精品解析：广东省深圳市宝安区2023-2024学年高一上学期调研测试数学试题

宝安区2023-2024学年第一学期期末教学质量监测 高一数学 2024.1 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在各题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 2. “不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 要得到函数的图像，只要把函数图像 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 4. 函数()的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A. B. 10 C. D. 7. 若函数的部分图象如图所示，则和的值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象 A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 且，则的可能取值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 10. 下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( ) A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数有且只有两个零点 C. 函数的最小值是1 D. 在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，的定义域为 B. 一定有最小值 C. 当时，的值域为R D. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 将函数的图象向左平移个单位，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为__________． 14. 将函数的值域为______. 15. 若a，b是方程的两个实根，则的值为______. 16. 已知，则______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 （1）已知函数的周期是，求的值. （2）此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 18. 已知角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）写出三角函数，的值； （2）求的值． 19. 已知，. （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数是增函数. 20. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当时，求函数的最大值. 21. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 22. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝安区2023-2024学年第一学期期末教学质量监测 高一数学 2024.1 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在各题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 设集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：集合，集合，所以,故选D. 考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算. 2. “不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分条件，必要条件的概念求出选项. 【详解】不等式在R上恒成立 ，即， 因为，但不能推出成立， 故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件， 故选：A 3. 要得到函数的图像，只要把函数图像 A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 把化成后可得平移的方向及长度． 【详解】因为， 故把函数图像向右平移个单位后可得的图像． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的图像平移变换，注意平移变换（左右平移）是自变量发生变化，如函数的图像，它可以由向左平移个单位，而不是，本题为易错题． 4. 函数()的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数解析式及x的取值范围，根据根式、对数、三角函数的性质，列不等式求定义域即可. 【详解】由题意，得，则，即， ∴. 故选：A. 5. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果. 【详解】若，则等价于， 因为，在上单调递减， 所以由得； 若，则等价于， 由题知在上单调递增， 所以由得； .综上，的解集为. 故选：A. 6. 对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（ ）． A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由勾股定理得，再利用基本不等式易得，由此得到，问题得解. 【详解】不妨设该直角三角形的斜边为，直角边为，则， 因为，所以，即， 当且仅当且，即时，等号成立， 因为，所以， 所以该直角三角形周长，即这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 7. 若函数的部分图象如图所示，则和的值是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象求得的值. 【详解】由图象可知， 所以， ， 由于，所以. 故选：C 8. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象 A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 【答案】A 【解析】 【详解】.所以,由于, 所以函数f(x)的图像关于点对称. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 且，则的可能取值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】BCD 【解析】 【分析】将展开，利用基本不等式求的最小值，再比较选项可得正确答案. 【详解】， 当且仅当即时等号成立，取得最小值， 所以的不可能为，可能取值为， 故选：BCD. 10. 下列命题中，是存在量词命题且为假命题的有( ) A. ， B. 有的矩形不是平行四边形 C. ， D. ， 【答案】AB 【解析】 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D错误， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C错误， 故选:AB． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在定义域上是减函数 B. 函数有且只有两个零点 C. 函数的最小值是1 D. 在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 【答案】CD 【解析】 【分析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误； 对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确； 对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确. 故选CD 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题. 12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，的定义域为 B. 一定有最小值 C. 当时，的值域为R D. 若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B项为最值问题，问一定举出反例即可；C项代入参数值即可求出函数的值域；D项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可. 【详解】对于A，当时，，令，解得或，则的定义域为，故A正确； 对于B、C，当时，的值域为R，无最小值，故B错误，C正确； 对于D，若在区间上单调递增，则在上单调递增，且当时，， 则，解得，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 将函数的图象向左平移个单位，若所得到图象关于原点对称，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据图像平移得解析式，再根据奇函数的性质求关系式，解得最小值即可. 【详解】因为函数的图象向左平移个单位， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 将函数的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 15. 若a，b是方程的两个实根，则的值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】由韦达定理，对数运算法则可得. 【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为. 设方程的两根为，，则，. 由已知a，b是原方程的两个根，可令，，则， ， 故答案为：12 16. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】将式子化为其次式，然后化为正切求值即可. 【详解】， 故原式， 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数 （1）已知函数的周期是，求的值. （2）此函数定义域在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由最小正周期的公式计算即可； （2）由，求出的范围，然后由函数定义域在区间上的值域为，分析求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 当时，， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 解得. 18. 已知角是第二象限角，其终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）写出三角函数，的值； （2）求的值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用单位圆解出的坐标，然后根据三角函数定义求解; （2）先根据诱导公式化简解析式，即可得到答案 【小问1详解】 因为角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点， 所以，解得， 因为角是第二象限角，所以， 所以角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点， ，； 【小问2详解】 19. 已知，. （1）判断的奇偶性并说明理由； （2）求证：函数是增函数. 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义和判定方法，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为关于原点对称， 又由，所以是奇函数. （2）设，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上是增函数. 20. 已知函数的定义域为M. （1）求M； （2）当时，求函数的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出不等式组即可； （2）利用换元法令，则原函数等价求函数于，的最值，分为和两种情形，根据二次函数的单调性得其最大值. 【小问1详解】 由题意知，解得， 故. 【小问2详解】 ， 令，，可得，，其对称轴为直线， 当，即时，. 当，即时，. 综上可知， 21. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元. 【解析】 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 【小问2详解】 ， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 22. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】(1)；(2)； (3)当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $