专题三 二次函数的综合应用-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学九年级全一册 专题三 二次函数的综合应用 类型1二次函数与线段的综合 类型2二次函数与三角形的综合 1.(2022·广西)已知抛物线y=-x2+2x+3 2.(2022·贺州节选)如图，抛物线y=一x2十 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）. bx十c过点A(-1.0),B(3,0),与y轴交于 点C. 0 0 (1)求点A,点B的坐标： (1)求抛物线的解析式： (2)如图，过点A的直线1：y=一x-1与抛 (2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB 物线的另一个交点为C,点P为抛物线对称 轴上的一点，连接PA,PC,设点P的纵坐 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的 坐标 标为m,当PA=PC时，求m的值： (3)将线段AB先向右平移1个单位长度， 再向上平移5个单位长度，得到线段MN, 若抛物线y=a(-x”十2.x十3)(a≠0)与线 段MN只有一个交点，请直接写出a的取 值范围。 46 南童甲里名南。。南第南有第 第二十二章二次函数 3.(2022·常德节选)如图， x=2 (3)在(2)的条件下，D为抛物线C,的顶点， 已知抛物线过点O(0, 过点C作抛物线C,的对称轴L的垂线，垂 0),A(5,5).且它的对称 足为G,交抛物线C于点E,连接BE交( 轴为x=2,点B是抛物 于点F.求证：四边形CDEF是正方形 线对称轴上的一点，且点 B在第一象限 0 (1)求此抛物线的解析式： (2)当△OAB的面积为15时，求B的坐标. 类型4二次函数与角度的综合 5.如图，在平面直角坐标系 中，抛物线y=a.x2+bx十 c(a≠0)的顶点为C(3, 6),与y轴交于点B(0, 3),点A是抛物线的对称 轴与x轴的交点， 类型3二次函数与四边形的综合 (1)求抛物线的解析式； 4.(202·济宁)已知抛物线C:y=-2(m (2)连接BC,在对称轴AC右侧的抛物线上 是否存在一点D,使得∠BCD=75°？如果 十1).x2-(m十1).x-1与x轴有公共点. 存在，求出点D的坐标：如果不存在，请说 明理由. (1)当y随x的增大而增大时，求自变量x 的取值范围： (2)将抛物线C先向上平移4个单位长度， 再向右平移n个单位长度得到抛物线C (如图所示)，抛物线C,与x轴交于点A,B (点A在点B的右侧)，与y轴交于点C.当 OC=OA时，求n的值： 147(3)如图， 整理，得x2十(2-k)x十k-3=0, 则xM十xv=k-2, 而xv=1.TM=k-3, 当x=k一3时，y=kx-k=k(x-1)=k(k一3-1)=k2 一4=yM: ,0≤k≤3..一4≤k2-4k≤0， yw的范围为一4≤yM≤O. ②由题意知，PQ∥y轴， 连接OP, 设点P的坐标为(x,x2十2x一3)，则点Q(x,kx一k), 设P(m,-m+2m+3), 则PQ=k.x-k-x-2x十3=-x2+(k-2).x+(3 设PD的解析式为：y=kx十b,将PD两点坐标代入得 k). +69 一1<0，故PQ有最大值， 4 当x= b二k-2时 2a2 km十b=-m+2m+3 PQ的最大值为=一 =-2(2m-7) 2m十3 k-2k+4 dn.=4 0N=-是m+3 专题三 二次函数的综合应用 :S-=SAPAM一S△N· 1.解：(1)当y=0时，-x2+2x+3=0, .S=(S△PAM十Sm边形MNM)一(Sm形NNM十S△N)= .x1=-1.r2=3, Sg造#￥NP一S△M州. .A(1.0),B(3.0) Sw+5mm-0A+ON (2):抛物线对称轴为r=一1，十3=1， 2 =×3(-m+2m+3)+(-2m+3) 1 .设P(1,m), 由-x2+2x十3=-x-1得， =、9 9 x=一1（舍去），，=4， 当x=4时，y=-4-1=-5, 1 2· .C(4,-5). 1m+9 PA=PC, m Γ1(m-1)+9 9 由PA=PC得， 当m=1时，S=号， 22+m2=(4-1)2+(m+5)°， .m=一3 当m=1时，y=-1°+2×1+3=4， (3)由题意可得M(0,5),V(4,5), .P(1,4). 当a>0时， 核心素养练 ,y=-a(x-1)2+4a, 11.解：(1)设抛物线的解析式为y=a.x2十bx十c, .抛物线的顶点为(1,4a). a十b+c=0, 当4a=5时，只有一个公共点， a=1. 由题意得 4a+2h+c=5·解得{b=2, a=是 =-3, 当x=0时y>5, .抛物线的解析式为y=x十2x一3. .3a>5, (2)①y=k.r-k=k(x-1), >音 当x=1时，y=kx一k=0, 故该函数过点(1,0)，即点V(1,0), a>或a= 故点V,A重合，如图. 当a<0时：当=0时y3a<5,解得a<号， 当x=4时，y=(-16+8+3)a≥5， .a≤-1， 然上所迷0>号或a=号或a<-1 2.解：(1)由题意得y=一(x十1)·(x-3), 令y=x2+2x-3=kx-k, .y=-x2+2.x+3. 12 (2)由(1)得y=-x+2x+3, 令x=0得y=3, ∴.C(0,3. 设P(1m), 传 PB2=PC, .y=x+1, .(3-1)2+m2=1+(m-3)2, .当x=1时，y=1+1=2, m=1, .CG=EG=DG=FG=1. .P(1,1) 四边形CDEF是矩形. 'DF⊥CE, 3.解：(1)，抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为 ,四边形CDEF是正方形. x=2, 5.解：(1)，抛物线的顶点为C(3,6), .抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0). .可设抛物线的解析式为y=a(x一3)十6(a≠0)， 设抛物线解析式为y=ax(x一4)，把A(5,5)代入，得5a =5, 将B0,3)代入上式，解得a-一言 解得a=1, ∴y=x(x-4)=x2-4x, ∴桃物线的解折式为y=一言（红-3）十6，即 故此抛物线的解析式为y=x一4r y高+2x+3 (2):点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一 (2)存在. 象限， 如图，过点B作对称轴的垂线，垂足 ,∴.设B(2,m)(m>0), 为点E,B(0,3),C(3,6),.E(3, 设直线OA的解析式为y=kx, 3),.BE=CE=3,∠BEC=90, 则5k=5, .∠BCE=45°.∠BCD=75, 解得k=1, ∴.∠ACD=30°，过点D作对称轴的 直线OA的解析式为y=x, 垂线，垂足为，点G,设点D的坐标为 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2), .BH=m-2. .-号+2+3)，则DG=1-3 SAO=15. G=6-（-+2a+3)=-+3:∠ACD 号×(m-2)X5=15, 30°，∠CGD=90,∴.2DG=DC.在Rt△CGD中，CG= 解得1=8， 5DG.3-24+3=51-3),解得1=3+35我1= 点B的坐标为(2,8) 4.解：(1)，抛物线与x轴有公共点， 3(舍)，∴.D(3+35,-3). [-(m+1-4×[-合(m+1)]x(-1≥0， 22.2二次函数与一元二次方程 .-(m-1)2≥0， m=1, 基础巩固练 ∴y=-x2-2x-1=-(x+1)2. 1.B2.D3.D4.B 5.9 :a=-1<0. 6.解：(1)将(2,4)代入y=x2+m.r+m2一3得4=4+2m+ ∴.当x<一1时，y随的增大而增大 m一3，解得m1=1,m2=一3. (2)由题意得，抛物线C,的解析式为 又，m>0,.m=1. y=-(x+1-n)”+4. (2)m=1,.y=x+-2. 当x=0时，y=一(1-n)2十4， ,△=b-4ae=1+8=9>0, .0C=-(1-n)2+4. ∴二次函数图象与x轴有2个交点。 当y=0时，-(x+1-n)2+4=0, 7.C x1=n+1,x2=n-3. 8.解：(1)填表如下： 点A在B点右侧， -4-3-2-1012… .OA=n+1, -6-1232-1-6… 由OC=OA得， 所画图象如图： -(1-n)+4=n+1, .n=2或n=-1(舍去)， .n=2. (3)证明：由(2)可得y=一(x一1)2十4，B(一1,0)，C(0, 3), ,∴.E(2.3),D(1,4) 设直线BE的解析式为y=kx十b, (2)由图象可知，方程一x2一2.x十2=0的两个近似解分 别在一3，一2之间和0,1之间. 13