第二十一章 一元二次方程 章末整合提升-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

第二十一章一元二次方程 章末整合提升 易错集训 此同学上述的解题步骤哪一步出错了？请 易错点1忽略二次项系数不能为零 写出正确的解题步骤 1,已知关于x的方程(m-2)x-2-2m.x+ 3m十5=0是一元二次方程，则m的值为 易错点2对一元二次方程的各项系数的判 断错误 2.若方程m.z2+3.x-4=3z2是关于x的一元 二次方程，则m的取值范围是 ( A.m≠3 B.m≠1 C.m≠0 D.m≠2 易错点6忽略等式的性质 易错点3应用根的判别式时，忽略二次项系 6.(2024·吉林二模)小明同学解一元二次方 数不为零的条件 程x2-2x一2=0的过程如下： 3.(2023·锦州)若关于x的一元二次方程 解：x2一2x=2,第一步 kx2一2x十3=0有两个实数根，则k的取值 x2-2x十1=2，第二步 范围是 ( ) (x-1)2=2,第三步 AK写 B司 x一1=土√2，第四步 x1=1十2，x2=1一√2.第五步 Ck<3且k0 D.k号且k0 (1)小明解方程的方法是 ,他的 易错点4对形如az2+bx+c=0的方程有实 求解过程从第 步开始出现错误： 数根的问题理解错误 (2)请用小明的方法完成这个方程的正确解 4.若关于x的方程kx2十(2k十1)x+(k一1) 题过程 =0有实数根，则k的取值范围是 易错点5忽略非负性而导致错误 5.(2024·河北邢台一模)王老师在课上布置 了一个如下的练习题： 若(x2+y2-3)2=16,求x2+y2的值.看到 此题后，某同学写出了如下所示的解题 过程： 解：(x2+y-3)2=16,① ∴x2+y2-3=士4，② x”+y2=7,x2+y2=-1.③ 123 数学九年级全一册 易错点7运用公式法解方程时忽略将方程 易错点9忽视实际问题对方程解的限制 化为一般形式而致错 9.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批 7.小明在解方程x2一5x=1时出现了借误，解 商品，该商店可以自行定价，若每件商品售 答过程如下： 价为a元，则可以卖出(350-10a)件，但物 ,a=1,b=-5.c=1,(第一步) 价局限定每件商品加价率不能高于20%， ∴.}-4ac=(-5)2一4×1×1=21，（第二步） 商店计划要赚400元，需要卖出多少件商 x=5±，2四，（第三步） 品？每件商品售价多少元？ 2 x1= 5+/21 5/21 2 2 (第四步) (1)小明解答过程是从第 步开始出 错的，其错误原因是 (2)写出此题正确的解答过程. 考点集训 易错点8对增长率问题中各字母的意义理 考点1一元二次方程的定义及其解（根 解不透 1.(2022·遂宁)已知为方程x十3.x一2022 8.某校办工厂生产某种产品，今年产量为200 =0的根，那么m3+2m2一2025m十2022 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量 的值为 () 都比前一年增长相同的百分数，这样，三年 A.-2022 B.0 (包括今年)的产量达到1400件，求这个百 C.2022 D.4044 分数 2.(2023·镇江)若x=1是关于x的一元二次方 程x2+mx一6=0的一个根，则m= 3.(2023·娄底)若m是方程x2-2x一1=0 的根，则m+】 : 考点2一元二次方程的解法 4.(2023·赤峰)用配方法解方程x2-4x一1 =0时，配方后正确的是 A.(x+2)=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 第二十一章一元二次方程 5.(1)(2023·齐齐哈尔)解方程：x2-3x+2=0. 考点3一元二次方程根的情况与判别式 (2)(2023·广州)解方程：x2-6.x十5=0. 7.(2023·北京)若关于x的一元二次方程x 3.x+m=0有两个相等的实数根，则实数m 的值为 ( A.-9 B- c D.9 8.(2023·泸州)关于x的一元二次方程x2+ 2ax十a2一1=0的根的情况是 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 9.(2023·辽宁)若关于x的一元二次方程x一 x十k十1=0有两个实数根，则k的取值范 围是 6.(2023·杭州)设一元二次方程x2十bx十c=0. 10.(2023·遂宁)我们规定：对于任意实数a, 在下面的四组条件中选择其中一组b,c的 b,c,d有[a,b][c,d]=ac-bd,其中等式 值，使这个方程有两个不相等的实数根，并 右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2] 解这个方程 ￥[5,1]=3×5-2×1=13. ①b=2.c=1: (1)求[一4,3]*[2，一6]的值： ②b=3,c=1: (2)已知关于x的方程[x,2x一1]*[m.x十 ③b=3,c=-1: 1,m]=0有两个实数根，求m的取值范围. ④b=2,c=2. 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个 解答计分. 125 数学九年级全一册 考点4一元二次方程根与系数的关系 解：，m,n是一元二次方程x2一x一1=0 11.(2023·西藏)已知一元二次方程x2-3x 的两个实数根，∴.m十n=1,mn=一1. +2=0的两个根为x,则上+1的值 则m2n十2=(m十n)=-1×1=一1. 工2 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下 为 ( 列问题： A.-3 B号 (1)应用：一元二次方程2x2+3x一1=0的两 n号 个实数根为，x,则x十x2= C.1 Ti2= 12.(2023·内江)已知a,b是方程x2+3x-4 (2)类比：已知一元二次方程2x2+3x一1 =0的两根，则a2十4a十b一3= =0的两个实数根为m,n,求m2十2的值： 13.(2023·南充)已知关于x的一元二次方程 (3)提升：已知实数s,1满足22+3s一1=0， x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 2公+3-1=0.且1.求}的值 (2)若x2是方程的两个实数根，且+ 名一名求m的值 考点5一元二次方程的实际应用 15.(2023·福建)根据福建省统计局数据，福 建省2020年的地区生产总值为43903.89 14.(2023·通辽)阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程a.x2十bx十 亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿 c=0(a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a, 元.设这两年福建省地区生产总值的年平 均增长率为x,根据题意可列方程() be有知下关系：函十=一合=日 A.43903.89(1+x)=53109.85 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0 B.43903.89(1+x)2=-53109.85 的两个实数根分别为m,n,求mn十mn C.43903.89x2=53109.85 的值. D.43903.89(1+x)=53109.85 26 第二十一章 一元二次方程 16.(2023·东营)如图，老李想用长为70m的： 17.(2023·郴州)随旅游旺季的到来，某景区 栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围 游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6 成一个矩形羊圈ABCD.并在边BC上留一 万人，4月份游客人数为2.5万人。 个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平 均增长率： (2)预计5月份该景区游客人数会继续增 R E 长，但增长率不会超过前两个月的月平均 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 增长率.已知该景区5月1日至5月21日 成一个面积为640m的羊圈？ 已接待游客2.125万人，则5月份后10天 (2)羊圈的面积能达到650m吗？如果 日均接待游客人数最多是多少万人？ 能，请你给出设计方案：如果不能，请说明 理由。 279.解：(1)设买一件毛衣需要x元，买一条牛仔裤需要y:6.解：设路宽应为xm. 无，由题多释时二10网解释 根据等量关系列方程得，(50一2x)(38-2x)=1260, 1y=200. 解得，x1=4,x:=40(不合题意，舍去)： 答：买一件毛衣需要400元，买一条牛仔裤需要200元. 所以x=4,答：道路的宽应为4m (2)由题意得400(1-a%)×10(1+2a%)+ 能力提升练 200(1-a%)×20=7680,解得a1=-20(舍去)，4 7.(11-2x)(7-2x)=21 =20. 8.2 10.解：(1)设平均每次下调的百分率为x,则4800(1一x)产 9.解：(1)BC=x米，.AB=(49十1十1-3x)= =3888, (51-3x)米. 解得x1=0.1=10%,r2=1.9(合去). 依题意得x(51-3x)=210,整理得x-17x+70=0,解 答：平均每次下调的百分率为10%， 得x1=7,x=10. (2)方案①可优悬3888×100×(1一0.95)=19440 当x=7时，51一3.x=30>25,不合题意，舍去： (元)： 当xr=10时，51一3r=21<25,符合题意. 方案②可优惠188×100=18800（元）. 答：栅栏BC的长为10来 因为19440>18800，故选择方案①更优患. (2)矩形阁栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理 核心素养练 由如下： 11.解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 依题意得x(51一3x)=240, 像超老拼：52-8动 整理得x2-17x十80=0， ,△=(-17)-4×1×80=-31<0， 年释：8 .原方程没有实数根， ∴.矩形国栏ABCD的面机不可能达到240平方米 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80一m)件B款钥 10,解：1)60-3z 匙扣， 依题意得：30m十25(80一m)≤≤2200， (2)根据题意，得(50-2x)(60-3x)-工·60,3r 2 解得：m≤40. 2430,整理，得x2-40x+76=0,解得x1=2,x=38 设再次驹进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 (不符合题意，舍去).所以通道的宽度为2m 的总利润为e元，则=(45一30)m十(37一25)(80一 核心素养练 m)=3m十960， 11.② .3>0, 心随m的增大而增大， 章末整合提升 ∴.当m=40时，取得最大值，最大值=3×40十960= 易错集训 1080,此时80-m=80-40=40. 1.-2 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能！ 2.A3.D 获得最大销售利润，最大销售利润是1080元. (3)设B款钥匙扣的售价定为α元，则每件的销售利润 4>-吉 为(a-25)元·平均每天可售出4十2(37-a)=(78 !5.解：③步出错了.正确步骤： 2a)件， (x2+y2-3)2=16, 依题意得：(a一25)(78-2a)=90, .x2+y2-3=士4 整理得：a-64a十1020=0， ,x2+y2≥0， 解得：a1=30,a2=34. ∴x2+y2=7 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥 6,解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第 匙扣平均每天销售利润为90元. 二步开始出现错误 第3课时几何图形面积问题 (2)x2-2x=2,第一步 x2-2x+1=2+1,第二步 基础巩固练 (.x-1)2=3,第三步 1.A x一1=士5，第四步 2.解：生态园的面积能为40m,理由如下： ,四边形ABCD是矩形， x1=1十3，x=1一3.第五步 ..AB=CD,AD=BC. 7.解：(1)小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原 设AB的长度为xm,则BC的长度为18学m 因是原方程没有化成一般形式： (2)x2-5.x=1, 由题意得r.18,1=40, 即x2-5x-1=0, 2 a=1,b=-5,e=-1, 整理得x2-18.x十80=0， ∴.b-4ae=(-5)2-4×1×(-1)=29. 解得x=10,2=8, .生态四的面积能为40m2,AB的长为10m或8m x=5±￥29 2 3.B4.A 5.(62-x)(42-x)=2400 ·出，=5+2 2 .,-5-29 2 5 8.解：设平均每年比前一年增长的百分数为工，根据题意， (2)由题意知，x1十x=2n-1,x1x1=-3m2+m. 得200+200(1十x)+200(1+x)2=1400, +西=x+x_(红，十x) 解得x1=1=100%,x:=一4（会去）. IZ2 -2=-8 故这个百分数为100%. (2m-1) -2=-号，整理得5m-7m+2=0.解得 5 9.解：根据题意，得(a一21)(350一10a)=400, 一3m十m ,∴.a°-56a+775=0, 即(d-25)(a-31)=0. m=1或m=2 5 解得a1=25,a:=31. 14.解：(1)一元二次方程2x2十3x一1=0的两个根为 :当a=31时，加价31-21=10品>20% 12∴.x1十x=2x1xe=一2· 不合题意，舍去， 故答为：一一 ,.a=25,可卖出350-10a=100. 故每件商品售价25元，需要卖出100件商品. (2)一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m, 考点集训 、n、之+n三，02n一一2，」 3 1.B 2.5 m2+r=(m+n-2m=是+1=只 3.6 (3)实数st满足2s+3x-1=0,21+31-1=0, 4.C 且s≠t, 5.解：(1)：x2-3.x+2=0, ∴8，t是一元二次方程2x十3x一1=0的两个实数根， .(x-1)(x-2)=0, .s十1=- =- 3 .x-1=0或x-2=0, x1=1,x4=2. (2)分解因式得：(x一1)(x-5)=0, 4-)=u+)2-4w=(-多）-4×(-3】 x-1=0,x-5=0, 17 x1=1,x2=5. 4 6.解：，使这个方程有两个不相等的实教根， .b2-4ae>0,即b2>4c, .②③均可. ±17 逃②解方程， 1一 2 =士7. 则这个方程为：x2十3x十1=0， s 2 x=-b±B-4ac=-3±5 15.B 2a 2 =3+6 2x2=3-5 16.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70 2 2 2.x+2=(72-2x)m. 选③解方程，则这个方程为：x2十3x一1=0， 根据题意，得x(72-2r)=640, ,=3+18 化简，得x一36.x+320=0, 2 =3-g 2 解得x1=16,x2=20, 7.C8.C 当x=16时，72-2x=72-32=40(m), 长-是 当x=20时，72-2x=72-40=32(m). 答：当羊图的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为 10.解：(1)[-4,3]*[2，一6]=-4×2-3×(-6)=10： 20m时，能国成一个面积为640m的羊周： (2)根据题意得x(mx+1)一m(2x一1)=0， (2)答：不能， 整理得m.x2十(1一2m)十m=0. 理由：由题意，得x(72-2.x)=650, :关于x的方程[x,2.x一1][mx十1，m]=0有两个 化简，得x2-36.x+325=0, 实数根， 4=(-36)”-4×325=-4<0, ,'.△=(1一2m)2一4m·m≥0且m≠0， 一元二次方程没有实数根。 解得m≤子且m≠0， ∴.羊圈的而积不能达到650m. 11.D 17,解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 12.-2 为x, 13.解：(1)证明：，△=[一(2m-1)]P-4×1×(-3m2+m) 由题意可得1.6(1+x)2=2.5, =4m2-4m+1+12m2-4m =16m2-8m+1 解得=25%=一是（不合题意合去）… =(4m-1)≥0， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 ,方程总有实数根： 为25%： (2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得2.125+10a≤2.5(1+25%)， (2):二次画数的解新式为y=了， 解得a≤0.1， 二次函数图象的顶点C的坐标为(0,0) 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人 设一次品数的图象与x轴的交点为D,则点D的坐标 第二十二章二次函数 为(-是o 22.1二次函数的图象和性质 0c- 3 3 22.1.1二次函数 5m=5m-5m=××3-× 21 基础巩固练 -号-}-2 1.C2.B3.D4.A5.C6.A7.B8.D 核心素养练 15.解：(1)：直线y=2.x-3过，点A(1,b), 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 .b=2×1-3=-1. 基础巩固练 .A(1,-1) 1.B2.A3.A4.B5.C6.B :抛物线y=ax2(a≠0)过点A(1,一1)， 7.向上 a=-1. 8.> 联立。；解得=1，-3 9.解：(1)把x=3,y=3代入y=ax2得a·3=3,解得a 1y=2.x-3, y1=-1,ly2=-9, 日心这个二次画数的解折式为y=日 a=一1，b=一1，两图象的另一交点坐标 为(-3，-9). 当r=-2时y=号×(-2)=台 (2)如图1，当∠PBA=90°时，过A作AE⊥x轴于点 E,过B作BF⊥x轴于F,设P的坐标为(x,0). 2y=,g>0 ,函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0， 0) 当x>0时，函数y随x的增大而增大 能力提升练 10.D 11.8 图1 12.①② A(1,-1),B(-3,-9). 13.解：(1)，二次函数的图象开口向上， .由勾段定理得BP十AB=PA2, ∴.m-3>0且m2-3m-2=2, 即9+(x十3)+(1+3)+(-1+9)3=(x-1)+12,解得 解得m=4. x=-21, 当m=4时，二次函数解析式为y=x .P点的坐标为（一21,0）： (2)由解析式可知二次函数图象的对称轴为y轴， 如图2，当∠BPA=90°时，过A作AE⊥x轴于点E,过 :当x>0时，y随x的增大而减小， B作BFLx轴于F, ,.n一30，且m°一3m一2=2， 解得m=一1， ∴二次函数的解析式为y=一4r2, 14.解：1)当x=3时y-号=3 ,点A的坐标为(3,3)： “点B的坐标为(-1，号) 2 分别将点A(3,3),B(-1,号)的坐标代入y=ar十b 设P的坐标为(x,0). 3a+b=3, A(1,-1),B(-3,-9), 可得 1,解得 .由勾股定理得BP十AP=AB, -a+b=3 4-3 b=1. 即(-3-x)2+9+(1-x)+1=(1+3)2+(-1+ 9)2,整理得：x2+2x十6=0， ·一次函数的解析式为y=3十1 △=22-4×1×6<0，此方程无解，