精品解析：福建省福州青鸟北附高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

青鸟北附高一下学期第一次数学月考试卷 时间：120分钟 满分150分 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：（每题5分，共40分） 1. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限. 【详解】，，又，则. 因此，角为第三象限角. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的判断，考查推理能力，属于基础题. 2. 平面向量，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示及模的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 3. 设平面向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模及数量积的坐标运算及向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为， 所以. 因为， 所以，即，解得. 故选：C. 5. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的值域算出结果. 【详解】因为， 所以， 所以最小值为， 故选：B 6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】利用“左加右减，上加下减”的平移规律易得. 【详解】由，将向右平移个单位即可得到. 故选：D. 7. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为，可得，进而求解. 【详解】，，即， ，，，即， 设向量与的夹角为，， 则，即，. 故选：D. 8. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何关系，确定，再利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，且，所以， 即. 故选：D 二、多选题：（本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于B，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于C，，则与为共线向量，不能作为平面向量的基底； 对于D，若存在实数使得，则，无解，所以与不共线，可以作为平面的基底， 故选：ABC 10. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的充要条件判断即得；对于B，根据投影向量的定义易得；对于C，利用向量数量积的运算律计算求得即可排除；对于D，利用向量数量积的运算律计算推得即可排除. 【详解】对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据在方向上的投影向量定义即得，故B正确； 对于C，由，解得，因，故，即C错误； 对于D，由，得，即，故，即D错误. 故选：AB. 11. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 12. 关于函数，下列选项错误的有（ ） A. 函数最小正周期为 B. 表达式可写成 C. 函数在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用周期公式计算即得；对于B,利用诱导公式转化即可判断；对于C,将看成整体角，利用正弦函数的图象判断即得；对于D，代入检验是否经过最值点即可判断. 【详解】对于A，由可得，其周期，故A正确； 对于B，因，故B错误； 对于C，当时，设，因在先增后减，故C错误； 对于D，当时，，而，故D正确. 故选：BC. 三、填空题：（每题5分，共20分） 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式求解. 【详解】, 故答案为：. 14. 已知向量，，若，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】将两边平方化简可得，利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】由，两边平方可得：， 化简可得得，所以，则． 故答案为：1 15. 已知函数，的部分图象如图所示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象得到函数周期，进而得到的值，再结合特殊点函数值求得答案. 【详解】由题意得，函数周期为，所以， 所以，由， 得，即， 又因为，所以，所以. 故答案为： 16. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，结合正弦定理有，可求，又，即可求出. 【详解】由题意知：若，则，得，而 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了利用正弦定理、二倍角正弦公式、诱导公式求角的正弦值，属于中档题. 四、解答题： 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 【答案】（1）由， 得, , 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即，又是不共线的两个非零向量， 因此，解得，或， 实数k的值是 18. 已知，为锐角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）首先根据同角三角函数的基本关系求出，再根据计算可得； 【详解】（1）∵，为锐角，，∴ ∴= （2）∵为锐角，∴， 由得， ∴ = 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，以及两角和的正弦、余弦公式的应用，属于基础题. 19. 已知向量，． （1）当，求 （2）求的最小值，并求此时向量，的夹角大小． 【答案】（1） （2）最小值为，此时，夹角大小为 【解析】 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据模长的坐标运算即可利用函数的性质求最值. 【小问1详解】 因 因为， 所以． 【小问2详解】 解法设，， 因为， 所以， 由， 当且仅当即时取等 所以最小值为，此时，夹角大小为． 解法设， 由， 所以 故当，时最小值为， 此时． 20. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出角，再求角即可； （2）由余弦定理结合题设条件求出，即可求得的面积. 【详解】（1）因，则，由余弦定理，， 因，则，； （2）由余弦定理，，代入整理得， 因则，解得， 故的面积为 21. 已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最值． 【答案】（1） （2）最大值0，最小值 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义，两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数解析式，再由正弦型函数周期公式求函数周期； （2）利用不等式性质求的范围，再由正弦函数和一次函数性质求函数的最值． 【小问1详解】 由已知得， ， 所以的最小正周期； 【小问2详解】 当时，，， 则， 当，即时，函数有最大值； 当，即，函数有最小值． 22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于的方程组，解之即得； （2）依题利用辅助角公式，求得，由题设得，利用拆角变换与和角公式即可求得的值. 【小问1详解】 因的相伴特征向量为， 故有，解得； 【小问2详解】 依题意，， 由可得， 因，则，故， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青鸟北附高一下学期第一次数学月考试卷 时间：120分钟 满分150分 姓名： 班级： 考号： 一、单选题：（每题5分，共40分） 1. 若，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. 平面向量，则（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 11 3. 设平面向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 7. 已知，，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，为的中点，与交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 11. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 12. 关于函数，下列选项错误的有（ ） A. 函数最小正周期为 B. 表达式可写成 C. 函数在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 三、填空题：（每题5分，共20分） 13. 已知，则__________. 14. 已知向量，，若，则的值为______． 15. 已知函数，的部分图象如图所示，则________． 16. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得___________. 四、解答题： 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值． 18. 已知，为锐角，且，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知向量，． （1）当，求 （2）求的最小值，并求此时向量，的夹角大小． 20. （1）在中，内角所对的边分别为，且，且.求角A，C的大小； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求的面积. 21. 已知向量，函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最值． 22. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）若为的相伴特征向量，求实数m的值； （2）记向量的相伴函数为，求当且时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $