1.4.2 充要条件 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版必修第一册 1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 B ⫋A A ⫋B A=B A ⊈B且B ⊈A pq 且q ⇏p p ⇏q且qp p ⇏q 且q ⇏p p⇔q 复习回顾： A⊆B 充分 必要 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 下面“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件？ 1.若四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； 2.若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； 3.若两个三角形三边成比例，则两个三角形相似． 4.若四边形的对角线互相垂直且平分，则这个四边形为菱形； 思考1： 归纳： 判定定理：“若p，则q”，p是q的充分条件. pq？ 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 思考2：命题1,2给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？ 四边形的两组对边分别相等， 四边形的两组对边分别平行， 四边形的一组对边平行且相等， 都是“四边形是平行四边形”的充分条件. 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 下面“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件？ 1.若四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形； 若四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分； 2.若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； 3.若两个三角形三边成比例，则两个三角形相似； 若两个三角形相似，则两个三角形三边成比例； 4.若四边形的对角线互相垂直且平分，则这个四边形为菱形； 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直且平分； 思考3： 归纳： 性质定理：“若q，则p”，p是q的必要条件. qp？ 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 思考4：命题1,2给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件， 这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 四边形的两组对边分别相等， 四边形的两组对边分别平行， 四边形的一组对边平行且相等， 都是“四边形是平行四边形”的必要条件. 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 思考5：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形” 的充要条件吗？ 四边形的两组对角分别相等、 四边形的两组对边分别相等、 四边形的一组对边平行且相等、 四边形的对角线互相平分、 四边形的两组对边分别平行 都是“四边形是平行四边形”的充要条件。 数学中的每一条定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 2.写出“两个三角形全等”的充要条件. 【练习】 1.写出“两个三角形相似”的充要条件. 【例1】写出“两条直线平行”的充要条件. 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 【例2】 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 分析：设p: d=r, q: l与⊙O相切. 证明：（1）充分性（p q）： 作OP⊥l于点P,则OP=d， 因为d=r，所以点P在⊙O 上， 在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部， 即直线l与⊙O仅有一个公共点P. 所以直线l与⊙O 相切. P Q l O （2） 必要性（ ）： 因为直线l与 相切， 不妨设切点为P， 则 ， 因此，d = OP = r. 由（1）（2）可得，d = r是直线l与 相切的充要条件. 【例3】 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 【练习】证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件是AC=BD. 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 B ⫋A A ⫋B A=B A ⊈B且B ⊈A pq 且q ⇏p p ⇏q且qp p ⇏q 且q ⇏p p⇔q 小结归纳： A⊆B 充分 必要 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 2.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 数学中的每一条定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件. 3.充分必要条件的证明. 立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展 充分条件与必要条件 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 集合关系 图示 若 ，则p是q的 条件， q是p的 条件. 或 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【练习】p：“a＋b＝1”，q：“a 2＋b2－a－b＋2ab＝0”， 判断p是q的什么条件，并证明. 充分条件与必要条件 A={x|p(x)}，B={x|q(x)} 集合关系 图示 若 ，则p是q的 条件， q是p的 条件. 或 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 $$