专题03 二次根式【五大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（北师大版）

专题03 二次根式 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式 （1）二次根式概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 ①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 ②二次根式≥0，是一个非负数。 ③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（𝑎≥0）就表示a的算术平方根。 （2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （二）二次根式的性质 = 考点一遍过 考点1：二次根式定义 典例1：下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】在式子、、、、中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如果是任意实数，下列二次根式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 考点2：二次根式定义——求字母的值 典例2：已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【变式2】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【变式3】如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 考点3：二次根式有意义的条件 典例3：函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 【变式1】使函数有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【变式3】若成立，则的取值范围是 ． 考点4：利用二次根式的性质化简 典例4：已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【变式3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 考点5：复合二次根式的化简 典例5：我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（    ）． A．型 B．型 C．型 D．型 【变式1】把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【变式2】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【变式3】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 同步一遍过 1．要使二次根式有意义，必须满足（   ） A． B． C． D． 2．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．±2 7．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则下列各式有意义的为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（    ）．    A． B． C． D． 10．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如果，那么 ． 12．化简： ． 13．当时，化简 ． 14．已知，则为 ． 15．已知：；；；…如果n是大于1的正整数，那么请用含n的式子表示你发现的规律 ． 16．若是一个整数，则x可取的最小正整数是3． （判断对错） 三、解答题 17．计算     （1） （2）(-5)（6+）-(3-)+() 18．计算： （1） ×； （2）已知 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简： ． 19．计算：÷ ． 20．求满足的自然数的值． 21．比较与的大小（倒数法） 22．已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． (1)求a； (2)先化简再求值：． 23．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式 考点类型 知识一遍过 （一）二次根式 （1）二次根式概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 ①二次根式中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 ②二次根式≥0，是一个非负数。 ③二次根式与算术平方根有着内在联系，,（𝑎≥0）就表示a的算术平方根。 （2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 （二）二次根式的性质 = 考点一遍过 考点1：二次根式定义 典例1：下列各式①； ②； ③； ④；其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，明确二次根式的被开方数是非负数是解题的关键； 首先观察所给式的根式，根据二次根式的定义可知根指数必须是2； 再根据被开方数必须为非负数，由此即可对题中各式进行判断，进而得出结果． 【详解】解：①当时，不符合二次根式定义， ②当时，不符合二次根式定义， ③， ，一定是二次根式， ④当时，不符合二次根式定义， 故一定是二次根式的有1个， 故选：D． 【变式1】在式子、、、、中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式可得答案，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数． 【详解】解：、、、、都是二次根式， 当，，则无意义， 综上，是二次根式的有个， 故选：C． 【变式2】下列式子一定是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义；熟练掌握二次根式对被开方数的要求是解题的关键． 根据二次根式的定义．要求被开方数非负，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，无意义，不是二次根式； B．一定是二次根式；     C．当时，无意义，不是二次根式；     D．当时，无意义．不是二次根式；     故选：B． 【变式3】如果是任意实数，下列二次根式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，．根据二次根式有意义的条件：被开方数一定是非负数进行判定即可． 【详解】解：A、，被开方数可能是负数，故错误； B、，当时，被开方数是负数，故错误； C、，当时，被开方数是负数，故错误； D、，被开方数，故正确； 故选：D． 考点2：二次根式定义——求字母的值 典例2：已知a是正整数，是整数，则a的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解： 是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为6， 故选：D． 【变式1】已知n是正整数，是整数，则n的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数) ∴n的最小值是2． 故选：B． 【变式2】已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【变式3】如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是 ． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案． 【详解】解：当5m+8=7时，m=-，不合题意， 当=2，即5m+8=28时，m=4， ∴与是同类二次根式，那么m的最小正整数是4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式． 考点3：二次根式有意义的条件 典例3：函数中，自变量x的取值范围为（    ）． A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件是分母不为零成为解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故选A． 【变式1】使函数有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由被开方式是分式，再根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【变式2】如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 【变式3】若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可得到答案，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点4：利用二次根式的性质化简 典例4：已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解题的关键．根据数轴可知，，进而得到，，根据二次根式的性质，以及绝对值的性质进行化简计算即可． 【详解】解：根据实数a，b在数轴上的位置可得：，， ，， ，，， ， 故选：B． 【变式1】如果，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 故选D． 【变式2】已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 【变式3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定，的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围． 【详解】解：由数轴可得：，， 原式 ． 故答案为：． 考点5：复合二次根式的化简 典例5：我们把形如（，为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于无理数的类型为（    ）． A．型 B．型 C．型 D．型 【答案】B 【分析】将代数式化简即可判断． 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练将代数式化简是解题的关键． 【变式1】把(2-x) 的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得x>2，然后根据二次根式的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ，解得：x>2， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式2】观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【变式3】若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 【详解】， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 同步一遍过 1．要使二次根式有意义，必须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：x-2≥0， 解得：x≥2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的性质解答即可. 【详解】解：选项A，被开方数不能为负数，选项A不成立； 选项B，，选项B成立； 选项C， ，选项C不成立； 选项D，，选项D不成立； 由此可得只有选项B正确． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟记二次根式的性质， 是解题的关键． 3．要使二次根式有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则x≥0， 则x的取值范围在数轴上表示为：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 4．已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴≥0 ∴≥0 ∵≥0 ∴≥0 ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断的取值范围． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式的意义求出n，再求出m，最后根据负整数指数幂的运算法则得到最终解答． 【详解】解：由题意可得： 2n-5=5-2n=0， ∴m=0+0+2=2， ∴n-m= 故选A． 【点睛】本题考查二次根式和负整数指数幂的综合应用，熟练掌握二次根式有意义的条件及负整数指数幂的计算方法是解题关键．　 6．化简的结果是（    ） A．2 B．－2 C．4 D．±2 【答案】A 【分析】，即可得出答案． 【详解】 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，属于基础题型． 7．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，且，则下列各式有意义的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合数轴可知a,b的符号，再结合各选项中式子有意义的条件判断. 【详解】解：A.由数轴可知，a＜0，∴-a＞0，故A有意义； B.由数轴可知，a,b符号相反，∴ab＜0，故B无意义； C.由数轴可知，a-b＜0，故C无意义； D.由以及数轴可知，a,b互为相反数，∴a+b=0,故D无意义. 故选：A. 【点睛】本题主要考查数轴上的点，意义二次根式和分式有意义的条件，掌握基本概念是关键. 8．如图，在四边形中， ，且，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，则可证明，可以得到是直角三角形，且，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选B． 9．如果实数，，在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴，先判断出b＜a＜0＜c，，从而得出a＋b＜0，c－a＞0，b＋c＜0，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：b＜a＜0＜c， ∴a＋b＜0，c－a＞0，b＋c＜0 ∴ = = = 故选C． 【点睛】此题考查的是利用数轴判断字母和式子的符号、二次根式的化简和绝对值的化简，掌握数轴上的点所表示的数从左至右逐渐变大、二次根式的性质和绝对值的性质是解决此题的关键． 10．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将各数化简，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较、二次根式的性质，熟练掌握实数的大小比较方法是解答的关键． 二、填空题 11．如果，那么 ． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，然后代入即可求出答案． 【详解】根据二次根式有意义的条件可知， ， 解得 ， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握二次根式有意义的条件，求出相应的x,y的值是解题的关键． 12．化简： ． 【答案】 【分析】先对二次根式进行化简，再进行平方计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的化简和乘方运算是解题的关键． 13．当时，化简 ． 【答案】1 【分析】利用完全平方公式，二次根式的性质化简，再根据绝对值的意义，去绝对值，计算即可． 【详解】解： ， ∵ ∴， ∴原式． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式、二次根式的性质与化简、绝对值的意义，正确化简二次根式是解题关键． 14．已知，则为 ． 【答案】1 【分析】本题考查求代数式的值，二次根式的性质，解二元一次方程组，解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0．由，可得，解得，代入计算即得答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 故答案为：1． 15．已知：；；；…如果n是大于1的正整数，那么请用含n的式子表示你发现的规律 ． 【答案】 【详解】试题分析：根据已知式子找出规律，再用n表示出来即可． 解：∵；；；， ∴=2，=3， ∴=n， 故答案为=n． 点评：本题考查了二次根式的性质，关键是根据已知式子找出规律． 16．若是一个整数，则x可取的最小正整数是3． （判断对错） 【答案】对 【分析】由于＝2，则当x为3的完全平方数倍时，2为整数，于是可判断x可取的最小正整数为3． 【详解】∵＝2， ∴若是一个整数，则x可取的最小正整数是3， 故答案为：对． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是利用使用化简二次根式． 三、解答题 17．计算     （1） （2）(-5)（6+）-(3-)+() 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由二次根式的性质和运算法则进行化简，再合并同类项即可； （2）先根据多项式乘法法则、去括号法则和二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：（1） = = （2）( -5)（6+ ）-(3- )+( ) = = 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 18．计算： （1） ×； （2）已知 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减乘除即可 （2）根据，再根据各点在数轴上的位置，判断绝对里面式子的正负，最后根据绝对值的性质，去绝对值，进行计算即可 【详解】（1）原式 （2）结合数轴可知：， ，， 原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，绝对值的性质，熟练掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质，以及绝对值的性质是解题关键． 19．计算：÷ ． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则，将完全平方展开计算求值即可． 【详解】解：原式＝×﹣（3﹣2+5） ＝1﹣（8﹣2） ＝1﹣8+2 ＝2﹣7； 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键． 20．求满足的自然数的值． 【答案】或 【分析】由题意得：, 假设是有理数，则是有理数，这与（1）式矛盾，则为无理数，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】由题意得： ∵是无理数，假设是有理数，则是有理数，这与（1）式矛盾，      ∴为无理数， ∴， 又∵，         ∴． ∴或． 【点睛】本题考查了二次根式的概念与性质，部分题目不方便直接求解，在这个过程中一定要注意观察，应用一些特别的等量关系进行求解，解决问题是解题的关键． 21．比较与的大小（倒数法） 【答案】 【分析】利用倒数法，即可比较出大小． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了无理数大小的比较，熟练掌握和运用无理数大小的比较方法是解决本题的关键． 22．已知直角三角形的三边为a，b，c．其中b，c满足． (1)求a； (2)先化简再求值：． 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查了非负性、二次根式的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）先根据非负数的性质得出，，再根据勾股定理即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质得出，再根据实数的大小比较得出，然后根据非负数的性质及二次根式的性质化简，最后将值代入即可得出答案． 【详解】（1） ， ， 当为直角三角形的斜边时， 当为直角三角形的一条直角边时， 综上所述，的值为或； （2）解：由题意得 23．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$