专题03 有理数乘方【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题03 有理数乘方 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘方 （1）乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，也可以读作a的n次幂。 读作:a的n次方,或者a的n次幂 （2）负数的幂的正负的规律：（易错） 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. （二）科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。（易错） （三）近似数 （1）近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 【识别近似数与准确数的方法】 ①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据是近似数。 ②描述“温度”“身高”“体重”的数据是近似数。 ③准确数字与实际相符 （2）有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 （3）精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。（难点） （四）有理数混合运算 运算顺序：先乘方；后乘除；再加减；有括号先算括号内。秘诀：时时刻刻注意符号是否有错。 考点一遍过 考点1：有理数乘方——概念理解 典例1：表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【变式2】根据乘方的概念可以表示为 ． 【变式3】的底数是 ，表示 1相乘的 ，即 ． 考点2：有理数乘方——运算 典例2：计算： ， ， ． 【变式1】观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列选项中可表示算式（m，n均为正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 考点3：有理数乘方——逆运算 典例3：等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【变式1】，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【变式2】已知，且、满足，那么 ． 【变式3】如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ． 考点4：有理数乘方——符号规律 典例4：计算： 【变式1】计算： ． 【变式2】在，，，这四个数中，是负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 考点5：有理数乘法——应用（非负性） 典例5：阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么（    ） A．7 B．11 C．13 D．17 【变式1】若x、y为有理数，与互为相反数，则代数式的值等于（    ） A． B．1 C．2021 D． 【变式2】若，则 ， ． 【变式3】（x﹣1）2与|y+2|互为相反数，则（x+y）4的值是 ． 考点6：有理数——科学计数法 典例6：2022年10月16日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京大会堂隆重开幕，习近平代表第十九届委员会向大会作报告．报告全文的总字数约为32500，把32500用科学记数法表示为 ． 【变式1】《2023年政府工作报告》中指出：我国有2.8亿在校学生，要坚持把教育这个关乎千家万户和中华民族未来的大事办好．将2.8亿用科学记数法表示应为 ． 【变式2】近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（    ） A． B． C． D． 考点7：有理数——近似数 典例7：用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【变式1】用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【变式2】据第一财经报道：“2024年第一季度， 上海总量亿元， 同比增速， 拔得全国头筹．”将数字保留三个有效数字后，近似数为 ． 【变式3】9.9784精确到个位是 ，保留一位小数是 ，精确到百分位是 ，保留三位小数是 ． 考点8：有理数混合运算——程序图 典例8：如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【变式1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【变式2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【变式3】如图，是一个计算装置示意图，A、B是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由A、B分别输入自然数m和n，经计算后得整数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若，时，； ②若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2； ③若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍． 试解答以下问题： （1）当，时，k的值为 ； （2）当，时，k的值为 ； （3）当A输入自然数m，B输入1时，k的值为 ． 考点9：有理数混合运算——含乘方 典例9：（1）     （2）． 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 同步一遍过 一、单选题 1．甲商品的进价为1500元，按标价1700元的9折出售；乙商品的进价是400元，按标价560元的8折销售，两种商品中利润率较高的是（　　　） A．甲种 B．乙种 C．两种一样 D．无法比较 2．用科学记数法表示中国的陆地面积约为：，原来的数是　　． A．9600000 B．96000000 C．960000 D．96000 3．设a、b为有理数，下列命题正确的是（   ） A．若a≠b，则a2≠b2 B．若，则a=－b C．若a＞b，a2＞b2 D．若a、b不全为零，则a2＋b2＞0 4．一天的时间是86400秒，将数字86400用科学记数法表示为（ ） A．8.64×105 B．8.64×104 C．86.4×103 D．864×102 5．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 6．由四舍五入法得到的近似数，若其原数为，则原数的范围是（ ） A．2.5≤a<2.55 B．2.4<a≤2.5 C．2.45<a<2.55 D．2.45≤a<2.55 7．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 8．下列计算正确的是(　　) A．﹣2﹣1=﹣3 B．﹣42=16 C．﹣3+1=﹣4 D．﹣|2|=2 9．2019年“十·一”黄金周期间，安仁古镇共接待游客约225000人，其中数“225000”用科学记数法表示为（　　） A．225×103 B．22.5×104 C．2.25×105 D．0.225×106 10．大约在20世30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对7×1011以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n=21，则要想算出结果1，共需要经过的运算次数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 11．九景衢铁路2017年12月28日正式通车，景德镇从此跨入动车时代．据了解，九景衢铁路总长约333千米，用科学记数法表示为 米． 12．观察下列算式： …，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 13．我国载人飞船按一定的轨道绕着地球飞行，一圈的路程约为．用科学记数法表示为 ． 14．地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为 平方千米，  1.8935（用四舍五入法精确到0.001）为 ；566.1235精确到个位为 ． 15．如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入的值为时，最后输出的结果为 ． 16．若，那么的值等于 ． 三、解答题 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18．对于四个数“，1，，4”及四种运算“+，-，×，÷”，列算式解答． （1）求这四个数的和． （2）从这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得： ①“□-□”的结果最大； ②“□+□”的结果最小． （3）从这四个数中选出三个数，从四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等上没选的那个数． 19．对于有理数，，定义运算：． （1）计算的值． （2）计算的值． 20．（2023秋•江北区月考）计算： (1)； (2)．[可以利用公式：] 21．小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为多少？ 22．先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即 )． 一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即 )． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即 )． 问题： (1)计算以下各对数的值： =_________，=_________，=_________． (2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？ (3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）． (4)利用（3）的结论计算＝______． 23．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，约定向东记作正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）冲锋舟最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远． （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中需多少升油． 24．对于有理数a、b，定义运算：a⊕b＝a×b+|a|﹣b，符合有理数的运算法则和运算律． （1）计算（﹣2）⊕（﹣2）的值； （2）填空：3⊕（﹣2）　 　（﹣2）⊕3（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）计算[（﹣5）⊕4]⊕（﹣2）的值； 25．根据以下素材，探索完成任务， 如何设计简单的幻圆？ 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图1是一个简单的二阶幻圆模型，将1，2，3，4，5，6，7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等． 图1 素材2 在一个幻圆中，每个圆周上的数字之和，或横线上的数字之和，或竖线上的数字之和都叫做幻和，例如上图1中的幻和的个数是4个，它们都等于18．计算幻和的方法是将图中所有数字之和的两倍，再除以相应幻和个数． 例如图1的幻和计算方法． 素材3 类似地，数学兴趣小组尝试将数这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和（幻和）都相等，部分数字已填入，如图2所示． 图2 问题解决 任务1 根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是______个，它们都等于______． 任务2 请将素材3中“六角幻星”空缺的数字填写完整． 任务3 设计一个简单的二阶幻圆，根据任务1、2的经验，把这8个数填入图3中，设计一个二阶幻圆． 图3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 有理数乘方 考点类型 知识一遍过 （一）有理数乘方 （1）乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，即，记作，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 在中，a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，也可以读作a的n次幂。 读作:a的n次方,或者a的n次幂 （2）负数的幂的正负的规律：（易错） 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0. （二）科学计数法 （1）把一个大于10的数记成的形式，其中a是整数数位只有一位的数（即），n是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。 （2）把还原成原数时，只需把a的小数点往前移动n位。（易错） （三）近似数 （1）近似数概念：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 【识别近似数与准确数的方法】 ①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据是近似数。 ②描述“温度”“身高”“体重”的数据是近似数。 ③准确数字与实际相符 （2）有效数字概念：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。 （3）精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。（难点） （四）有理数混合运算 运算顺序：先乘方；后乘除；再加减；有括号先算括号内。秘诀：时时刻刻注意符号是否有错。 考点一遍过 考点1：有理数乘方——概念理解 典例1：表示（        ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．个6相乘的积 D．6与相乘的积 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法的意义，了解乘方的意义是解答本题的关键，难度不大． 根据乘方的意义直接回答即可． 【详解】根据乘方的意义知：表示6个相乘的积， 故选A． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．的底数是 B．表示5个2相加 C．与意义相同 D．的底数是2 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据乘方的意义，进行判断即可． 【详解】解：A、的底数是2，∴此选项的说法错误，故不符合题意； B、表示5个2相乘，∴此选项的说法错误，故不符合题意； C、表示3个相乘，表示3个3相乘的相反数，∴它们表示的意义不同，故不符合题意； D、 的底数是2，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意， 故选：D． 【变式2】根据乘方的概念可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的概念，几个相同的数相乘，可以写成一个数的几次方的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】的底数是 ，表示 1相乘的 ，即 ． 【答案】 积的相反数 【分析】求个相同因数的积的运算叫做乘方，即，其中叫做底数，叫做指数；据此即可求解． 【详解】解：由题意得 的底数是，表示个相乘的积的相反数， ， 故答案：①，②，③积的相反数，④． 【点睛】本题考查了乘方的定义，理解定义是解题的关键． 考点2：有理数乘方——运算 典例2：计算： ， ， ． 【答案】 4 / 【分析】本题主要考查了去括号法则、有理数的乘方运算等知识点，熟记相关运算法则是解题的关键． 根据去括号法则、有理数的乘方运算进行计算即可． 【详解】解：；；． 故答案为：，4，． 【变式1】观察下列算式： ，，，，，，，，…，则的末位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，本题得到2的指数幂的结果的个位数每4次循环，结合，从而可得答案，掌握探究的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴个位数每4次循环， ∵每4个数的个位数之和为， ∴和的个位为0， ∵， ∴可分为组， ∴其运算结果中的个位为0； 故答案为：0． 【变式2】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法的定义：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为，由此求解即可．本题考查有理数的运算，熟练掌握乘法、乘方的运算定义，准确计算是解题的关键． 【详解】m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个4相乘表示为， 故的结果是， 故选A． 【变式3】下列选项中可表示算式（m，n均为正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘法，根据m个3相加可表示为，n个5相乘可以表示为，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】． 故选：C． 考点3：有理数乘方——逆运算 典例3：等于（    ） A． B．8 C．0.125 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的乘方进行计算即可． 【详解】解： ． 故选B 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，掌握有理数的乘方运算是解题的关键． 【变式1】，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 【变式2】已知，且、满足，那么 ． 【答案】5 【分析】根据乘方的性质解答即可． 【详解】解：，， ，， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数乘方的计算，理解乘方含义是解题关键． 【变式3】如果ab＝c，那么我们规定[a，c]＝b．例如：因为23＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；则[3，m+2]＝ ． 【答案】3 【分析】根据规定可得3n＝5，9n＝m，从而得到m＝25，然后设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27，再由33＝27，即可求解． 【详解】解：∵[3，5]＝n，[9，m]＝n， ∴3n＝5，9n＝m， ∴9n＝（3n）2＝52＝25， ∴m＝25，即m+2=27， 设[3，m+2]＝x，则3x＝m+2=27， ∴33＝27， ∴[3，m+2]＝3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了乘方的逆运算的应用，理解新规定是解题的关键． 考点4：有理数乘方——符号规律 典例4：计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 【变式1】计算： ． 【答案】 【分析】通过题意发现该式子为m个2的和，然后再加上m个3的积，即可得到答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题是数字类规律题，注意观察式子特点是解题的关键． 【变式2】在，，，这四个数中，是负数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】先求解相反数与绝对值，再根据乘方的符号规律：负数的奇数次方的结果为负数，负数的偶数次方的结果为正数，从而可得答案. 【详解】解：是正数， 是正数， 是负数， 是正数， 故负数只有一个，是 ， 故选： 【点睛】本题考查的是相反数的含义，绝对值的含义，乘方符号的规律，掌握乘方符号的变换规律是解题的关键. 【变式3】当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当a＜0时， a2021是负数，故①正确； (-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正确，④错误； a2020=(-a)2020，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 考点5：有理数乘法——应用（非负性） 典例5：阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么（    ） A．7 B．11 C．13 D．17 【答案】A 【分析】根据新定义进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数乘方，有理数加法，定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题的关键． 【变式1】若x、y为有理数，与互为相反数，则代数式的值等于（    ） A． B．1 C．2021 D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性解决此题． 【详解】∵与互为相反数， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、偶次方的非负性，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性是解决本题的关键． 【变式2】若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【变式3】（x﹣1）2与|y+2|互为相反数，则（x+y）4的值是 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵（x﹣1）2与|y+2|互为相反数， ∴（x﹣1）2+|y+2|＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， 解得x＝1，y＝﹣2， 所以，（x+y）4＝（1﹣2）4＝（﹣1）4＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 考点6：有理数——科学计数法 典例6：2022年10月16日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京大会堂隆重开幕，习近平代表第十九届委员会向大会作报告．报告全文的总字数约为32500，把32500用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键． 【详解】 故答案为： 【变式1】《2023年政府工作报告》中指出：我国有2.8亿在校学生，要坚持把教育这个关乎千家万户和中华民族未来的大事办好．将2.8亿用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】将2.8亿用科学记数法表示应为． 故答案为：． 【变式2】近十年来，我国扎实开展国土绿化行动，持续推进科学绿化，累计完成国土绿化面积1680000000亩，将数据“1680000000”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】， 故选：B． 【变式3】2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4500万即45000000， ， 故选：D． 考点7：有理数——近似数 典例7：用四舍五入法对2.06032分别取近似值，其中错误的是（    ） A．2.1（精确到 B．2.06（精确到百分位） C．2.0（精确到十分位） D．2.0603（精确到 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：A．（精确到，正确，不符合题意； B．（精确到百分位），正确，不符合题意； C．（精确到十分位），原说法错误，符合题意； D．（精确到，正确，不符合题意； 故选C． 【变式1】用四舍五入法按要求对取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到） B．（精确到百分位） C．（精确到千分位） D．（精确到） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到），故A不符合题意； B、（精确到百分位），故B符合题意； C、（精确到千分位），故C不符合题意； D、（精确到），故D不符合题意； 故选：B． 【变式2】据第一财经报道：“2024年第一季度， 上海总量亿元， 同比增速， 拔得全国头筹．”将数字保留三个有效数字后，近似数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，四舍五入求近似数，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法，确定的方法是，将原数变为时，小数点移动的位数，当小数点向右移动时，的值为移动位数的相反数，当小数点向左移动时，的值为小数点移动位数的值，根据科学记数法进行计算即可． 【详解】解：， 保留三个有效数字后， 故答案为：． 【变式3】9.9784精确到个位是 ，保留一位小数是 ，精确到百分位是 ，保留三位小数是 ． 【答案】 10 10.0 9.98 9.978 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的精确度，最末尾的数字在哪位上就是精确到哪位．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：9.9784精确到个位是，保留一位小数是，精确到百分位是，保留三位小数是， 故答案为：，，，． 考点8：有理数混合运算——程序图 典例8：如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（    ） A．1840 B．1921 C．2023 D．2021 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果． 【详解】解：把1921代入得：， 把代入得：， 则输出结果为． 故选D． 【变式1】如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【答案】B 【分析】本题考查流程图，解题的关键是看懂流程图，根据流程图的过程进行计算．根据开始输入，则输出y值为1，求出，把y值为4代入求解即可． 【详解】解：∵开始输入，则输出y值为1 ∴ ， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B 【变式2】如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是 ． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 【变式3】如图，是一个计算装置示意图，A、B是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由A、B分别输入自然数m和n，经计算后得整数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若，时，； ②若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2； ③若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍． 试解答以下问题： （1）当，时，k的值为 ； （2）当，时，k的值为 ； （3）当A输入自然数m，B输入1时，k的值为 ． 【答案】 5 2或0 【分析】本题主要考查了程序图中有理数的运算， 对于（1），当m输入的自然数不变，n输入的自然数增大1，k就比原来增大2，可解答； 对于（2），考虑两种情况，①先n输入的自然数增，大1，m输入的自然数不变，再m输入的自然数增大1，n输入的自然数不变，②先m输入的自然数增大1，n输入的自然数不变，再n输入的自然数增大1，m输入的自然数不变； 对于（3），A输入自然数m，n输入的自然数不变，A输入的自然数增大了，k就为原来的倍． 【详解】（1）解：∵，时，，若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，. 故答案为：5； （2）解：①∵，时，，若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2， ∴当，时，， 当，时，； ②∵，时，，若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍， ∴当，时，，当，时，. 故答案为：2或0； （3）解：∵当A输入自然数m，B输入1时，若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍， ∴B输入1不变，A输入的自然数增大了， ∴. 故答案为：． 考点9：有理数混合运算——含乘方 典例9：（1）     （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将乘方化简，再根据乘法分配律的逆运算进行计算即可； （2）先将乘方化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的顺序和法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算的顺序和法则计算即可； （2）先算乘方，然后计算乘除，最后计算加减，有括号的先算括号． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 【变式2】计算： (1)； (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则、运算顺序和运算律是解决本题的关键． （1）先计算乘方以及乘法，再计算加减法即可； （2）先计算绝对值和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （4）先计算乘方、绝对值和括号内，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 同步一遍过 一、单选题 1．甲商品的进价为1500元，按标价1700元的9折出售；乙商品的进价是400元，按标价560元的8折销售，两种商品中利润率较高的是（　　　） A．甲种 B．乙种 C．两种一样 D．无法比较 【答案】B 【分析】根据题意分别求出甲乙两种商品的利润率，再进行比较即可． 【详解】解：甲商品的利润率为 ， 乙商品的利润率为， ∵2%＜12%， ∴乙商品利润率较高． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．用科学记数法表示中国的陆地面积约为：，原来的数是　　． A．9600000 B．96000000 C．960000 D．96000 【答案】A 【分析】直接利用科学记数法表示较小的数，还原为原来的数，需要把a的小数点向右移动n位得到原数，求出答案即可． 【详解】解：表示的原数是， 故选A． 【点睛】本题考查了科学记数法，正确把握小数点向右移动的位数是解题关键． 3．设a、b为有理数，下列命题正确的是（   ） A．若a≠b，则a2≠b2 B．若，则a=－b C．若a＞b，a2＞b2 D．若a、b不全为零，则a2＋b2＞0 【答案】D 【详解】试题分析：A、当a=1，b=－1时，，则A选项错误；当a=2，b=2时，则a=b，则B选项错误；当a=1，b=－2时，＜，则C选项错误；D正确． 考点：绝对值、平方 4．一天的时间是86400秒，将数字86400用科学记数法表示为（ ） A．8.64×105 B．8.64×104 C．86.4×103 D．864×102 【答案】B 【详解】试题解析：将86400用科学记数法表示为8.64×104． 故选B． 考点：科学记数法—表示较大的数 5．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐项计算后判断即可. 【详解】A、，故A错误； B、，故正确； C、，故正确； D、，故正确 故选A. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算规则是关键. 6．由四舍五入法得到的近似数，若其原数为，则原数的范围是（ ） A．2.5≤a<2.55 B．2.4<a≤2.5 C．2.45<a<2.55 D．2.45≤a<2.55 【答案】D 【分析】根据近似数和有效数字的定义解题即可． 【详解】由题意得，当a满足2.45≤a＜2.55时，得到的近似数为2.5． 故答案选D． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是熟练的掌握近似数和有效数字的定义. 7．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 8．下列计算正确的是(　　) A．﹣2﹣1=﹣3 B．﹣42=16 C．﹣3+1=﹣4 D．﹣|2|=2 【答案】A 【分析】分别利用有理数混合运算法则以及有理数的乘方、绝对值的性质化简判断即可． 【详解】A．﹣2﹣1=﹣3，故选项正确； B．﹣42=﹣16，故选项错误； C．﹣3+1=﹣2，故选项错误； D．﹣|2|=﹣2，故选项错误． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了有理数混合运算以及有理数的乘方、绝对值的性质等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 9．2019年“十·一”黄金周期间，安仁古镇共接待游客约225000人，其中数“225000”用科学记数法表示为（　　） A．225×103 B．22.5×104 C．2.25×105 D．0.225×106 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】225000=2.25×105， 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．大约在20世30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对7×1011以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n=21，则要想算出结果1，共需要经过的运算次数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】依据题干给定的方法计算即可得出结论． 【详解】解：验算的步数如下： 21×3+1=64， 64÷2=32， 32÷2=16， 16÷2=8， 8÷2=4， 4÷2=2， 2÷2=1． 由此可知共需要经过的运算次数是7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，数学常识．本题是阅读型题目，理解并熟练掌握题干中的方法是解题的关键． 二、填空题 11．九景衢铁路2017年12月28日正式通车，景德镇从此跨入动车时代．据了解，九景衢铁路总长约333千米，用科学记数法表示为 米． 【答案】3.33×105 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：333千米＝3.33×105米． 故答案为：3.33×105． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键． 12．观察下列算式： …，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】4 【分析】观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2014除以4，余2，所以2014的末位数字与的末位数字相同，为4； 【详解】由题意可知， ，… 即末位数字是每4个算式是一个周期， 末位分别为2，4，8，6循环， ∵2014÷4=503…2， ∴2014的末位数字与的末位数字相同，为4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了与乘方运算相关规律型问题：数字的变化类的尾数特征，掌握规律型：数字的变化类的尾数特征是解题的关键． 13．我国载人飞船按一定的轨道绕着地球飞行，一圈的路程约为．用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】科学记数法的表示形式为的形式，其中．为整数，所以=. 故答案为. 14．地球上陆地的面积约为148 000 000平方千米，用科学记数法表示为 平方千米，  1.8935（用四舍五入法精确到0.001）为 ；566.1235精确到个位为 ． 【答案】 1.48108 1.894 566 【分析】科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数；把1.8935的万分位上的数字5进行四舍五入即可；把566.1235的十分位上的数字1进行四舍五入即可． 【详解】148 000 000=1.48×108； 1.8935（用四舍五入法精确到0.001）为1.894； 566.1235精确到个位为566． 故答案为：1.48×108；1.894；566． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．还考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 15．如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入的值为时，最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题目中的程序可知： 当时， ， ∴最后输出的结果为． 故答案为：． 16．若，那么的值等于 ． 【答案】9 【分析】直接利用非负数的性质求出x，y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴x−3＝0，y＋1＝0， 解得：x＝3，y＝−1， ∴x2y2＝9×1＝9． 故答案为9． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键． 三、解答题 17．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）-18；（2）；（3）5；（4）6；（5）7；（6）-1197． 【分析】（1）先去括号，再相加减即可； （2）先将除法化为乘法，再约分化简即可； （3）先同时计算乘除法，再将结果相加即可； （4）先计算乘方，再去括号得到答案； （5）根据乘法分配率计算即可； （6）由，再根据乘法分配率计算即可. 【详解】（1）， =-20+3+5-6， =-18； （2）， ， =； （3）， =14-9， =5； （4）， =-1-（2-9）， =-1+7， =6； （5）， =-24+36+9-14， =7； （6）， =， =-1200+3， =-11197. 【点睛】此题考查有理数的计算，正确掌握有理数的计算顺序和方法是解题的关键. 18．对于四个数“，1，，4”及四种运算“+，-，×，÷”，列算式解答． （1）求这四个数的和． （2）从这四个数中选出两个数，填入下列□中，使得： ①“□-□”的结果最大； ②“□+□”的结果最小． （3）从这四个数中选出三个数，从四种运算中选出两种，组成一个算式，使运算结果等上没选的那个数． 【答案】（1）-7；（2）①4，-10；②-10，-2；（3）-2×（1+4）=-10 【分析】（1）将题目中的数据相加即可解答本题； （2）①根据题目中的数字，可以写出结果最大的算式； ②根据题目中的数字，可以写出结果最小的算式； （3）答案不唯一，符合题意即可． 【详解】解：（1）由题意可得： -10+1-2+4=-7； （2）①4-（-10）=14，结果最大， 故答案为：4，-10； ②-10+（-2）=-12，结果最小， 故答案为：-10，-2； （3）由题意可得： -2×（1+4）=-10． 【点睛】本题考查有理数的混合运算和有理数的大小比较，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 19．对于有理数，，定义运算：． （1）计算的值． （2）计算的值． 【答案】（1）3；（2）-24 【分析】（1）根据定义的运算代入求解即可得出答案； （2）先计算中括号里面的，再计算括号外面的即可得出答案. 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，解题关键在于根据新定义列出代数式. 20．（2023秋•江北区月考）计算： (1)； (2)．[可以利用公式：] 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，掌握式子的变形是解题的关键． （1）设，再代入原式求解； （2）先把式子变形，再根据分数乘分数的法则进行计算． 【详解】（1）解：设 原式 （2）原式 21．小明参加“趣味数学”选修课，课上老师给出一个问题，小明看了很为难，你能帮他一下吗？已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为多少？ 【答案】当时，，当时，． 【分析】由于a、b互为相反数，所以它们的和为0，c、d互为倒数，它们的积为1，=2，得到m的值，然后把它们代入所求的代数式求出值． 【详解】，b互为相反数，c，d互为倒数． ， 又 或 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查有理数的混合运算解决本题的关键是掌握：互为相反数的两数的和为0，互为倒数的两数的积为1，互为相反数的两数的绝对值相等． 22．先阅读下列材料，再解答后面的问题 材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为an． 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为(即 )． 一般地，若(且)，则叫做以为底的对数，记为(即 )． 如，则4叫做以3为底的对数，记为(即 )． 问题： (1)计算以下各对数的值： =_________，=_________，=_________． (2)通过观察（1），思考：、、之间满足怎样的关系式？ (3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？＝______（且）． (4)利用（3）的结论计算＝______． 【答案】(1)2，4，6 (2) (3) (4)3 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论： （4）根据（3）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：(1)∵ ∴， 故答案为：2，4，6； （2）∵，，，， ∴， 故答案为：； （3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘． 则， 故答案为：． （4） ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键． 23．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，约定向东记作正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． （1）冲锋舟最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）救灾过程中，冲锋舟离出发点最远处有多远． （3）若冲锋舟每千米耗油0.5升，求冲锋舟当天救灾过程中需多少升油． 【答案】（1）东边，20千米；（2）25千米；（3）37 【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则在出发点的东方，若结果为负数，则在出发点的西方； （2）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可； （3）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量． 【详解】解：（1）∵14-9+8-7+13-6+12-5=20， ∴B地在出发地的东边20千米； （2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为： 14千米； 14-9=5千米； 14-9+8=13千米； 14-9+8-7=6千米； 14-9+8-7+13=19千米； 14-9+8-7+13-6=13千米； 14-9+8-7+13-6+12=25千米； 14-9+8-7+13-6+12-5=20千米． ∴最远处离出发点25千米； （3）这一天走的总路程为：14+|-9|+8+|-7|+13+|-6|+12|+|-5|=74千米， 74×0.5=37（升）， ∴需37升油． 【点睛】本题考查的是正数与负数的定义，解答此题的关键是熟知用正负数表示两种具有相反意义的量，注意所走总路程一定是绝对值的和． 24．对于有理数a、b，定义运算：a⊕b＝a×b+|a|﹣b，符合有理数的运算法则和运算律． （1）计算（﹣2）⊕（﹣2）的值； （2）填空：3⊕（﹣2）　 　（﹣2）⊕3（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）计算[（﹣5）⊕4]⊕（﹣2）的值； 【答案】（1）8；（2）＞（3）59． 【分析】（1）根据题意，可得（﹣2）⊕（﹣2）＝（﹣2）×（﹣2）+|﹣2|﹣（﹣2），再先算乘法，后算加减法，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先分别求出3⊕（﹣2）和（﹣2）⊕3，再比较大小即可解答本题； （3）先求出（﹣5）⊕4＝﹣19，再求出（﹣19）⊕（﹣2）的值即可解答本题． 【详解】解：（1）（﹣2）⊕（﹣2） ＝（﹣2）×（﹣2）+|﹣2|﹣（﹣2） ＝4+2+2 ＝8； （2）∵3⊕（﹣2） ＝3×（﹣2）+|3|﹣（﹣2） ＝﹣6+3+2 ＝﹣1， （﹣2）⊕3 ＝（﹣2）×3+|﹣2|﹣3 ＝﹣6+2﹣3 ＝﹣7， ﹣1＞﹣7， ∴3⊕（﹣2）＞（﹣2）⊕3； （3）∵（﹣5）⊕4 ＝（﹣5）×4+|﹣5|﹣4 ＝﹣20+5﹣4 ＝﹣19， ∴[（﹣5）⊕4]⊕（﹣2） ＝（﹣19）⊕（﹣2） ＝（﹣19）×（﹣2）+|﹣19|﹣（﹣2） ＝38+19+2 ＝59． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 25．根据以下素材，探索完成任务， 如何设计简单的幻圆？ 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图1是一个简单的二阶幻圆模型，将1，2，3，4，5，6，7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等． 图1 素材2 在一个幻圆中，每个圆周上的数字之和，或横线上的数字之和，或竖线上的数字之和都叫做幻和，例如上图1中的幻和的个数是4个，它们都等于18．计算幻和的方法是将图中所有数字之和的两倍，再除以相应幻和个数． 例如图1的幻和计算方法． 素材3 类似地，数学兴趣小组尝试将数这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和（幻和）都相等，部分数字已填入，如图2所示． 图2 问题解决 任务1 根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是______个，它们都等于______． 任务2 请将素材3中“六角幻星”空缺的数字填写完整． 任务3 设计一个简单的二阶幻圆，根据任务1、2的经验，把这8个数填入图3中，设计一个二阶幻圆． 图3 【答案】任务1：，；任务2：见解析；任务3：见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，根据题中给出的计算幻和的方法进行分析求解． 【详解】解：任务1，根据素材2提供计算幻和的方法，图2中“六角幻星”的幻和个数是6个，它们都等于， 故答案为：，； 任务2，“六角幻星”如下图： 任务3：二阶幻圆如下图 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$