第01章 勾股定理 章节测试练习卷- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01章 勾股定理 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（    ）米．    A．12 B．15 C．21 D．24 2．（20-21八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 4．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（   ） A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏泰州·一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）有一只鸟在一棵高米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树米，高米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以米秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起． 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 13．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ．    14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 15．（21-22·河南濮阳·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 20．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．梯子的底端外移到点，当梯子顶端沿墙下滑到点时，求的长． 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 23．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 24．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 25．（20-21八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 26．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 勾股定理 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，有一根电线杆在离地面9米A处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点12米远的地方，则电线杆断裂之前的长度为（    ）米．    A．12 B．15 C．21 D．24 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．在直角三角形中利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得：在中，米，米， （米， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米． 答：此电线杆原来长度为24米． 故选：D 2．（20-21八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中， ， 在中， ， 由题意可知：， 所以：， 解得：． 所以，应建在距点处． 故选：． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 3．（22-23八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个零件的形状如图所示，已知，，，，则长为（    ）． A．5 B．13 C． D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选B． 4．（22-23八年级上·北京海淀·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得图形：， 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，小明用的木棒加固小树，已知，，则木棒底端距树根之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用．在中，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：，， ． 在中，，，， 则由勾股定理知：． 故选：A． 6．（2024·山西大同·模拟预测）为了比较与的大小，小亮先画了一条数轴，然后在原点O处作了一条垂线段，且，点B表示的数是2，点C表示的数为3，连接，由推出，这里小亮用到的数学思想是（   ） A．统计思想 B．数形结合 C．模型思想 D．分类讨论 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的三边关系等知识点，根据题意可得，据此即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴ 该过程利用数轴，结合勾股定理可得，用到了数形结合的数学思想． 故选：B． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．如图，证明得然后利用勾股定理来求解即可． 【详解】解：由于都是正方形，所以 ∵ 即 在和中， ∴， ∴ 在中， 由勾股定理得：， 即， 故选A． 8．（22-23八年级上·江苏连云港·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 9．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键． 通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可． 【详解】解：如图： 由题意可知： ∵， ∴，即， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 10．（2024·江苏泰州·一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（    ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中． 【详解】解：设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，直角三角形的长直角边为m，短直角边为n， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）有一只鸟在一棵高米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树米，高米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以米秒的速度飞向大树树梢，那么这只鸟至少 秒才能到达大树和伙伴在一起． 【答案】 【分析】此题主要是勾股定理的运用．解题时应注意：时间路程速度．根据题意画出图形，只需求得的长．根据已知条件，得，，再根据勾股定理就可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意，得 ，． 根据勾股定理，得． 则小鸟所用的时间是． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·江苏盐城·期中）如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的点是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和无理数，先用勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：根据勾股定理可得：， ∵点在数轴上对应的点是， ∴点表示的实数是， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·重庆南岸·期中）如图，中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的运用，根据正方形的面积公式分别求出、，再根据勾股定理计算即可求出． 【详解】解：中，， ， ，， ， 故答案为：． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 【答案】15 【分析】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．设，根据题意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， 设， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 即：这棵树的高度为． 故答案为：． 15．（21-22·河南濮阳·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 【答案】32 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，，将折叠，使点与重合，得折痕，则的长等于 ． 【答案】/0.875 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 设，则，由折叠可得：，根据勾股定理得出，列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由折叠可得：， ∵， ∴，则， 解得：， ∴． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 【答案】 3 ，或 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是∶ （1）利用两点间距离公式求出，，，然后根据“最佳间距”定义求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵四边形和的面积和为5， ∴， 即， ∴， 则． 又∵四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ∴， 则． ∴， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）如图，一艘货轮在上午8：00时位于A处，沿A到B的方向航行，10：00时该货轮位于B处，求该货轮航行的速度． 【答案】25海里/小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出，则代表的实际距离为海里，再根据速度路程时间进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该货轮航行的速度为海里/小时． 20．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度． 【答案】150米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴米， 又米， ∴米， ∴这段公路的总长度为150米． 21．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．梯子的底端外移到点，当梯子顶端沿墙下滑到点时，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在利用勾股定理 求出，再在利用勾股定理 求出，则． 【详解】解：由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． 22．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图所示，在边长为1个单位长度的网格中，是格点图形，求中边上的高． 【答案】 【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键．过点作的延长于点，过点作于点，可得的长，在中，可求出的长，根据，即三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：如图所述，过点作的延长于点，过点作于点， ∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴中边上的高为． 23．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 24．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 25．（20-21八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，根据等面积法即可求解； （2）根据题意得出，进而根据，，得出 （3）延长至点，使，连结，证明，，得出，根据，即可得出． 【详解】（1）在中，，，， 由勾股定理得：， ，， ， 即， 解得：； （2）证明：点是的中点， ， ， ， ，， ； （3）证明：延长至点，使，连结， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键． 26．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，，． (1)如图1，求的长； (2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明； (3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于时，求的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定； （1）过作的垂线，垂足是，在中，设，根据勾股定理得出，进而得出，在中，勾股定理，即可求解； （2）先证明，进而证明，得出，同理，则，在，，根据勾股定理得出，，即可得出结论； （3）过作于点，作于点，作，与交于点，则，①当点在线段上时，证明，根据，建立方程，解方程，即可求解．②当点在的延长线上时，同理，即可求解． 【详解】（1）解：过作的垂线，垂足是，在中， ∵， ∴， ∴， ∴，设， 在中， ，， ∵， ∴， ∴， 在中． （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 在中，， 在中，， ∴ （3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则， ①当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ②当点在的延长线上时，如图，则， ∵， ∴， ∴， 综上，当点到直线的距离等于时，或. 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