为，则，， 由，得， 过点作于点Q，则， 由O为的中点，得， 因为为锐角，所以， 有，得， 所以，由双曲线的定义知， ，即，解得， 又，所以，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 16. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________. 【答案】1 【解析】 【分析】求过原点曲线的两条切线，求解两切线的夹角即可. 【详解】函数， 因为， 所以该函数在单调递减，在单调递增. 过原点作的切线，设切点， 由，则切线的斜率为， 直线过， ∴，∴， 即，由函数与的图象在有且只有一个交点， 且当时满足方程，故方程有唯一解，则； 过原点作的切线，设切点， 由，得切线的斜率， 则切线过原点， 则有，∴， 则，则有， ∴两切线垂直，曲线C的相对于点O的“确界角”为， 则，. 故答案为：1. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知等量关系，利用直接步骤法坐标代入关系式化简整理可求轨迹； （2）分斜率存在与不存在两类情况分别求解.当斜率不存在时，验证弦长可得；当斜率存在时，设出点斜式直线方程，利用垂直关系将弦长转化为圆心到直线的距离，由点到直线距离公式得关于的方程求解可得. 【小问1详解】 已知， 由题意可知，，坐标代入得， 整理得， 故点的轨迹方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为， 由圆，则圆心为，半径为， 此时弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，不妨设斜率为， 则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离. 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，则， 所以，解得， 所以直线的方程为. 综上，满足条件的直线的方程为或. 18. 如图所示，在四棱锥中，面，且PA=AB=BC==2. （1）求与所成的角； （2）求直线与面所成的角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角的余弦值，求异面直线的夹角. （2）建立空间直角坐标系，根据法向量与直线的方向向量的夹角来确定线面角的正弦值，再根据同角关系求余弦值. 【小问1详解】 因为面，所以两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，4，0)，C(2，2，0) 则 , =，所以与所成的角为 【小问2详解】 设平面的法向量为，令，则， 设直线与面所成的角的为，又， sin= 直线与面所成的角的余弦值为. 19. 已知数列满足，，且，，构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，所以数列是以2为公差的等差数列，再根据，，构成等比数列，得，即，解出后利用等差数列通项公式即可求出数列的通项公式． （2）易知，则利用错位相减求和法即可求出数列的前项和． 【详解】解：（1）由，得， 所以数列是以2为公差的等差数列， 又，，构成等比数列， 得，即， 整理解得， 所以． （2）， 则， ， 两式相减得， 即， 所以． 20. 在中，角的对边分别为的面积为，已知. （1）求角； （2）若的周长为，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理及三角恒等变换即可求解； (2)由余弦定理及三角形的面积公式得，再由基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 由正弦定理，得， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 所以，即， 因为，， 所以， 所以， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 即的最大值为. 21. 已知椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）过点的直线交于两点（点在点的上方），的上､下顶点分别为，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接代点计算即可； （2）设直线的方程为，，将直线和椭圆联立，消去，然后表示出直线和直线的方程，利用韦达定理计算的值为定值，则可求出的值即可证明. 【小问1详解】 因为过点，所以，整理得. 因为，所以， 所以的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，. 联立，整理得， ， 所以直线的方程为①， 直线的方程②， 解法一： 由①②得 ， 所以. 所以点在定直线上运动，故点在定直线上. 解法二（和积转化）： 所以， 由①②得 ，所以. 所以点在直线上运动，故点在定直线上. 解法三（点代平方差）： 因为在上，所以， 所以， 即 由①②得 ， 所以. 所以点在直线上运动，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法即可. 22. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）已知有两个极值点，且，证明：． 【答案】（1）故时，在上单调递增；时，在，上均单调递增，在上单调递减； （2） 由（1）知，当时，有2个极值点，满足， 又，则， 故 ， 令，则， ， 则当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论和，在时，结合二次函数性质判断导数的正负，从而确定函数的单调性； （2）结合（1）可得以及两极值点的关系式，求出的表达式，构造函数，利用导数判断该函数的单调性，求出其最小值，即可证明不等式. 【小问1详解】 由题意知函数的定义域为， ， 令， 当，即时，，等号仅在个别点处取得， 此时在上单调递增； 当，即或， 若，则方程的两根为， 此时两根均为正数，且， 则或时，， 此时在，上均单调递增； 时，，此时在上单调递减； 若，则恒成立，在上单调递增； 故时，在上单调递增； 时，在，上均单调递增， 在上单调递减； 【小问2详解】 略 【点睛】难点点睛：本题考查利用导数判断函数的单调性以及证明不等式问题，综合性强，难度较大，难点在于不等式的证明，解答时要求出的表达式，由此构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出其最小值，从而证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度上学期高三年级五调考试 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 2. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的一段图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象的一个对称中心为 C. 的单调递增区间是 D. 函数的图象向左平移个单位后得到的是一个奇函数的图象 5. 设，，都是单位向量，且与的夹角为60°，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 7. 设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆 B. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D. 方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线 10. 如图，为圆锥的底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 如图，曲线下有一系列正三角形，设第个正三角形（为坐标原点）的边长为，则下列命题正确的是（ ） A. B. 记为的前项和，则为 C. 记为数列的前项和，则 D. 数列的通项公式为 12. 如图，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，、分别交y轴于M、N两点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. ，，则的值__________． 14. 在等比数列中，是函数的极值点，则＝__________． 15. 设双曲线：（，）的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______. 16. 如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角，使得对于曲线G上的任意两个不同的点恒有成立，则称角为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中e是自然对数的底数），点O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知平面内点与两个定点的距离之比等于2. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 18. 如图所示，在四棱锥中，面，且PA=AB=BC==2. （1）求与所成的角； （2）求直线与面所成的角的余弦值. 19. 已知数列满足，，且，，构成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 20. 在中，角的对边分别为的面积为，已知. （1）求角； （2）若的周长为，求的最大值. 21. 已知椭圆经过点. （1）求的标准方程； （2）过点的直线交于两点（点在点的上方），的上､下顶点分别为，直线与直线交于点，证明：点在定直线上. 22. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）已知有两个极值点，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $