精品解析：河南省长葛市第三实验高级中学2024-2025学年高二开学摸底考试数学试卷

2024—2025学年高二摸底考试 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 3. 已知复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 4. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（ ） A. 144 B. 145 C. 146 D. 147 5. 若样本平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为20，方差为4 B. 平均数为11，方差为4 C. 平均数为21，方差为8 D. 平均数为20，方差为8 6. 如图，在中，点满足，.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 8 已知，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. (多选题)在给出的下列几个命题中错误的是（ ） A. 若x是实数，则x可能不是复数 B. 若z虚数，则z不是实数 C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D. －1没有平方根 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 11. 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　） A. 若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′ B. 点C到平面ABC′D′的距离为 C. 直线BC与平面ABC′D′所成角等于 D. 三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________． 13. 已知，，，则与的夹角为________. 14. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角是． （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 16. 在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：45 48 46 52 47 49 55 42 51 45 小组B：55 36 70 66 75 49 68 42 62 47 （1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差； （2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ 17. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 18. 2021年开始，广西将推行全新的高考制度，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史中自选一门（2选1），在政治、地理、化学、生物4门科目中自选两门参加考试（4选2）．由于受疫情影响多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数； （3）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 19. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）当平面BDE时，求三棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年高二摸底考试 数学试卷 时间：120分钟 分数：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的补集，并集运算求解即可. 【详解】由题意可知，所以， 所以， 故选：D 2. 已知平面向量，且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，，且，所以，，故选B. 考点：1、平面向量坐标运算；2、平行向量的性质. 3. 已知复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数除法运算求解出，然后根据共轭复数的概念可得. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4. 有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，67，68，69，71，74，76，76，77，78，79，79，80，85，87，88，95，98，则其分位数与分位数的和为（ ） A. 144 B. 145 C. 146 D. 147 【答案】D 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】因为，所以样本数据的25%分位数为第六个数据即67； 因为，所以样本数据的75%分位数为第十七个数据即80. 所以25%分位数与75%分位数的和为. 故选：D. 5. 若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为20，方差为4 B. 平均数为11，方差为4 C. 平均数为21，方差为8 D. 平均数为20，方差为8 【答案】D 【解析】 【分析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 【详解】样本的平均数是10，方差为2， 所以样本的平均数为,方差为. 故选:D. 【点睛】样本的平均数是，方差为，则的平均数为,方差为. 6. 如图，在中，点满足，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加减法的几何表示和平面向量的基本定理可得. 详解】， 故，，， 故选：A 7. 已知正三角形的边长为2，那么的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图(1)为的实际图形，图（2）为的直观图. 由斜二测画法得： ， 作， 则， 所以. 故选：D 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件分子分母同除以，可得关于式子，代入计算即可． 【详解】解：由已知． 故选：B． 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，针对正弦余弦的齐次式，转化为正切是常用的方法，是基础题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. (多选题)在给出的下列几个命题中错误的是（ ） A. 若x是实数，则x可能不是复数 B. 若z是虚数，则z不是实数 C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D. －1没有平方根 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的概念，判断选项. 【详解】因实数是复数，故A错，根据虚数的定义可知B正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错；因－1的平方根为±i，故D错. 故选：ACD 10. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D即可. 【详解】对于A，与共线的单位向量为，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以且，所以为钝角，所以C正确； 对于D，若是等边三角形，则，的夹角为，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（　　） A. 若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥BC′ B. 点C到平面ABC′D′的距离为 C. 直线BC与平面ABC′D′所成的角等于 D. 三棱柱AA′D′﹣BB′C′的外接球的表面积为3π 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法的应用求出结果． 【详解】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1， 对于选项A：因为点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN∥AD′，且AD′∥BC′故MN∥BC′，故A正确； 对于选项B：点C到面ABC′D′的距离为B′C长度的一半，即h，故选项B错误； 对于选项C：直线BC与平面ABC′D′所成的角即为∠CBC′等于，故C正确； 对于选项D：三棱柱AA′D′﹣BB′C′外接球半径r，故其外接球表面积S＝4πr2＝4π3π，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查的知识要点：线面夹角的应用，异面直线的夹角的应用，三棱柱的外接球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是关于的方程的一个根，则实数___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由根与系数的关系即可得到答案. 【详解】设方程的另一个根为，由根与系数的关系： 故答案为：12. 13. 已知，，，则与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】本题先求，，，再根据化简整理得，最后求与的夹角为. 【详解】解：∵ ，， ∴ ，，， ∵ ， ∴ 整理得：， ∴与的夹角为：. 故答案为： 【点睛】本题考查运用数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题. 14. 如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，连接、，证明出，，可得出二面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值. 【详解】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角是． （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用向量积运算来求模，利用向量积为零来求两向量垂直. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为， 所以， 整理得，解得． 即当时，． 16. 在一个文艺比赛中，10名专业人士和10名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组A：45 48 46 52 47 49 55 42 51 45 小组B：55 36 70 66 75 49 68 42 62 47 （1）如果选择方差度量每一组评委打分相似性的量，计算每组评委打分的方差； （2）你能据此判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ 【答案】（1）13.4；155.4 （2）A组更像是由专业人士组成的 【解析】 分析】（1）根据题意数据结合平均数和方差公式运算求解； （2）根据（1）中结论，结合方差的意义分析判断. 【小问1详解】 记小组A的数据依次为，小组B的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，， 每组的方差分别为：，. 【小问2详解】 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高， 由（1）可知，，因而， 根据方差越大数据波动越大，因此A组更像是由专业人士组成的． 17. 已知分别为的三个内角的对边，且，，． （1）求及的面积； （2）若为边上一点，且，求的正弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积； （2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值. 【小问1详解】 由余弦定理得， 整理得，即， 因为，解得， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理得：， 所以， 在三角形中，因为，则， 所以. 18. 2021年开始，广西将推行全新的高考制度，采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在物理、历史中自选一门（2选1），在政治、地理、化学、生物4门科目中自选两门参加考试（4选2）．由于受疫情影响多地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：，画出频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）根据频率分布直方图求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数； （3）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】（1）； （2）中位数为224； （3）225.6. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求． （2）先估算出中位数在第几组数据，再列方程即可求解． （3）直接计算即可. 【小问1详解】 解：由，得． 【小问2详解】 解：因为， 所以中位数在，设中位数为x， 所以，解得， 所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224． 【小问3详解】 解：这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为. 19. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点． （1）求证：平面平面PAC； （2）当平面BDE时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）线面垂直的性质有，等腰三角形性质有，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论. （2）由线面平行性质有，进而可得E为PC中点，又P与A到面BDE的距离相等，再由即可求体积. 【小问1详解】 因为底面ABC，底面ABC，所以， 因为，且D为线段AC的中点，所以， 又，面PAC，所以平面PAC， 又面BDE，所以面面PAC. 【小问2详解】 因为面BDE，面PAC，面面，所以， 因为D为AC的中点，所以E为PC的中点， 由题意知：P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等， 所以 所以三棱锥的体积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$