专题03 全等三角形的判定（2）【七大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题03 全等三角形的判定（2） 考点类型 知识串讲 （一）全等三角形的判定（ASA、AAS） （1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （二）全等三角形的判定（HL） （1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 考点训练 考点1：用ASA证明三角形全等 典例1：如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【变式1】已知：如图，，，点F、点C在上，．求证：．    【变式2】如图，小明家住在河岸边的处，河对岸的处有一棵树，他想要测得这棵树与自己家之间的距离．设计了下面的方案：在与点同侧的河岸边选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，此时测得的长就是，两点间的距离．小明设计的方案是否正确？请说明理由． 【变式3】如图，，，，求证：． 考点2：用AAS证明三角形全等 典例2：如图，点，在上，，，．试说明．    【变式1】如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【变式2】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【变式3】如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：． 考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合 典例3：如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．    (1)若直线经过内部，且E、F在射线上，设： ①如图1，若，，求证：． ②如图2，若，①中结论是否成立？请说明理由． (2)如图3，直线经过外部，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【变式1】如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为、．    (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】如图，点E在外部，点在边上，交于点，若，，    (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 【变式3】如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 考点4：添加条件使三角形全等 典例4：如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【变式1】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【变式2】如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【变式3】如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④． 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程． 条件为：　　（填序号）． 结论为：　　（填序号）．    考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等 典例5：如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【变式1】【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知；    （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”）    （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请举出反例．    【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【变式2】【旧题重现】 （1）《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：． 证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格． 【深入研究】 （2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．    【类比思考】 （3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等． 【变式3】小晓在进行三角形全等的探究时提出命题： ①“两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等” ②“两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等” (1)以上命题是真命题的有________﹔（填序号） (2)请选择一个真命题及与之匹配的图形，补充完整已知、求证，然后证明． 我选择的命题是：________，（填序号） 已知：如图________（填序号），与中，________； 求证：________； 证明： 考点6：用HL证明三角形全等 典例6：如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【变式1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【变式2】如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【变式3】如图，在和中，，，AD与分别为，边上的中线，且，求证： 考点7：全等性质与HL综合 典例7：如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 【变式1】如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式2】已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【变式3】（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：． （2）如图②，在四边形中，． ①若，则的度数为 ； ②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形的判定（2） 考点类型 知识串讲 （一）全等三角形的判定（ASA、AAS） （1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （二）全等三角形的判定（HL） （1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 考点训练 考点1：用ASA证明三角形全等 典例1：如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）由，，可得，结合，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【变式1】已知：如图，，，点F、点C在上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，，再证明，由“”可证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，小明家住在河岸边的处，河对岸的处有一棵树，他想要测得这棵树与自己家之间的距离．设计了下面的方案：在与点同侧的河岸边选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，此时测得的长就是，两点间的距离．小明设计的方案是否正确？请说明理由． 【答案】小明设计的方案正确．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，得出，，，证明，得，即可作答． 【详解】解：小明设计的方案正确． 理由： ∵，，，， ∴在和中，，，， ∴， ∴， 故的长就是，两点间的距离． 【变式3】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定．根据平行线的性质可得，，再根据等式的性质可得，然后利用可证明． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 考点2：用AAS证明三角形全等 典例2：如图，点，在上，，，．试说明．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，再结合，，即可证明，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．证明，，根据即可证明． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． ， ． 【变式2】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解； 【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得， ，， ， 为的中点， ， ． 在和中 ， ； （2）平分， ， 又， ． ，， ． 【变式3】如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出，由此证得，得到，即可推出． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 考点3：全等三角形的性质与ASA、AAS综合 典例3：如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且．    (1)若直线经过内部，且E、F在射线上，设： ①如图1，若，，求证：． ②如图2，若，①中结论是否成立？请说明理由． (2)如图3，直线经过外部，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②成立，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）①证明，得出，，根据即可得出结论； ②先证明，再证明，得出，，即可得出结论； （2）先证明，再证明，得出，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①由图知：， 又， 在中，， ， ， ， ，， ； ②结论成立，理由如下： ，， ， 又∵在中，， ， ， ， ，， ， 即①中两个结论还成立； （2）解：， ， 又，且， ， ，， ， ，， ． 【变式1】如图，中，，直线经过点，，，垂足分别为、．    (1)证明：； (2)写出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由已知条件结合图形灵活选用恰当的方法证明三角形全等是解题的关键． （1）利用已知得出，进而利用得出即可； （2）由，可得出，继而利用线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）∵，， 又， ，， ，， ， 在和中， ， ∴； （2）．理由如下： 由（1）得： ∴，， ， ． 【变式2】如图，点E在外部，点在边上，交于点，若，，    (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用， 熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键； （1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法判定即可； （2）根据三角形面积公式，同高找底的关系即可求解面积，再根据即可求解； 【详解】（1）证明：， 即， ，， ， ， ， 在和中， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式3】如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． (1)求证：是的中点； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过作的延长线于点，先证，得到，再证得得到，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，，，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可证得结论． 【详解】（1）过作的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）由（1）得，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 考点4：添加条件使三角形全等 典例4：如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 【变式1】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 【变式2】如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【变式3】如图，在和中，点、、、在同一条直线上，有下面四个选项：①；②；③；④． 请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题．并写出证明过程． 条件为：　　（填序号）． 结论为：　　（填序号）．    【答案】①②④；③，证明见解析 【分析】条件为：①②④，结论为：③；只需要证明即可． 【详解】解：条件为：①②④，结论为：③；（答案不唯一） 已知：如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，．求证：． 证明： ， ， ， ，即， 在和中， ， （SAS）， ． 故答案为：①②④；③ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定的条件和性质是解答本题的基础． 考点5：灵活选用判定方法证明三角形全等 典例5：如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【变式1】【提出问题】 我们已经知道了三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法（），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（） 【探索研究】 已知：在和中， （1）如图①，当时，根据　 　，可知；    （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，可知与　 　全等．（填“一定”或“不一定”）    （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请举出反例．    【归纳总结】 （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是　 　时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），见解析；（3），见解析；（4）②③ 【分析】（1）根据即可判断； （2）画出图形，可知两个三角形不一定全等． （3）结论：．如图③中，作交的延长线于G，作交的延长线于H．利用3次全等解决问题即可； （4）利用（1）（3）中结论即可解决问题； 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， 故答案为． （2）如图②中，通过作图知， 存在满足条件，但不与全等； 故答案为：不一定      （3）结论：． 理由：如图③中，作交的延长线于G．作交的延长线于H．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）由（1）（3）中的结论可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等． 故答案为②③． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的全等的判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 【变式2】【旧题重现】 （1）《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，，求证：． 证明的途径可以用下面的框图（图②）表示，请填写其中的空格． 【深入研究】 （2）如图③，、分别是和的、边上的中线，，，，判断与是否仍然全等，并说明理由．    【类比思考】 （3）下列命题中是真命题的是______（填写相应的序号） ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）全等，理由见解析；（3）①②③⑤． 【详解】（1）根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接，证明．由全等三角形的性质得出，，同理，，证明．得出，，则可证明； （3）根据全等三角形的判定方法可得出结论． 【解答】（1）证明，如下： ∵是的中线， ∴， ∵分别是的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：与仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接 ∵和分别是和的和边上的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴． （3）解：①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等，正确，符合题意； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等，说法错误， 如图，在与中，，，高相同，但是与不全等． 故④不符合题意； ⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等，正确，符合题意． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式3】小晓在进行三角形全等的探究时提出命题： ①“两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等” ②“两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等” (1)以上命题是真命题的有________﹔（填序号） (2)请选择一个真命题及与之匹配的图形，补充完整已知、求证，然后证明． 我选择的命题是：________，（填序号） 已知：如图________（填序号），与中，________； 求证：________； 证明： 【答案】(1)①、② (2)见解析 【分析】（1）根据两个命题的描述通过推理论证即可判断两个命题都为真命题． （2）任选其中一个命题，根据命题的描述，将文字语言转化为几何语言再进行证明即可． 【详解】（1）解：根据描述判断命题①与命题②均为真命题． （2）解：选择命题①； 如图（1） 已知，，分别是与的中线，且， 求证：． 证明：∵， 分别是与的中线，且， ∴． ∴． ∴， ∴． 选择命题②； 如图（2） 已知，，分别平分 ，且． 求证：． 证明：∵， 分别平分，且， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是中线的性质，角平分线的定义以及全等三角形的综合应用，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 考点6：用HL证明三角形全等 典例6：如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，在中，，在的上方作，使，且，与交于点，连接． (1)若平分，求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质即角平分线性质， （1）延长，交于点，由题意得，有，由垂直得，证得，有即可证明结论； （2）过点分别作于点，于点，有，得到，可得，即可求得角度． 【详解】（1）证明：延长，交于点，如图， ，，， ， ， ． ，， ． ，， ， ， ． （2）解：过点分别作于点，于点，如图， ． ，， ， ， ∵， ∴， ． 【变式3】如图，在和中，，，AD与分别为，边上的中线，且，求证： 【答案】见解析 【分析】先根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等求得，由全等三角形的性质得出，进而可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵与分别为，边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴ ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握和的判定条件是解题关键． 考点7：全等性质与HL综合 典例7：如图，已知，分别是两个钝角和的高，如果，． 求证： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定与性质，属于简单题，用的特殊方法证明三角形全等是解题关键． （）证明，即可求证； （）证明得，由（）得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，分别是两个钝角和的高， ∴， 在和中, ， ∴， ∴； （2）证明：在和中, ， ∴， ∴， 由（）得， ∴， 即． 【变式1】如图，在中，于点， 为延长线上一点，过点作交于点． 交于点，若．请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，解决本题的关键是得到．利用证明，得到，由直角三角形的特征得，再根据，推出，即可解决问题． 【详解】解：，理由如下； 证明： ，， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ，， ， ， ． 【变式2】已知：如图，在 中，的角平分线与的垂直平分线交于点D， 垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若 求 的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)17 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由（1）可知，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接． ∵D在的中垂线上 ∴ ∵．平分 ∴ ∴   ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴   又∵． ∴ ∴ 由 (1) 可知    ∴的周长为： 【变式3】（1）如图①，，，，垂足分别为，，．求证：． （2）如图②，在四边形中，． ①若，则的度数为 ； ②分别作平分，平分交，于点，，请判断与的位置关系，并说明理由．（请补全图形后再作答） 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②补全图形见解析；，理由见解析 【分析】（1）根据垂直定义得到，在直角三角形中利用两个三角形全等判定定理得到，再由三角形全等的性质即可得证； （2）①由四边形内角和为及已知角代值求解即可得到答案；②根据题意补全图形，由四边形内角和及角平分线定义可得，再由等量代换可得，由平行线的判定定理即可得证． 【详解】解：（1），， ． ， ，即． 又， ； （2）①在四边形中，， ，， ； 故答案为：； ②补全图形，如图所示： ， 理由如下： 在四边形中，，， ． 平分，平分， ， 在中，，则． ． 【点睛】本题考查几何综合，涉及直角三角形全等的判定与性质、四边形内角和、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余及平行线的判定定理等知识，熟记相关几何性质与判定，数形结合是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$