精品解析：2024年浙江省宁波市中考数学甬真试题（潮卷）

2024年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷） 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 四个实数，0，3，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 从浙江省文旅厅获悉，2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次，实现旅游收入486.4亿元，游客人均消费1113元．数43724000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 5. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种葡萄树，工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树中采摘了棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的葡萄产量较稳定的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数图象的顶点坐标为 B. 当时，的值随的增大而增大 C. 当，时，的取值范围是 D 当时，的最大值为8，则或 10 将两张矩形纸片，和另三张正方形纸片，，按如图所示方式不重叠地放置在矩形内．则下列条件中，不能求出四边形的面积的是（ ） A. 正方形与正方形周长的和 B. 矩形与正方形周长的差 C. 矩形与矩形周长的和 D. 矩形的周长 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. －64的立方根是_______． 12. 当_________时，分式的值为0． 13. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是________． 14. 对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 __． 15. 如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 __． 16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 __，四边形的面积为 __． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，根据图象直接写出的取值范围． 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 21. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，） （1）求的长； （2）若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）. 22. 如图，将球从点正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 23. 【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与的延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 24. 如图（1），为锐角的外接圆，过点作于点，，分别交直径于点，，连结，． （1）求证：． （2）当时，求证：． （3）如图（2），若， ①求的值； ②求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年浙江省宁波市中考数学甬真试卷（潮卷） 一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 四个实数，0，3，中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，先比较出，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴四个数中最大的数是3， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项等计算法则进行求解判断即可． 【详解】A. 和不是同类项，不能合并，错误，该选项不符合题意； B. ，正确，该选项符合题意； C. ，错误，该选项不符合题意； D. ，错误，该选项不符合题意； 故选：B. 3. 从浙江省文旅厅获悉，2023年中秋国庆假期全省共接待游客4372.4万人次，实现旅游收入486.4亿元，游客人均消费1113元．数43724000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图是由长方体和圆柱体组成的几何体，则它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，底层是长方形，上层的右边是一个小正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了主视图，解题的关键是掌握从正面看到的图形是主视图． 5. 某果园实验基地种植了甲、乙两个品种的葡萄树，工作人员随机从甲、乙两品种的葡萄树中采摘了棵，统计了每棵的产量．下列关于两品种每棵产量的平均数和方差的描述中，能说明甲品种的葡萄产量较稳定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义即可得出答案． 【详解】解：根据方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小， 甲品种的葡萄产量较稳定，所以， 故选：． 【点睛】本题考查了方差的意义，根据方差判断稳定性，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性也越好，是解答本题的关键． 6. 已知圆锥的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算． 【详解】解：∵ 圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长为：， ∴ 这个圆锥的侧面积＝． 故选：B 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 7. 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，根据直角三角形斜边上的中线求出，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理求出．熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，是的中点，， 则， 由勾股定理得：， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 故选：A． 8. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 9. 已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，函数图象的顶点坐标为 B. 当时，的值随的增大而增大 C. 当，时，的取值范围是 D. 当时，的最大值为8，则或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数的性质，逐项分析判断原说法的正误即可． 【详解】解：A、当时，，顶点坐标是，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，当时，的值随的增大而增大，但前提条件没有说，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，当时，，解得，故原说法错误，不符合题意； D、抛物线对称轴是直线． 若，则时，的最大值为8， ∴， ∴； 若，则时，最大值为8， ∴， ∴． ∴当时，的最大值为8，则或，正确，符合题意； 故选：D． 10. 将两张矩形纸片，和另三张正方形纸片，，按如图所示方式不重叠地放置在矩形内．则下列条件中，不能求出四边形的面积的是（ ） A. 正方形与正方形周长的和 B. 矩形与正方形周长的差 C. 矩形与矩形周长的和 D. 矩形的周长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算的应用，矩形的性质，四边形的面积，周长和正方形的性质，解题的关键是能用字母表示各矩形的边长并计算面积． 根据题意设，，，则，先根据面积差可计算四边形的面积，再分别根据矩形和正方形的周长，分别判断即可． 【详解】解：设，，，则， 四边形的面积 ， A、若知正方形与正方形周长的和，则可知：，得的值，所以可以求出四边形的面积，不符合题意； B、若知矩形与正方形周长的差，则可知：，所以不能求出四边形的面积，符合题意； C、若知矩形与矩形周长的和，则可知：，所以可以求出四边形的面积，不符合题意； D、若知矩形的周长，则可知：，所以可以求出四边形的面积，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. －64的立方根是_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数， 可知-64的立方根为-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数． 12. 当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件可知，分子为0，分母不为0，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，掌握分式的值为0的条件为“分子为0，分母不为0”是解题的关键． 13. 有一枚质地均匀的骰子，骰子各个面上的点数分别为．任意抛掷这枚骰子，朝上面的点数大于3的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果，根据概率公式计算可得． 【详解】解：任意抛掷这枚骰子，朝上的面的点数有6种等可能结果，其中朝上面的点数大于3的有共3种结果， ∴朝上面的点数大于3的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 14. 对于实数，，定义一种运算“⊕”为：，若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的运算，根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答． 详解】解：， ， ， 方程没有实数根， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点在对角线上运动（不与点重合），为的外接圆，当与矩形的边相切时，的半径为 __． 【答案】2或 【解析】 【分析】当与和相切时，点为的中点，此时的半径为2；当与相切点时，连接，延长交于点，根据切线的性质得到，根据矩形性质得到，根据垂径定理得到，设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，然后解方程得到此时的半径． 【详解】解：当与和相切时，为的直径，点A和为切点， 点为的中点，此时的半径为2； 当与相切点时， 连接，延长交于点，如图， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中，， 解得， 即此时的半径为， 综上所述，的半径为2或． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了圆与矩形综合．熟练掌握矩形性质，圆切线的性质：垂径定理，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 16. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 __，四边形的面积为 __． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 【详解】解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 三、解答题（本大题有8小题，共66分） 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：． 18. 图①②都是由边长为1的小等边三角形组成的正六边形，已经有5个小等边三角形涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影．（请将两个小题依次作答在图①，图②中，均只需画出符合条件的一种情形） （1）使得6个阴影小等边三角形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）使得6个阴影小等边三角形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案； （2）直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：是轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）如图所示：既是轴对称图形，又是中心对称图形． ． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案以及利用轴对称设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． （1）求反比例函数的表达式． （2）当时，根据图象直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式； （2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可． 【小问1详解】 在直线的图象上， 一次函数解析式为，， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， 点的横坐标为， 在直线中，令得，， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：根据图象可知，当时，． 20. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，图形见解析 （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 如图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图2是小明锻炼时上半身由位置运动到底面垂直的位置时的示意图，已知米，米，（参考数据：，） （1）求的长； （2）若米，求M、N两点的距离（精确到0.1米）. 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过作于，可得四边形为矩形，利用锐角三角函数即可求出的长； （2）过作交射线于点，则，利用30度角的直角三角形即可求出M，N两点的距离． 【小问1详解】 解：如图，过作于，则四边形为矩形， ∴米，米， ∴（米） 在中， ∵ ∴（米）； 【小问2详解】 如图，过作交射线于点，则， ∴， ∵米， ∴， ∵米， ∴米， ∴， ∴， 在中，（米）， ∴M，N两点的距离约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数． 22. 如图，将球从点的正上方的点处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式． （1）若当小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，求小球达到的最大高度． （2）若小球的正前方处有一个截面为长方形的球筐，其中为，为，若要使小球落人筐中，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意判断出抛物线上的点的坐标是解决本题的关键． （1）小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度，那么抛物线的对称轴为：直线，即可得到，把相关数值代入可得的值；易得抛物线经过点，坐标为，那么．即可判断出抛物线的解析式，进而可得时，小球达到的最大的高度； （2）抛物线经过点，坐标为，那么函数解析式中的．易得点和点的坐标，分别代入题中所给的函数解析式中，可得的值，即可判断出要使小球落人筐中，的取值范围． 【小问1详解】 解：小球运动的水平距离为时，小球达到最大高度， 抛物线的对称轴为：直线． ． 解得：． 由题意得：抛物线上点的坐标为． ． 抛物线的解析式为：． 当时，． 答：小球达到的最大高度为； 【小问2详解】 解：由题意得：点的坐标为，点的坐标为． 抛物线上点的坐标为， ． 抛物线的解析式为：． ①抛物线经过点． ． 解得：． ②抛物线经过点． ． 解得：． 要使小球落人筐中，的取值范围为：． 23. 【基础巩固】 （1）如图（1），在和中，点在上，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图（2），在（1）的条件下，连结．若，求的长． 【拓展提高】 （3）如图（3），在中，对角线相交于点，，点E是边上一点，，连结交于点，线段与延长线交于点，若，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20 【解析】 【分析】（1）根据平行可得，再根据相似三角形的判定和性质即可求解； （2）根据可得的长，再直角中，根据勾股定理即可求解； （3）如图3，延长交于点P，证明，得，设，则，证明和，可得和的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图（1），为锐角的外接圆，过点作于点，，分别交直径于点，，连结，． （1）求证：． （2）当时，求证：． （3）如图（2），若， ①求的值； ②求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即可求解； （2）证明平分且，即可求解； （3）①在中，，求出，根据，即可求解； ②设，则，，则，根据，即可求解． 【小问1详解】 连接、， 则， ， 而， ， ， ∵， ， ； 【小问2详解】 当时，则， 由（1）知， ∴平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 ①在等腰三角形中，， ， ， 设，则， 则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则； ②过点作于点， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴ 故设，则，， 则， 则， 解得：， 则，，，， 则，； ， ； ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是圆的综合运用，涉及到等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$