专题1.2 二次函数（全章常考知识点分类专题）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.2 二次函数（全章常考知识点分类专题）（基础练） 【考点目录】 【考点1】二次函数的配方； 【考点2】抛物线对称轴、开口方向、最值； 【考点3】抛物线与坐标轴交点坐标； 【考点4】二次函数的增减性； 【考点5】二次函数的对称性； 【考点6】二次函数图象与性质综合； 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 【考点9】二次函数与一元二次方程； 【考点10】二次函数与不等式； 【考点11】二次函数图形变换（平移、旋转、折叠）； 【考点12】二次函数与将军饮马； 【考点13】实际问题与二次函数； 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 【考点15】二次函数综合问题. 1、 单选题 【考点1】二次函数的配方； 1．（2024·四川自贡·三模）抛物线的顶点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线与y轴交于点，则此抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值； 3．（23-24九年级上·贵州黔南·开学考试）已知二次函数（、是常数，且）的图像过点与点，当时，有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·假期作业）二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 5．（22-23九年级上·福建莆田·期末）抛物线与y轴交点为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【考点4】二次函数的增减性； 7．（2024·安徽合肥·二模）下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级下·江苏淮安·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是   (     ) A． B． C． D． 【考点5】二次函数的对称性； 9．（22-23九年级上·福建莆田·开学考试）如图，是二次函的部分图象，由图象可知方程的解是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·福建福州·期中）已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数的图象经过点，两点，则d的值不可能是（    ） A． B．4 C． D．6 【考点6】二次函数图象与性质综合； 11．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，有最大值 D．当时，随的增大而减小 12．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）关于二次函数的图象，下列说法正确的是 （    ） A．对称轴是直线 B．当时， y随x的增大而减小 C．顶点坐标为 D．图象与x轴没有交点 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 13．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）下列关于二次函数与一次函数的图象，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级上·云南曲靖·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 15．（23-24九年级上·广东梅州·期末）函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（      ） A． B． C． D． 16．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【考点9】二次函数与一元二次方程； 17．（23-24九年级下·山东聊城·开学考试）二次函数的图象仅与x轴负半轴有一个公共点，则此公共点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 18．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）如图，是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点10】二次函数与不等式； 19．（2024·甘肃武威·二模）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24九年级上·北京海淀·期中）二次函数自变量和函数量的部分对应值如下表所示，则关于x的不等式的解集为（   ） x 0 1 2 y 8 5 4 5 8 A． B． C．或 D． 【考点11】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）； 21．（23-24九年级下·河北邯郸·期末）已知二次函数，把图象向右平移个单位长度后，使两个函数图象与轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离都相等，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 22．（22-23九年级上·天津宝坻·期中）将抛物线沿y轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【考点12】二次函数与将军饮马； 23．（19-20九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（　　） A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6 24．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【考点13】实际问题与二次函数； 25．（23-24九年级上·全国·单元测试）某产品进货单价为9元，按10元一件出售时，能售出50件．若每件每涨价1元，销售量就减少10件，则该产品能获得的最大利润为（   ） A．50元 B．80元 C．90元 D．100元 26．（2023·甘肃金昌·模拟预测）如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 27．（23-24九年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）如图，二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论；①；②；③；④当时，．正确结论有（   ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 28．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知二次函数的图象如图，分析下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点15】二次函数综合问题. 29．（23-24九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知点，点．若抛物线（a为常数，）与线段有两个不同的公共点，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 30．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，下列结论：正确的是（   ） ①点的坐标分别是和 ②点为，当时，． ③抛物线上存在点（除外），使得的面积与面积相等的点有3个． ④点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，点的纵坐标分别是． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 2、 填空题 【考点1】二次函数的配方； 31．（23-24九年级下·江苏南京·开学考试）二次函数的图像的顶点坐标为 ． 32．（23-24九年级上·甘肃白银·期末）用配方法将函数写成的形式是 ． 【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值； 33．（23-24九年级上·全国·单元测试）抛物线的对称轴是直线 ． 34．（23-24九年级上·全国·单元测试）抛物线的开口向上，则的取值范围是 ． 【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 35．（22-23九年级上·山东临沂·阶段练习）抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ． 36．（23-24九年级上·河南信阳·开学考试）抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 【考点4】二次函数的增减性； 37．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数使得关于的分式方程有正整数解，且使二次函数当时，随增大而增大，则满足以上所有条件的整数的和为 ． 38．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【考点5】二次函数的对称性； 39．（2024九年级上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．此二次函数的对称轴为直线 ； 40．（23-24九年级上·四川南充·期末）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： x … 0 … y … m … 那么m的值为 ． 【考点6】二次函数图象与性质综合； 41．（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点，若抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等，且的面积为4，则a的值为 ． 42．（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为 ． 【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 43．（2024·河南新乡·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第 象限．    44．（2024·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过 象限． 【考点8】二次函数、反比例函数图象综合； 45．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试） 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 46．（2023·广东梅州·一模）写出一个函数使其图像与反比例函数的图像有3个不同的交点 ． 【考点9】二次函数与一元二次方程； 47．（23-24九年级上·四川泸州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，当时，自变量的取值范围是 ． 48．（2024九年级上·全国·专题练习）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为 ； 【考点10】二次函数与不等式； 49．（22-23九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是 ．    50．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【考点11】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）； 51．（22-23九年级上·广东惠州·期中）将二次函数的图象向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ． 52．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，抛物线交轴于，两点；将绕点旋转得到抛物线，交轴于；将绕点旋转得到抛物线，交轴于，，如此进行下去，则抛物线的解析式是 【考点12】二次函数与将军饮马； 53．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是 ．    54．（2022·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【考点13】实际问题与二次函数； 55．（23-24九年级上·全国·单元测试）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为 元，每日的销售量为 件，每日的利润 ，所以每件降价 元时，每日获得的利润最大为 元． 56．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是慈溪近日才通行的跨潮塘江大桥．该桥是明月湖基础设施工程的标志性建筑，采用七跨连续拱梁组合．最大桥拱跨径为米，拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）为米，则拱桥半径为 米． 【考点14】由二次函数图象判断式子符号； 57．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）若抛物线（m是常数）的图象经过第一、二、三象限，则m的取值范围是 ． 58．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 【考点15】二次函数综合问题. 59．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为1.5的圆上，则D的坐标是 ，的最小值是 ． 60．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作正方形．则抛物线的顶点坐标是 ，正方形周长的最小值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】依据题意，由抛物线为，从而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 顶点为． 故选：C． 2．B 【分析】把代入解析式，得，解得（舍去），得到解析式为，继而得到顶点坐标为，解答即可． 本题考查了抛物线顶点坐标，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】把代入解析式，得， 解得（舍去）， 故， 故顶点坐标为， 故选B． 3．D 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，利用数形结合是解题关键，根据待定系数法求得函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数的图象和性质，可求得a的取值范围． 【详解】解：∵二次函数的图像过点与点， ∴ 解得∶， ∴函数， ∴该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与y轴交点为 ∵当时，， ∴当时， ∴当时，有最小值， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练将二次函数的一般式配方成顶点式解题的关键． 配方成顶点式即可得． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键．将代入，即可求得抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：将代入， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标是． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查二次函数的图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象及性质是解题的关键． 本题现将点代入，得到和的关系，于是解析式变为：，令，由于，于是，解方程即可． 【详解】把点代入得，， ∴解析式变为：， 令，由于， ∴， 解得：，， 此抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质，根据性质逐项分析即可，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：A、，是一次函数，，故随增大而减小，故不符合题意； B、，是反比例函数，，在每个象限里，随的增大而减小，故不符合题意； C、，是一次函数，，故随增大而增大，故符合题意； D、，是二次函数，，故当图象在对称轴轴左侧，即时，随的增大而减小，故不符合题意． 故选：C． 8．B 【分析】本题考查的是二次函数的性质．先利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴为直线，则当时，的值随值的增大而减小，由于时，的值随值的增大而减小，于是得到． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下， 当时，的值随值的增大而减小， 又当时，的值随值的增大而减小， ． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合是解题的关键． 根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是3， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是 ∴， 解得：， ∴方程的解是：， 故选B． 10．A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据时，的取值范围是，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解． 【详解】解：如图， 二次函数，当时，的取值范围是， 二次函数开口向下，对称轴为直线， 该二次函数的图象经过点，两点， 点关于对称轴的对称点为， 或， 不可能是． 故选：A． 11．D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解，掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 对称轴是直线，故选项B正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 12．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行分析即可． 【详解】A．二次函数的对称轴为直线，故此选项不符合题意； B．当时， y随x的增大而减小，当时， y随x的增大而增大，故此选项不符合题意； C．二次函数顶点坐标为，故此选项不符合题意； D．二次函数的开口向下，且顶点在x轴的下方，故图象与x轴没有交点，故此选项符合题意； 故选：D． 13．C 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，掌握两个函数各系数的几何意义是关键；利用二次函数与一次函数的性质对每个选项逐一分析即可． 【详解】解： A、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，，故，矛盾，不符合题意； B、对于二次函数来说，；对于一次函数来说，，矛盾，不符合题意； C、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，符合题意； D、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，矛盾，符合题意； 故选：C 14．D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据直线求得m的符号，然后根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解： A．由函数 的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项不符合题意； B ．由函数 的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在y轴左侧与图象不符，故B选项不符合题意； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故 C 选项不符合题意； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 15．C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数图象的性质，掌握二次函数图象，反比例函数图形的性质是解题的关键．根据图形所在象限判定的符号，即可求解． 【详解】解：A、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； B、根据反比例函数图形可得， ，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴的交点在轴上方，原选项不符合题意； C、根据反比例函数图形可得，，则 ， ∴二次函数图象开口向下，与轴交点在轴上方，原选项符合题意； D、根据反比例函数图形可得，，则， ∴二次函数图象开口向上，与轴的交点在轴下方，原选项不符合题意； 故选：C． 16．D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 17．B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点坐标，关键是掌握对于二次函数，，是常数，，决定抛物线与轴的交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 根据判别式的意义得到关于的方程，然后解方程求出的值，然后解关于的方程即可． 【详解】解：二次函数的图象仅与x轴负半轴有一个公共点， ， 解得， ， ， ， 解得， 即此公共点的坐标是． 故选：B． 18．A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图， ∵关于的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 故选：A 19．C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 20．D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式等知识．从表格中获取正确的信息是解题的关键． 由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上，由表格可知，当时，，即． 【详解】解：由表格可知，对称轴为直线，抛物线开口向上， 由表格可知，当时，，即， 故选：D． 21．D 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象与轴交点问题，先求得平移前的交点坐标，进而根据平移的性质求得平移后的坐标，进而分两个函数图象与轴的交点个数为个和个时，分类讨论，即可求解． 【详解】解：二次函数中， 当时， 解得：，则与轴的交点坐标为： ∵把图象向右平移个单位长度后，则两个函数图象与轴的交点为，即 ∵相邻的两个交点之间的距离都相等， 当和重合时， 时，解得：， 当两个图象与轴有四个交点时，依题意， 解得： ∴或 故选：D． 22．D 【分析】关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，得 翻折后抛物线的解析式的解析式为：． 即． 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换．总结：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为相反数．关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数．关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数． 23．C 【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则C'F即为所求最短距离． 【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为，C(0，﹣2)， ∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)， 过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F， ∴CE=C'E， 则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值； ∵直线yx+3， 设直线C'F的解析式为， 将C'(﹣2，﹣2)代入得：， 解得：， ∴C'F的解析式为yx， 解方程组， 得：， ∴F(，)， ∴C'F． 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定最短距离为线段C'F的长是解题的关键． 24．D 【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键． 25．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设售价为每个x元，则每个利润为元，销售量为，根据：每个利润销售量总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可． 【详解】解：设单价定为x元，总利润为W元， 则可得销量为：，单件利润为：， 由题意得，， 故可得当时，W取得最大值，为90元， 故选：C． 26．A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】解：如图，，，， ①当时， 正方形的边长为， ； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选：A． 27．C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，，根据对称轴为直线可得，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为，进而得到当时，，由此即可判断②；根据时，，即可判断③；利用图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵时，， ∴， ∴，即，故③错误； 由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，其中正确的结论有①②④共3个， 故选C． 28．B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．①由抛物线的开口方向，可得的符号；②抛物线与轴交点的位置、对称轴、的符号即可确定、的符号，即得的符号；③由抛物线与轴有两个交点判断即可；④由对称轴，，可得． 【详解】解：①由开口向下，可得，故①正确； ②又由抛物线与轴交于正半轴，可得，然后由对称轴在轴左侧，得到与同号，则可得，，故②错误； ③由抛物线与轴有两个交点，可得，故③正确； ④抛物线对称轴，， ， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 29．B 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，先求出直线的解析式，令，根据有两个交点求出a的取值范围，再分和两种情况讨论即可得到答案； 【详解】解：设所在直线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∵二次函数与线段有两个不同的公共点， ∴， 解得：， ①当时， 此时函数的开口向上， ∴，， 解得：， ②当时 此时函数的开口向下， ∴，， 解得：， 综上所述得：，， 故选：B． 30．C 【分析】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程和勾股定理得应用，①由题意得，即可求得点的坐标；②由题意求得、和，设时，求得，结合，可得或；③由点，可知点E的纵坐标为，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则、和，分、和，求解即可． 【详解】解：①由抛物线与轴交于点，则，解得，，则点的坐标分别是和，故①正确； ②由点，和，则，，， 当时，，则，解得， ∵， ∴或，故②错误； ③由抛物线与轴交于点，则， ∴， 使得的面积与面积相等，则点E的纵坐标为， 当，解得，， 当，解得，， 则除外，还有3个点使得的面积与面积相等；故③正确； ④由于抛物线的对称轴为， 设点，则，，， 当，则，解得； 当，则，解得； 当，则，解得； 故④正确； 故选：C． 31． 【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，进而可求解． 【详解】解：由于二次函数， ∴该函数图像的顶点坐标为， 故答案为：． 32． 【分析】本题主要考查了配方法，将化为顶点式即可． 【详解】解： 故答案为： 33． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抛物线求出，，带入数值，即可求出对称轴． 【详解】解：根据题意可得抛物线中的，， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案是：． 34．/ 【分析】本题考查二次函数图象的性质，掌握二次项系数决定开口方向是本题的解题关键． 利用二次函数图象的性质直接求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， 故答案为． 35． 【分析】主要考查了二次函数图象与（x轴）y轴的交点坐标特点：（x轴）y轴上的点的（纵坐标）横坐标为0．求此类问题可令函数的，求出（x值）y值即是与y轴的交点（横坐标）纵坐标．令，可求抛物线与x轴的交点坐标；令，可求抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当时，，解得或， 即与x轴的交点坐标为； 当时，， 即与y轴交点的坐标为． 故答案为：①，② 36． 【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【详解】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 37．3 【分析】题考查二次函数的性质、分式方程的解，把a看作已知数解分式方程，求出符合条件的a的值，用a表示出二次函数的对称轴，根据，y随必增大而增大，得出二次函数的对称轴在的左侧，求出满足a的取值范围，进而求出a的所有值即可求和 【详解】解：由分式方程得， ∵关于x的二次函数在时，随增大而增大， ∴， 解得：， ∵分式方程有正整数解， ∴，1，2， ∴满足以上所有条件的整数的和为3． 故答案为：3． 38． 【分析】本题考查了二次函数的增减性以及图象性质：根据题意可得抛物线开口向下，在时，y随x的增大而减小，据此即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴当时，随的增大而减小， ∴． 故答案为： 39．/ 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．根据二次函数交点式，得出对称点和，即可求出对称轴． 【详解】解：二次函数， 函数经过对称点和， 对称轴为直线， 故答案为：． 40． 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性解答即可． 【详解】解：∵、时的函数值都是，相等， ∴函数图象的对称轴为直线， ∵和关于直线对称， ∴， 故答案为：． 41． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性，三角形面积公式，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据轴，抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与到x轴的距离相等，可知C为顶点，，对称轴为直线，得到在x轴的上方， ，C到的距离为4，根据的面积为4，得到，设，，得到，即得． 【详解】∵抛物线（a、h为常数）与直线（m为常数）相交于A、B两点， ∴轴，作图如下， ∵抛物线上有且只有一点C到x轴的距离与A、B两点到x轴的距离相等， ∴C为顶点，，对称轴为直线， ∴C在x轴下方，到x轴的距离为2， ∴在x轴的上方，到x轴的距离为2， ∴， ∴C到的距离为：， ∵， ∴， 设点A在点B的左边，则，， ∴， ∴． 故答案为：． 42．2或0 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，利用图象上点的坐标满足解析式得到，根据，则，解方程即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或， 故答案为：2或0． 43．三 【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴， 且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于正半轴， 故图像一定不经过第三象限， 故答案为：三． 44．四 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，根据开口向下和对称轴在y轴右侧得到，，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四． 45．或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 46．（答案不唯一） 【分析】首先判断出该函数为二次函数，再结合函数的图像和性质写出即可． 【详解】解：若要与反比例函数的图像有3个不同的交点， 这样的函数可以为二次函数，设， 如图，二次函数与反比例函数有3个交点， 可得开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴， 这样的函数可以是， 其中，，， 故答案为：（答案不唯一）． 【点拨】本题考查了二次函数和反比例函数图像，解题的关键是抓住3个交点的条件，利用数形结合思想解决． 47． 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与x轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于点，对称轴是直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴当函数值时，自变量x的取值范围是． 故答案为：． 48．， 【分析】本题考查用函数图象解一元二次方程．解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．一元二次方程的解实质上是抛物线与x轴交点的横坐标的值． 【详解】解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为， ∴方程的根为，， 故答案为：，． 49． 【分析】根据图象中的数据得到当横坐标时的纵坐标范围即可． 【详解】解：由图象可知， 当时，函数值的取值范围， 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 50．或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，即可． 【详解】解：观察图象得：当或时，二次函数的图象位于一次函数的图象的上方， ∴当时，x的取值范围是或 故答案为：或 51． 【分析】 本题考查了二次函数图象平移问题, 根据“上加下减，左加右减”的规律求解即可. 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度， 得到：， 再向下平移2个单位长度 得到：， 故答案为：. 52． 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到轴的距离相等，且，照此类推可以推导知道抛物线的顶点，即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：， 配方可得， 顶点坐标为， 坐标为 由旋转得到， ，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； ， 抛物线的顶点坐标是，，． 抛物线的解析式是． 故答案为：． 53． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，    ∵， ∴， ∴当与点重合时，取得最小值，最小值为， ∵，当时，，则 当时，， 解得：, ∴， ∴ 即的最小值为， 故答案为：． 54． 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 55． 5 625 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据单件利润=单件售价单件成本，即可得出单件利润；根据每日销售量增加的销售量，即可得出每日销售量；根据总利润=单件利润×销售量，即可得出y关于x的表达式；将y关于x的表达式化为顶点式，根据二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 单件的利润为元， 每日的销售量为件， 每日的利润， ∵，， ∴当时，y有最大值625， ∴每件降价5元时，每日获得的利润最大为625元， 故答案为：，，，5，625． 56． 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理的应用，垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；能够构造出由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算是解题关键．设，根据即可求解； 【详解】解：， ， 设米，则在中， 则 解得：， 故答案为： 57． 【分析】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 由可知抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，根据题意得到，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线是常数）的图象只经过第一、二、三象限， ， 解得， 故答案为： 58．③ 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，解出方程，故④不正确． 【详解】根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：，故③正确； ∵方程， ∴， ∴ ∴故④不正确； 故填③． 59． 【分析】先求得点A、B、C、D的坐标，作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则为最小值，求解即可求解． 【详解】解：令，则， ∴， 令，由，得，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D， ∴， 作点D关于y轴的对称点H，连接交y轴的交点E，交圆C于点F，则， ∴为最小值， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：； 【点拨】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题、二次函数的图象与性质、两点距离坐标公式、最短路径问题，熟练掌握轴对称性质和圆的性质确定最短路径问题是解答的关键． 60． 【分析】将二次函数化为顶点式，可求出顶点坐标，当点运动到抛物线的顶点处时，的最小，正方形的周长最下，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线， ∴顶点坐标为； ∵四边形是正方形， ∴， ∵点在抛物线上运动， ∴当点运动到抛物线的顶点处时，的最小， ∴当时，，则有最小值， ∴的最小值是，正方形周长的最小值为． 【点拨】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与线段最小值的综合，掌握二次函数顶点坐标的计算方法，线段最小值的计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$