专题04 实际问题与二次函数【五大考点+知识串讲】-2024-2025学年九年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题06 实际问题与二次函数 考点类型 考点训练 考点1：几何面积型 典例1：教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【变式1】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．       (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米） 【变式2】如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线和矩形构成．矩形的长是8，宽是2，抛物线的顶点P在的垂直平分线上，且到的距离为4．以中点O为原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案： 方案一：如图1，矩形的面积记为，点A、D在抛物线上，点B、C在上，； 方案二：如图2，矩形的面积记为，点、在抛物线上，点、在上，． 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)分别求出、，并比较、的大小． 【变式3】如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 考点2：拱桥型 典例2：商丘古城位于河南省商丘市睢阳区，是一座历史文化名城，可以追溯到4500年前，尧封阏伯为火正，也就是传说中的火神．阏伯的封号为“商”，商丘由此而来．商丘古城是当今世界上现存的唯一一座集八卦城、水中城、城摞城三位一体的大型古城遗址．如图为商丘古城西城门，其形状可以用抛物线来表示，如右图建立平面直角坐标系，x轴为水平地面，城门在距O点水平距离3米处为城门的最大高度9米． (1)求此抛物线的表达式； (2)为宣传古城，政府部门在距离O点1米处修建了一排竖直排放的宣传栏，宣传栏的顶部交抛物线于点C，准备在抛物线的右侧修建一组射灯P，且满足点P到点B和点C的距离相等． ①请在抛物线上标出点P的坐标（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； ②求出点P的坐标． 【变式1】【发现问题】如图1，是沈阳“伯官桥”，它是中国首座“六跨中承式飘带形提篮拱桥”，也是全国施工难度最大的一座桥梁工程，造型别致，每段都是抛物线形状，宛如河上的一条飘带． 【提出问题】如果将该拱桥的一段抽象成二次函数的图形，该图象对应的函数关系式是什么？ 【分析问题】如图2，是拱桥其中一段的横截面，虚线部分表示水面，桥墩跨度为40米，在距离A点水平距离为d米的地方，拱桥距离水面的高度为h米．小亮对d与h之间的关系进行了探究，经过多次测量，取平均值得到了d和h的几组对应值，如下表 米 0 6 10 18 24 30 36 40 米 8.6 18.8 23.6 28.4 27.8 23.6 15.8 8.6 【解决问题】 (1)请在下面的平面直角坐标系中画出表格中数据对应的函数图象，并直接写出h与d之间的函数关系式． (2)当拱桥距离水面的高度为18.6米时，此时据距离A点水平距离是多少？ (3)今年是伯官桥建成十周年整，为了庆祝，决定在伯官桥上挂设彩灯，如图3，共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端E，F皆在抛物线上；另外两串彩灯都垂直于水面挂设，且距离水面2.0米，求挂设的三串彩灯长度和的最大值． 【变式2】如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【变式3】根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 考点3：抛掷型 典例3：排球是一项风靡全球的运动，也是北京体育中考选考球类的一项．如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．小刚在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．    在球飞行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米） 以下是小刚的某一次练习的部分数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 (1)求此抛物线的解析式 (2)在此基础上，小刚继续练习： 第一次练习：只将出手高度增加，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样 第二次练习：改变排球的飞行轨迹，使其飞行轨迹近似满足此抛物线： ①直接写出第一次练习的抛物线解析式； ②我们将满足以下两个条件的发球叫做“有效发球”： 条件I：发球后，排球能过球网； 条件II：发球后，排球的第一落点在右半区，且在右边界以里． 任意选择一次练习，判断此次练习是否为一次“有效发球”，并说明理由． 【变式1】实验与探究 某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 9 18 27 36 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过分析数据可以发现x随t的变化满足一次函数关系，y随t的变化满足二次函数关系． （1）请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解决问题】 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下面的问题： （2）若发射平台相对于水平安全线的高度为0，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （3）在水平安全线上设置回收区域，，．若飞机落到回收区域内（不包括端点M、N），求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围． 【变式2】乒乓球被誉为国球，如图，是乒乓球台的截面示意图，奥运会冠军马龙从球台边缘正上方以击球高度为的高，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：），测得如下数据 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大数图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； ②求满足条件的抛物线解析； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【变式3】数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． (1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点　　　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． (2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． (3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 考点4：销售利润型 典例4：根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【变式1】某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 【变式3】请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 考点5：动点型 典例5：如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求： (1) ； ． (2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？ (3)当运动多少秒时，的面积最大？ 【变式1】如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是． (1)点共运动________秒； (2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长； (3)当且时，用含的代数式表示S； (4)当两点相遇时，直接写出的值． 【变式2】如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【变式3】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)t为何值时，？ (2)t为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实际问题与二次函数 考点类型 考点训练 考点1：几何面积型 典例1：教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，并在如图所示的两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，设苗圃的一边长为． (1)用含x的代数式表示苗圃靠墙一边的长是__________； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)苗圃的面积能否为？若能，请求出x的值；否则请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)苗圃的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，列代数式．解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． （1）木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米，即得长； （2）根据题意得：，即可解得的值； （3）设矩形的面积为，，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵木栏总长，两处各留宽的门，设矩形的一边长为米， ∴长为：（米）． 故答案为：． （2）根据题意得：， 解得：，， ∵当时，， 当时，， ∴不符合题意，舍去， ∴的值为8． （3）设矩形的面积为， 则， ∵， ∴时，的值最大，最大值为108， ∴苗圃的面积不能为． 【变式1】一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以为直径的半圆O，下部是一个矩形．       (1)当米时，求隧道截面上部半圆O的面积； (2)已知矩形相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积关于半径r（m）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值．（取3.14，结果精确到0.1米） 【答案】(1)（米） (2)①；②26.1 【分析】（1）根据面积公式计算即可； （2）①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式； ②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值． 本题主要考查圆形面积，二次函数的性质等知识，先利用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积． 【详解】（1） （米）； （2）①∵， ∴， ∴． ②由①知，， 又∵2米米， ∴， ∴． 由①知， ． ∵， ∴函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴， 又，由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当时，S有最大值． （米）． 【变式2】如图是一块铁皮材料的示意图，由抛物线和矩形构成．矩形的长是8，宽是2，抛物线的顶点P在的垂直平分线上，且到的距离为4．以中点O为原点，、分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．现要在该铁皮材料中截取矩形，小华设计了两种方案： 方案一：如图1，矩形的面积记为，点A、D在抛物线上，点B、C在上，； 方案二：如图2，矩形的面积记为，点、在抛物线上，点、在上，． 请你根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)分别求出、，并比较、的大小． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，实数的大小比较是解题的关键． （1）由题意知，，，，设抛物线的函数表达式为，将代入，得，可求，进而可得抛物线的函数表达式； （2）由题意知轴，轴，如图1，设分别交x轴于点G、H，由，可得点D的横坐标为2，当时，，则，，根据，计算求解即可；如图2，设、分别交x轴于点、，由，可得，当时，，可求，，则，，根据，计算求解即可，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：由题意知，，，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知轴，轴， 如图1，设分别交x轴于点G、H，    ∵， ∴点D的横坐标为2， 当时，， ∴， ∴， ∴； 如图2，设、分别交x轴于点、，    ∵， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为； (3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题． （1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围； （2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论； （3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）， 当时，矩形场地的总面积最大，最大为； （3）由题意得，， 将代入得：， 解得：， ， 不符合要求，舍去， 矩形场地的最大总面积不能达到． 考点2：拱桥型 典例2：商丘古城位于河南省商丘市睢阳区，是一座历史文化名城，可以追溯到4500年前，尧封阏伯为火正，也就是传说中的火神．阏伯的封号为“商”，商丘由此而来．商丘古城是当今世界上现存的唯一一座集八卦城、水中城、城摞城三位一体的大型古城遗址．如图为商丘古城西城门，其形状可以用抛物线来表示，如右图建立平面直角坐标系，x轴为水平地面，城门在距O点水平距离3米处为城门的最大高度9米． (1)求此抛物线的表达式； (2)为宣传古城，政府部门在距离O点1米处修建了一排竖直排放的宣传栏，宣传栏的顶部交抛物线于点C，准备在抛物线的右侧修建一组射灯P，且满足点P到点B和点C的距离相等． ①请在抛物线上标出点P的坐标（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）； ②求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，线段垂直平分线的实际应用： （1）由题意知，抛物线顶点为，据此把解析式设为顶点式，再根据抛物线经过原点利用待定系数法求解即可； （2）①点P到点B和点C的距离相等，则点P在点P在线段的垂直平分线上，据此作线段的垂直平分线与抛物线在右侧的交点即为点P；②求出点C的坐标，进而求出的中点坐标，则可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， ∴设二次函数的解析式为， ∵抛物线过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由题意得：B点坐标为， 将代入抛物线解析式得：， ∴， ∵P到B，C距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， 记BC中点为Q，连接PQ， ∴PQ为等腰的中线，． ∴，则P纵坐标为， 设，代入中， 解得：或（舍去）， ∴． 【变式1】【发现问题】如图1，是沈阳“伯官桥”，它是中国首座“六跨中承式飘带形提篮拱桥”，也是全国施工难度最大的一座桥梁工程，造型别致，每段都是抛物线形状，宛如河上的一条飘带． 【提出问题】如果将该拱桥的一段抽象成二次函数的图形，该图象对应的函数关系式是什么？ 【分析问题】如图2，是拱桥其中一段的横截面，虚线部分表示水面，桥墩跨度为40米，在距离A点水平距离为d米的地方，拱桥距离水面的高度为h米．小亮对d与h之间的关系进行了探究，经过多次测量，取平均值得到了d和h的几组对应值，如下表 米 0 6 10 18 24 30 36 40 米 8.6 18.8 23.6 28.4 27.8 23.6 15.8 8.6 【解决问题】 (1)请在下面的平面直角坐标系中画出表格中数据对应的函数图象，并直接写出h与d之间的函数关系式． (2)当拱桥距离水面的高度为18.6米时，此时据距离A点水平距离是多少？ (3)今年是伯官桥建成十周年整，为了庆祝，决定在伯官桥上挂设彩灯，如图3，共挂三串彩灯，第一串彩灯平行于水面挂设，彩灯两端E，F皆在抛物线上；另外两串彩灯都垂直于水面挂设，且距离水面2.0米，求挂设的三串彩灯长度和的最大值． 【答案】(1)，图见解析 (2)米或米 (3)63.2米 【分析】（1）根据表格数据画出抛物线图象，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）将代入抛物线解析式求出d值即可； （3）设点，，将转化为，利用二次函数最值解答即可． 本题考查了二次函数的应用，建立二次函数模型是解答本题的关键． 【详解】（1）解：（1）由题意，根据表格数据描点连线， 又∵对称轴是直线， ∴可设抛物线为， 又过，， ∴，解得：， ∴抛物线为， （2）解：由题意，根据（1）抛物线为， 令， ∴，解得：， ∴此时据距离A点水平距离是米或米， （3）解：由（1）可知，，对称轴为直线，， 设点，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为63.2米． 【变式2】如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【答案】(1)，水流最大竖直高度的长为m (2)水管的高度增加米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的解析式为，由A点坐标为，B点坐标为，进而求得a，k后得解，再令，从而求出水流喷出的最大高度； （2）依据题意，设抛物线为，结合此时B为，求出m，从而得抛物线解析式，再令，即可得解． 【详解】（1）由题意，A点坐标为，B点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点A，点B， ∴， ∴． ∴． ∴时，． ∴水流最大竖直高度的长为． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为． 又此时B为， ∴． ∴． ∴抛物线为， 令， ∴， ， ∴水管的高度增加米． 【变式3】根据以下素材，探索完成任务． 设计彩虹桥中彩色灯带的悬挂方 素材一 图1是一座隐藏在漳州城市中的“彩虹桥”，也是近年来比较热门的网红打卡点，它由200多个铁架和2400多个灯笼组成． 如图2，每个铁架的横截面可以分为3段，其中是固定支架，分别与地面垂直，主体支架可近似看作一段抛物线，最高点离地面的距离是，，． 素材二 由于灯笼颜色比较单一，街道准备把灯笼替换成长度为的彩色灯带，沿抛物线（主体支架）安装（如图3），且相邻两条灯带安装点的水平间距为．为了安全起见，灯带底部与地面的距离不低于．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务一 确定主体支架的形状 请在图2中以点A为原点建立平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． 任务二 探究安装范围 在安全前提下，在任务一的坐标系中，确定灯带安装点的横坐标取值范围． 任务三 拟定设计方案 在同一个横截面下，最多能安装几条灯带？并求出此时最右边灯带安装点的坐标． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查二次函数的应用．理解题意，用顶点式表示出抛物线的解析式是解决本题的关键．根据两个灯带之间的间隔判断出灯带的个数是解决本题的易错点；根据灯带之间的间隔和自变量的取值范围判断出最右边灯带的横坐标是解决本题的难点． （1）易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式； （2）根据支架的高度和灯带底部与地面距离的限定可得y应取0.25，求得相应的x的值，即可判断出灯带安装点的横坐标取值范围； （3）取（2）中抛物线的得到的横坐标的差即为能安装灯带的距离，除以，得到相应的间隔，加1，即为可安装灯带的个数；进而判断出安装灯带后剩余的距离，除以2，取减去得到的数值，即为最右边灯带的横坐标，代入抛物线解析式，可得纵坐标． 【详解】解：任务一：建立坐标系， 由已知可得顶点的横坐标为2，顶点的纵坐标为，点， 设地物的解析式为， ， ， 故抛物线的解析式为； 任务二：由于固定支架长为，因此要使灯带底部与地面的距离不低于，只需要让安装点到x轴的距离不小于． 令， 解得：或， 因此安装点的横坐标取值范围； 任务三：由于，因此最多可以安装条灯带， 由对称性可得最右边灯带的横坐标为， ， 故最右边灯带安装点的坐标为． 考点3：抛掷型 典例3：排球是一项风靡全球的运动，也是北京体育中考选考球类的一项．如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．小刚在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．    在球飞行时，将球与场地左边界的水平距离记为x（米），与地面的高度记为y（米） 以下是小刚的某一次练习的部分数据： x（米） 0 1 2 4 6 7 8 y（米） 2 (1)求此抛物线的解析式 (2)在此基础上，小刚继续练习： 第一次练习：只将出手高度增加，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样 第二次练习：改变排球的飞行轨迹，使其飞行轨迹近似满足此抛物线： ①直接写出第一次练习的抛物线解析式； ②我们将满足以下两个条件的发球叫做“有效发球”： 条件I：发球后，排球能过球网； 条件II：发球后，排球的第一落点在右半区，且在右边界以里． 任意选择一次练习，判断此次练习是否为一次“有效发球”，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②选择第一次练习，不是一次“有效发球”，理由见解析，选择第二次练习，是一次“有效发球”，理由见解析 【分析】本题考查了求抛物线解析式，抛物线图像性质，抛物线的实际应用，函数图像平移规律，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）以垂直于场地左侧边界的垂线为轴，以地面为轴，根据表格数据得出抛物线的顶点坐标即可求得和的值，再代入一组其它数据即可求得的值，从而求得抛物线解析式； （2）①根据函数图像平移规律：上加下减，左加右减即可解题；②任意选择一次练习，分别计算球飞到球网时与地面的高度，球落地时飞行的距离即可判断． 【详解】（1）解：以垂直于场地左侧边界的垂线为轴，以地面为轴， 由表格可知：抛物线的顶点坐标为， ， ，， 将表格数据代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解： ①只将出手高度增加后，排球飞行轨迹的大致形状与（1）中完全一样，即抛物线向上平移， 第一次练习的抛物线解析式为，即； ②选择第一次练习， 第一次练习不是一次“有效发球”，理由如下： 由图可知当球飞到球网时即时，有， 网球能飞过球网， 当球过网落地时即且时，有， 解得：（舍去），， ， 网球不能落在右半区内， 不是“有效发球”； 选择第二次练习， 第二次练习是一次“有效发球”，理由如下： 由图可知当球飞到球网时即时，有， 网球能飞过球网， 当球过网落地时即且时，有， 解得：（舍去），， ， 网球能落在右半区内， 是“有效发球”． 【变式1】实验与探究 某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如下表： 飞行时间 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离 0 9 18 27 36 … 飞行高度 0 22 40 54 64 … 【探究发现】 通过分析数据可以发现x随t的变化满足一次函数关系，y随t的变化满足二次函数关系． （1）请直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解决问题】 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机，根据上面的探究发现解决下面的问题： （2）若发射平台相对于水平安全线的高度为0，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （3）在水平安全线上设置回收区域，，．若飞机落到回收区域内（不包括端点M、N），求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围． 【答案】（1）；（2）飞机落到安全线时飞行的水平距离为．（3）发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令二次函数代入函数解析式即可求解； （3）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解. 【详解】解：（1）探究发现：x与t是正比例函数关系，y与t是二次函数关系， 设，， 由题意得：，， 解得：， ∴． （2）依题意，得． 解得，（舍），， 当时，． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为． （3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度． ∵，． ， ， ， 在中， 当时，； 当时，． ． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于． 【变式2】乒乓球被誉为国球，如图，是乒乓球台的截面示意图，奥运会冠军马龙从球台边缘正上方以击球高度为的高，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：），测得如下数据 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大数图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______； ②求满足条件的抛物线解析； (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】(1)见解析 (2)①49；230；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点连线即可； （2）①由（1）中图形可得答案；②设出顶点式，将代入，可解得答案； （3）设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，进而可得平移后的抛物线的解析式为，将代入，可解得答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：① 由（1）中图形可知，当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是， 故答案为：49；230． ②由图可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【变式3】数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率—以小华同学为例活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如下图片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）． (1)模型建立：如图所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为，根据解析式，请你判断该数学小组是以点　　　（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点． (2)问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由． (3)模型应用：如下图所示为抛物线的一部分函数图象，抛物线外一点，试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 【答案】(1)B (2)不能罚进，理由见解析 (3)个单位 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题抽象出数学模型是解题的关键． （1）由抛物线解析式中常数项为0可得抛物线经过坐标原点，假设以点B为坐标原点，计算出点D和点F的坐标，判断点D和点F是否在抛物线上即可，若不在，再假设点D或F为坐标原点； （2）先表示出篮球框所在位置的坐标，再判断该坐标是否在抛物线上即可； （3）原抛物线向上平移m个单位后的解析式为，将代入求出m的值即可． 【详解】（1）解：抛物线解析式为， 抛物线经过坐标原点， B、D、F可能为坐标原点， ， 当以点B为坐标原点时，点D的坐标为，即， 点F的坐标为，即， 当时，， 当时，， 点D和点F在抛物线上， 该数学小组是以点B为坐标原点， 故答案为：B． （2）解：不能罚进，理由如下： 在（1）的情况下，篮球框所在位置的坐标为，即， 当时，， 点不在抛物线上， 小华的这次罚球不能罚进． （3）解：设原抛物线向上平移m个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 则平移后的抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 即原抛物线向上平移个单位，能使平移后的抛物线经过点P． 考点4：销售利润型 典例4：根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】任务1：； 任务2：本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3： 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 任务1：利用猜想y与x之间是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数解析式，并验证即可； 任务2：分和两种情况分别进行求解即可； 任务3：根据任务2得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知y与x之间是一次函数关系，设， 当时，；当时，，则 ， 解得 ∴y与x之间的关系式是， 当时，； 当时，， 当时，， 即一次函数模型成立， ∴y与x的函数关系式为． 任务2：由题意得，当时，， 令，得 ∴对称轴 ∵ ∴当时，随着x的增大增大， ∴当时，此时， 取得最大值为：（万元） 即本月前20天的日利润W万元第20天达到最大，最大值为万元； 当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， 综上可知，本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3：由题意可得， 令，得 ∴对称轴 ∵前20天的日销售额W'万元随着时间x的增大而增大 ∴，且， 解得， 即a的取值范围为． 【变式1】某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【答案】(1)一盒果篮的成本为48元 (2) (3)每月的最大利润为12960元 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． （1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）当且m为整数时，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元． 依题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，， ∴一盒果篮的成本为：（元）； （2）解：依题意，得； （3）解：由（2）可知每月的利润， 可化简为， 当且m为整数时， ∵， ∴当时w最大，此时：， ∴每月的最大利润为12960元． 【变式2】根据以下素材，探索完成任务． 如何设计濮阳麦秆画的销售方案 素材1 濮阳麦秆画是濮阳一种历史悠久的传统工艺美术品，以其独特的艺术风格和精湛的制作工艺被誉为中华瑰宝．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元，平均每天就可以多售出10x幅 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价定为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上影响，平均每天的销售量为幅 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式 任务2 探究销售方案 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为多少元 任务3 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润网上毛利润实体店毛利润）？最大总毛利润是多少 【答案】任务一：；任务二：若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元；任务三：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用销售问题，解题关键是读懂题意，能列出相应的表达式，并能根据函数的图象与性质求解． 任务1：利用单件利润乘以销量即可求解； 任务2：求解方程，即可得解； 任务3：设总毛利润为元，表示出利润，利用抛物线的性质先确定x的值，再求解． 【详解】解：任务． 任务2：由题意，得， 整理，得，即， 解得（负值已舍去）． ． 若该手工艺品店网上每天销售这种麦秆画的毛利润为810元，那么网上销售的价格应定为33元． 任务3：设总毛利润为元． ∴当时，最大，最大值为4440．此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【变式3】请阅读信息，并解决问题： 优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完． 素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y（元）与月销售量x（件）满足关系：． 素材3 优秀方案 月总利润元 （销售利润销售收入成本） 良好方案 44000元月总利润元 合格方案 40000元月总利润元 任务1 ①线下直营店的月销售量为m件． 若，则这m件产品的销售利润为________元． 若，则这m件产品的销售利润为________元． ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为________元． 任务2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润． ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型．（设计优秀方案得3分，良好方案得2分，合格方案得1分．） 【答案】任务一：①；；②；任务二：①；②线上160件，线下640件为优秀方案．线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案；线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案 【分析】本题考查二次函数的应用，得到超过400件的线下销售的销售利润是解决本题的难点； 任务一：①，这件产品的销售利润（定价成本礼品价格）； ，这件产品的销售利润为（定价成本礼品价格）（定价成本）超过400的件数； ②件产品的销售利润（销售价格成本）销售量； 任务二：①800件产品的销售总利润线下销售400件的利润线上销售400件的利润； ②设线上销售件，则线下销售件，根据线下销售的件数不超过400和超过400两种情况得到相应的二次函数，求得最大的值可设计出相应的方案． 【详解】解：任务一：①，这件产品的销售利润为：元， ，这件产品的销售利润为：元． 故答案为：，； ②线上旗舰店的月销售量为件，则这件产品的销售利润为：； 故答案为：； 任务二：①设销售总利润为元． 元． 答：这800件产品的销售总利润为44000元； ②设线上销售件，则线下销售件． Ⅰ、． ． 时，利润最大，为44000元，不符合题意． Ⅱ、． ． 当时，利润最大，为46200． 设计的方案为：线上销售160件，线下销售640件，为优秀方案． 线上在120件（含）-200件（含），线下在600（含）-680（含）为优秀方案； 线下不在优秀方案区间内，但在508（含）-772（含）为良好方案； 线下不在优秀和良好方案区间内，但在222（含）-800（含）为合格方案． 考点5：动点型 典例5：如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，求： (1) ； ． (2)当运动多少秒时，恰好是等腰直角三角形？ (3)当运动多少秒时，的面积最大？ 【答案】(1)， (2)当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形 (3)3秒 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用、等腰三角形的性质，数形结合和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据动点P和动点Q的运动速度和路径进行解答即可； （2）当时，恰好是等腰直角三角形，则，解方程即可得到答案； （3）设同时出发后经过，的面积为，则，，进而得出的表达式，将其化为顶点式，再结合的取值范围即可得出答案 【详解】（1）解：∵动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动． ∴；； 故答案为：， （2）根据题意可知，当时，恰好是等腰直角三角形， 此时，； 解得， 即当运动时间是2秒时恰好是等腰直角三角形； （3）解：设同时出发后经过，的面积为， 则，， 则， ，点的运动速度为，点的运动速度为， ， ， 时，S有最大值9，即的最大面积为． 即当运动3秒时，的面积最大 【变式1】如图，在长方形中，，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，到点停止；同时动点从点出发，以每秒的速度在间做往复运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点运动的时间是（秒），的面积是． (1)点共运动________秒； (2)当点沿折线运动时，用含的代数式表示线段的长； (3)当且时，用含的代数式表示S； (4)当两点相遇时，直接写出的值． 【答案】(1)15 (2)当时，；当时， (3)当时，；当时，；当时， (4)11或15 【分析】本题考查列代数式，二次函数的应用，一元一次方程的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键． （1）根据点Q运动时间与点P运动时间相同，求出点P运动时间即可得点Q运动时间； （2）分情况讨论：当时，当时，分别求解即可； （3）分情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可； （4）根据P、Q共有两次相遇求解即可． 【详解】（1）解：点Q运动时间为（秒）， 故答案为：15； （2）解：当时，点P在上运动．； 当时，点P在上运动，； 综上，当时，；当时，； （3）解：当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动， 此时，，， ； 当时，点P在上运动，点Q由点C向点B运动， 此时，，， ； 当时，点P在上运动，点Q由点B向点C运动， 此时，，， ； 综上，当时，；当时，；当时，； （4）解：当P与Q第一次相遇时，根据题意，得：， 解得：； 当P与Q第二次相遇时，根据题意，得：， 解得：； 综上，当或15时，P、Q两点相遇． 【变式2】如图，在中，，．动点P从点A出发，沿方向以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，沿方向以的速度向终点A运动．以为一边向上作正方形，过点Q作，交于点F．设点P的运动时间为，正方形和重叠部分图形的面积为． (1)当点D落在上时，x的值为______． (2)当点D落在上时，求x的值． (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，动点问题，二次函数的应用，分类讨论是解题的关键． （1）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （2）根据正方形的性质及等腰直角三角形的判定及性质可得，进而即可求解； （3）分三种情况：当时，当时，当时，画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 当点在上时，如图所示，此时， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴； （3）由（1）可知，当点在上时，，当点在上时，， 当时，如图，正方形和重叠部分图形的面积为正方形的面积， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴，则， 又∵是正方形， ∴，则， ∴，则， ∴； 当时，如图， ， ∴． 【变式3】如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． (1)t为何值时，？ (2)t为何值时，的长度为？ (3)设五边形的面积为，当t为何值时，五边形的面积最小？最小面积为多少？ 【答案】(1)当时，． (2)当或时，的长度为． (3)当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积二次函数的性质等，解题的关键是根据题意列函数关系式． （1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可； （2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案； （3）根据题意可得当五边形的面积为时，，再利用函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， 则， 当时， 故， 解得：， 故当时，． （2）∵四边形是矩形， ∴， 在中，，且，，， 即， 解得：，． ∴当或时，的长度为． （3）∵五边形的面积四边形的面积， 故当五边形的面积为时； ∴， ∵，有最小值， ∴当， 最小值为：， ∴当秒时，五边形的面积最小，最小面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$