精品解析：江苏省宿迁市宿迁中学2025届高三上学期8月月考数学试题

高三年级学业质量检测（二） 数学试题 试卷满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 8. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ） A. B. 4是函数的一个周期 C. D. 在区间上至少有1012个零点 11. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在某个位置，使得 B. 翻折过程中，CN的长是定值 C. 若，则 D. 若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为_______． 13. 已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________． 14. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值; （2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 18. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1： 表1 未成年男性的身高与体重平均值 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重平均值/kg 直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高． 表2 拟合函数对比 函数模型 函数解析式 误差平方和 指数函数 二次函数 幂函数 （1）问哪种模型是最优模型？并说明理由； （2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型； （3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由． 注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际． 19. 已知函数，． （1）若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围； （2）当时，恒成立，求正实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级学业质量检测（二） 数学试题 试卷满分（150分） 考试时间（120分钟） 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质解集合A，再由交集的概念计算即可. 【详解】由，即. 故选：C 2. 设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得. 【详解】由函数为指数函数，故且， 当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去； 当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确. 故选：A. 3. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于可化成同指的两个指数再利用幂函数单调性比较大小，对于和的大小关系利用中间值法即可. 【详解】因为，幂函数在上单调递增， 又，所以， 所以， 又对数函数在上单调递减，所以， 故. 故选：D. 4. 已知函数，下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个选项中的函数的表达式，确定其定义域，结合奇函数的定义判断，即可得答案. 【详解】由于，定义域为 故，定义域为， ， 即不是奇函数，A错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，B错误； ，定义域为，不关于原点对称， 即不是奇函数，C错误； ，定义域为， ， 即为奇函数，D正确， 故选：D 5. 已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 6. 下图是一个圆台的侧面展开图，已知，且，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆台的上下底面圆的半径，再求出圆台的高并结合圆台的体积公式求解作答. 【详解】设圆台上底面圆半径为，下底面圆半径为，母线长为，高为， 依题意，， 解得，， 而圆台的母线长， 因此圆台的高， 所以圆台的体积. 故选：D. 7. 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据函数的对称性和周期性，以及函数的导数求解即可. 【详解】设，则为R上可导的奇函数，， 由题意得， 得，所以， ， 又，即， 所以，等式两边对x求导， 得，令，，所以. 由，两边对x求导，，所以的周期为4， 所以，因为，所以， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解本题的关键是根据构造函数，然后研究的对称性，通过复合函数求导研究的周期为4，然后利用周期性求值即可. 8. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出，即可判断AD，计算出，可判断BC. 【详解】由可得， 在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示： 因为，， 由图象可知，， 所以故A，D错误； ， 因为，所以，所以， 所以，即，故B错误，C正确. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 关于双曲正弦函数和双曲余弦函数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，依次计算各选项即可得答案. 【详解】解：因双曲正弦函数和双曲余弦函数， 对于A，，A正确； 对于B，，B不正确； 对于C，显然双曲余弦函数是偶函数，且在上成立，故在上单调递增， 所以，C正确； 对于D，，D不正确. 故选：AC 10. 已知非零函数的定义域为，为奇函数，且，则（ ） A. B. 4是函数的一个周期 C. D. 在区间上至少有1012个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法求得判断A，利用的对称性与奇偶性判断BC，利用的周期性判断D. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，为奇函数， 所以，则， 令，则，，故A正确； 对于B，，所以，则， 所以，故，故B正确； 对于C，假设，则， 又，函数的定义域为， 所以即是奇函数又是偶函数，则恒成立，与题干矛盾，故C错误； 对于D，因为，，所以， 所以在上至少有两个零点， 又，即为周期为4的偶函数，而， 所以在区间上至少有个零点，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将沿直线AM翻折成，连接，N为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ） A. 不存在某个位置，使得 B. 翻折过程中，CN的长是定值 C. 若，则 D. 若，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，取AD的中点为E，若，则可推出矛盾，即可判断；对于B，结合余弦定理即可判断；对于C，采用反证的方法，利用得出互相矛盾的结论，即可判断；对于D，根据三棱锥体积最大，可得出平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断 【详解】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形为平行四边形，如图， F为MD的中点，由于N为的中点，则， 如果，则， 由于，则， 由于共面且共点，故不可能有，同时成立， 即不存在某个位置，使得，A正确 对于B，结合A的分析可知，且， 在中，， 由于均为定值，故为定值， 即翻折过程中，CN的长是定值，B正确； 对于C，如图，取AM中点为O，由于，即，则， 若，由于平面，故平面， 平面，故，则， 由于，故，，则, 故，与矛盾，故C错误； 对于D，由题意知，只有当平面平面时，三棱锥的体积最大； 设AD中点为E，连接，由于，则， 且，而平面平面，平面， 故平面，平面，故， 则， 从而，则, 即AD的中点E即为三棱锥的外接球球心，球的半径为1， 故外接球的表面积是，D正确， 故选：ABD 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，解答时结合三棱锥体积最大，可得平面平面，从而结合面面垂直性质求出相关线段的长，确定三棱锥外接球球心，求出半径，即可判断. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解. 【详解】由题可得， 当时，，所以所求切线方程为． 故答案为：. 13. 已知函数，若方程在区间上有且仅有两个实数解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用换元法转化为在区间上有且仅有两个实数解，结合图像即可确定的范围. 【详解】令，因为在单调递增， 则方程在区间上有且仅有两个实数解， 转化为在区间上有且仅有两个实数解， 即与在上有两个交点， 在单调递减，在单调递增， 结合图像知， ， 即实数的取值范围为 14. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】对进行分类讨论，由函数的单调性、分离参数法、存在量词命题的真假性等知识求得正确答案. 【详解】因为， 若，由于单调递减，则在R上单调递增； 若，由于单调递增，则在R上单调递减， 又，故， 因为，是假命题， 故，恒成立为真命题， 即不等式对恒成立， 当时，，即在恒成立， 设，即在恒成立． 由于对勾函数在单调递减，在单调递增， 因为，因此； 当时，， 即在恒成立， 当时，函数有最小值， 即，又因为，故．综上可知：或． 故答案为：或 【点睛】方法点睛：存在量词命题是假命题，则其否定是真命题.当命题正面求解困难时，可利用命题的否定来进行求解.含参数的不等式恒成立问题，可以利用分离常数法进行求解，分离参数时，要注意不等式的符号. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为对全体实数x，使得是真命题，即可得到，求出的范围； （2）分别求出命题 中 的范围，再根据是的必要不充分条件，即可得到关于的不等式，求出的范围. 【详解】（1）因为命题，使得是真命题，那么 ， 即 ，那么实数的取值范围为 ； （2），即 ； 中，，因为 ，解得 ，是的必要不充分条件， 所以 ，故实数的取值范围为. 16. 如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面ABC内的射影恰好是BC的中点，且. （1）求证:平面平面; （2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 取BC中点为，连接， 在底面内的射影恰好是BC中点，平面ABC， 又平面， ， 又，， 平面 ，，平面， 又平面，平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）BC中点为，连接，由且，证得平面，可证平面平面. （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， ，斜棱柱的高为， ， ， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值; （2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值. （2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值. 【小问1详解】 ，则， 故曲线在处的切线为， 即， 当时，此时切线为，不符合要求 当时，令，有， 令，有，故，即，故 【小问2详解】 ， ①当时，在上单调递增， 的最大值是，解得，舍去; ②当时，由，得， 当，即时，时，时，， 的单调递增区间是，单调递减区间是， 又在上的最大值为; 当，即时，在上单调递增，， 解得，舍去. 综上所述，存在符合题意，此时 18. 某地区未成年男性的身高（单位：cm）与体重平均值（单位：kg）的关系如下表1： 表1 未成年男性的身高与体重平均值 身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重平均值/kg 直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数越接近1，拟合度越高． 表2 拟合函数对比 函数模型 函数解析式 误差平方和 指数函数 二次函数 幂函数 （1）问哪种模型是最优模型？并说明理由； （2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为．记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率．求体重关于身高的函数模型； （3）在（2）的条件下，若，．当刚出生的婴儿身高为50cm时，与（1）的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由． 注：，；婴儿体重符合实际，婴儿体重较符合实际，婴儿体重不符合实际． 【答案】（1）指数函数模型是最优模型；理由： 因为，所以指数函数模型误差平方和最小， 因为，所以指数函数模型最大， 所以指数函数模型是最优模型； （2） （3）（2）中幂函数模型更适合，理由： 把代入，得不符合实际， 把，代入得， 把代入，得符合实际， 所以（2）中幂函数模型更适合. 【解析】 【分析】（1）由表中数据比较指数函数模型误差平方和以及的大小，即得结论； （2）根据身高与骨细胞数量以及体重与肌肉细胞数量的关系，结合已知数据，即可求得答案； （3）分别计算出两种模型函数下的婴儿体重，比较大小，即得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为， 所以，所以， 所以体重关于身高的函数模型为； 【小问3详解】 略 19. 已知函数，． （1）若函数图象上存在关于原点对称的两点，求的取值范围； （2）当时，恒成立，求正实数的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）问题可转化有解，得到，构造函数，求导讨论单调性，利用数形结合，找到与曲线在的有交点时的范围； （2）恒成立问题，把不等式变形成，设，构造函数，转化成零点的问题，再利用单调性求解. 【小问1详解】 要使函数图象上存在关于原点对称的两点， 则有解， 则， 即， 令，则， 设 得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， 所以； 【小问2详解】 由题意知， 则 ， 则，， 设，则， 即， 设， ，且， 当，即时， 易知方程有一根大于1，另一根小于1， 所以在上单调递增，故有不合题意，舍去， 当时，有， 所以，从而在上单调递减， 故当时，恒有符合题意， 所以正实数的取值范围为，因此的最大值为1． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数讨论方程根的个数问题. 问题一可转化有解，得到，构造函数，求导讨论单调性，利用数形结合，找到与曲线在的有交点时的范围； 问题二转化成恒成立问题，把不等式变形成，设，构造函数，转化成零点的问题，再利用单调性求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $