精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级期初考试 数学试卷 出题人 ：康乐 审题人：郭奇 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 12 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 4. 如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（ ） A. 最长的是，最短的是 B. 最长的是，最短的是 C. 最长的是，最短的是 D. 最长的是，最短的是 5. 在中，，，，则满足条件（ ） A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 6. 自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（ ） A. 2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加 B. 2017年销售量的同比增长率最低 C. 与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长 D. 有连续三年的销售增长率超过 7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 2:3 D. 3:2 8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ②③ C. ①④ D. ②④ 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量，的夹角为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是 C. 某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件 D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A. 若，则的面积为 B. 若，则角 C. 若，则等腰或直角三角形 D. 不存在，使成立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数与方差的和为______. 13. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________． 14. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中a是正实数． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求a的值． 16. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. （2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，． （1）求证：平面； （2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级期初考试 数学试卷 出题人 ：康乐 审题人：郭奇 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷(选择题) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求解复数，得到，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】， 则，在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限. 故选：D． 2. 若平面向量与的夹角为60°，，则等于（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式以及模长的公式求解即可. 【详解】因为平面向量与的夹角为60°,所以， 则. 故选：B. 3. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，4，4，5，8，则该组数据的分位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数概念计算即可. 【详解】因为，所以该组数据从小到大排列，第5个数即为该组数据的分位数，即为5. 故选：B. 4. 如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是的边中点，，分别与′轴、′轴平行，则三条线段，，中（ ） A. 最长的是，最短的是 B. 最长的是，最短的是 C. 最长的是，最短的是 D. 最长的是，最短的是 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图，画出原图形，可知，根据直角三角形的边角关系，可直接得出结论. 【详解】由直观图可知轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有，又为边上的中线， ∴为直角三角形，如图所示； 为边上的中线，则有最长，最短． 故选：B 5. 在中，，，，则满足条件的（ ） A. 不能确定 B. 无解 C. 有一解 D. 有两解 【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，结合条件求出边上高，可判断三角形解的情况. 【详解】因为，，，如图： 所以边上的高， 又，即，则此三角形有一解， 故选：C. 6. 自改革开放以来，我国综合国力显著提升，人民生活水平有了极大提高，也在不断追求美好生活．某研究所统计了自2013年至2019年来空气净化器的销量情况，绘制了如图的统计图．观察统计图，下列说法中不正确的是（ ） A. 2013年——2019年空气净化器的销售量逐年在增加 B. 2017年销售量的同比增长率最低 C. 与2018年相比，2019年空气净化器的销售量几乎没有增长 D. 有连续三年的销售增长率超过 【答案】C 【解析】 【分析】 根据统计图的空气净化器的销量的条形图和同比增长率的折线图，分别判断个选项的正误，即可得到答案． 【详解】对A，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：2013年到2019年空气净化器的销售量逐年在增加，故A正确； 对B，根据同比增长率的折线图可以发现：2017年销售量的同比增长率最低，故B正确； 对C，根据空气净化器的销量的条形图可以发现：与2018年相比，2019年空气净化器的销售量增长明显， 只是同比增长率较2018年略有下降，故C错误； 对D，根据同比增长率的折线图可以发现：2014年、2015年、2016年连续三年的销售增长率超过，故D正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查条形统计图和折线统计图，同时考查数据处理和分析能力，属于基础题． 7. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处沫到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的（沙堆的底面是水平的）.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥漏到另一个圆锥中需用时27分钟，则经过19分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（ ） A. 1:1 B. 2:1 C. 2:3 D. 3:2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意漏下来的沙子是全部沙子的，然后根据体积之比可得答案. 【详解】由题意漏下来的沙子是全部沙子的，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分， ∴可以单独研究下方圆锥， ∴，∴，∴. 故选：B 8. 已知正方体，点，，分别是线段，和上的动点，观察直线与，与给出下列结论： ①对于任意给定的点，存在点，使得； ②对于任意给定的点，存在点，使得； ③对于任意给定的点，存在点，使得； ④对于任意给定的点，存在定点，使得． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别分析选项，利用排除法可得结论． 【详解】①当点与重合时，，，且，所以平面， 因为对于任意给定的点，都有平面， 所以对于任意给定的点，存在点，使得，所以①正确； ②只有平面，即平面时， 才能满足对于任意给定的点，存在点，使得， 因为过点与平面垂直的直线只有一条，而，所以②错误； ③当与重合时，在线段上找不到点，使，所以③错误； ④只有当平面时，④才正确， 所以对于任意给定的点不存在点，使，故④错误． 故选：A． 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型： （1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行． （2）证明线面垂直，需转化证明线线垂直． （3）证明线线垂直，需转化为线面垂直． 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 向量，的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模的坐标运算判断A，根据向量垂直的坐标表示判断B，根据向量共线的坐标表示判断C，根据向量夹角的坐标表示判断D. 【详解】因为，，所以， 所以，即，故A正确； ，故B错误； 因为，，所以，所以，故C正确； ，所以，即向量，的夹角为，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 抛掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3的概率为 B. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是 C. 某小组由5名学生组成，其中3名男生，2名女生，现从中任选两名学生参加演讲比赛，至少有一名男生与至少有一名女生是互斥事件 D. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 【答案】AD 【解析】 【分析】结合古典概型概率公式求得概率判断AD，由独立事件同时发生的概率公式结合对立事件概率公式求解后判断B，根据互斥事件的定义判断C． 【详解】A．至少有一枚骰子的点数是3，即只有一枚骰子的点数是3，或两枚骰子的点数都是3，概率为，A正确； B．由独立事件同时发生的概率公式得题被解出的概率为，B错； C．如果选出的两名学生是一男一女，则两个事件同时发生，它们不是互斥事件，C错； D．两位男生和两位女生随机排成一列，总排法为，两位女生不相邻的排法为，概率为，D正确． 故选：AD． 11. 的内角的对边分别为，下列结论正确的是（    ） A. 若，则的面积为 B. 若，则角 C. 若，则为等腰或直角三角形 D. 不存在，使成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】A中，由正弦定理可得的值，求出角的大小，即可根据面积公式求解A．由正弦定理和余弦定理可得的值，再由角的范围，可得B命题的真假；C中，由两角的正弦值相等可得或，进而判断出三角形的形状，可得C命题的真假；由三角形内角和定理及两角和的正切公式，整理可得，判断出D命题的真假； 【详解】对于A，因为，，，由正弦定理可得：， 即，由于，可得或， 当时，，此时的面积为， 当时，，此时的面积为，所以A错误． 对于B，因为，由正弦定理可得：， 由正弦定理可得，由，可得，所以B正确； 对于C，因为，在中，可得或， 可得或，即该为等腰三角形或直角三角形，所以C正确； 对于D，对于任意斜三角形，有 恒成立， 而对于直角三角形必有一个无意义，不存在题设中的大小关系，所以D正确； 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1，则2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数与方差的和为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据中位数和方差的性质得结论． 【详解】x1，x2，x3…，xn的中位数与方差分别为2，1， 2x1－1，2x2－1，2x3－1…，2xn－1的中位数是，方差为，． 故答案为：7． 13. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆台的高后由圆台的体积公式计算． 【详解】由题意圆台的高为， 体积为． 故答案为：． 14. 2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”的表面上有四个点P，A，B，C，满足，平面ABC，，若的面积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥的外接球球心，用线段长表示出球半径，再借助均值不等式求解作答. 【详解】在三棱锥中，因为平面ABC，平面，则， 而，平面，因此平面，又平面， 于是，取中点，连接，从而，即点是三棱锥的外接球球心，如图， 球半径， 当且仅当时取等号，因此三棱锥的外接球表面积， 所以制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为. 【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再求出球的半径即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，其中a是正实数． （1）若，求实数a的值； （2）若是纯虚数，求a的值． 【答案】（1）2 （2）2 【解析】 【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值； （2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，从而，解得， 所以实数a的值为2． 【小问2详解】 依题意得：， 因为是纯虚数，所以：，解得：或； 又因为a是正实数，所以a＝2． 16. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可得解； （2）利用向量夹角是钝角得到且与不反向共线，从而得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得； 【小问2详解】 因为与的夹角是钝角，，， 所以，解得， 又当，即时，，此时与的夹角为，故， 综上可得. 17. 某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人. （1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄； 现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者. （2）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）岁 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数算法可得； （2）根据古典型概念公式可得； （3）根据分层抽样平均数和方差公式可得. 【小问1详解】 设这人的平均年龄为，则 【小问2详解】 由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则 ， 所以 【小问3详解】 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10. 据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差为10. 18. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得. (2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【详解】(1) [方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为． 由诱导公式得，所以． 在中，由正弦定理知， 此时就有，即， 再由二倍角的正弦公式得，解得． [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得， 两边平方得，即． 又，即，所以， 进一步整理得， 解得，因此． [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2) [方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C范围，然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形，又，所以， 则． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． [方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及（1）知的面积． 因为为锐角三角形，且， 所以即 又由余弦定理得，所以即， 所以，故面积的取值范围是． [方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点． 由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且， 所以点C位于在线段上且不含端点，从而， 即，即，所以， 故面积的取值范围是． 【整体点评】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法； 方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值； 方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小. (2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法； 方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围； 方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，在底面ABCD中，． （1）求证：平面； （2）若平面PAB与平面PCD的夹角等于，求异面直线PB与CD所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系证明，根据底面得，进而证明结论； （2）根据题意，两两互相垂直，进而建立空间直角坐标系，设，再根据坐标法求解异面直线所成角的余弦值即可. 小问1详解】 设中点为E，连接， 易知为正方形，且 所以，所以 因为底面底面，所以 又面,面， 所以平面 【小问2详解】 因为底面，在正方形中，所以两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系 设 则，所以， 设平面的法向量为，则 即，取，则 由（1）知，平面的法向量为 因为平面与平面的夹角为， 所以，解得， 设异面直线PB与CD所成角为，则 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$