23.1 图形的旋转&专题五 有关螺旋角度的几种常见类型-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

第二十三章旋转 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转 第1课时 旋转的定义及其性质 儿基础巩国练奇尖头油税日新如 A.∠CAE=∠BED B.AB-AE C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD 知识点1旋转的概念 5.(2023·金华)在平面直角坐标系中，点(4， 1.下列运动形式属于旋转的是 5)绕原点O逆时针方向旋转90°，得到的点 A.在空中上升的氢气球 的坐标 B.飞驰的高铁 6.(2024·湘西州模拟) C,时钟上钟摆的摆动 如图，在△ABC中，点 D.运动员掷出的标枪 D在AB边上，CB= 2.如图所示，在正方形网格中， CD,将边CA绕点C 图中①经过 变换可 B 旋转到CE的位置，使得∠ECA=∠DCB, 以得到图中②：图中③是由图 G 连接DE与AC交于点F,且∠B=70°，∠A 中②绕点 (填“A”“B” =10°. 或“C”)顺时针旋转 度得到的。 (1)求证：AB=ED: 知识点2旋转的性质 (2)求∠AFE的度数， 3.(2023·通辽)如图， 将△ABC绕点A逆 时针旋转到△ADE, 旋转角为a(0°<a 180),点B的对应点D恰好落在BC边上， 若DE⊥AC,∠CAD=24°，则旋转角a的度 数为 ( A.24 B.28 C.48 D.66 4.(2023·天津)如图，把 △ABC以点A为中心逆 时针旋转得到△ADE,点 B,C的对应点分别是点 D,E,且点E在BC的延 长线上，连接BD,则下列结论一定正确的 是 67 数学九年级全一册 能力提升练笑破能力提升素茶 7.如图，在正方形ABCD中，E 为CD上一点，且∠EBC= 15°，将△EBC绕点C按顺时 12.(2022·广州)如图，在矩形ABCD中，BC 针方向旋转90°得到△FDC, =2AB,点P为边AD上的一个动点，线段 连接EF,则∠EFD的度数为 A.15 BP绕点B顺时针旋转60得到线段BP, B.20 C.25 连接PP',CP'.当点P落在边BC上时， D.30° :当线段CP的 8.(2024·衢州模拟)如 ∠PPC的度数为 图，将菱形ABCD绕 长度最小时，∠PPC的度数为 点A逆时针旋转∠a 得到菱形ABCD', ∠B=∠R.当AC平 分∠BAC时，∠a与∠3满足的数量关系是 ■核心素养练 ( ) A.∠a=2∠3 B.2∠a=3∠3 13.(思想方法·分类讨论思想)(2024·江苏 C.4∠a+∠B=180° D.3∠a+2∠3=180° 镇江模拟)将矩形ABCD绕点A顺时针旋 9.(2023·宁夏)如图，在 转x(0°a<360),得到矩形AEFG △ABC中，∠BAC=90°， D AB=AC,BC=2.点D在 BC上，且BD:CD=1:3 连接AD,线段AD绕点 A顺时针旋转90得到线段AE,连接BE, 备用图 DE.则△BDE的面积是 ( ) (1)如图，当点E在BD上时，求证：FD=CD: R (2)当a为何值时，GC=GB?画出图形，并 说明理由。 c n 10.(2022·宁夏)如图， 直线a∥b,△AOB 的边OB在直线b 上，∠AOB=55°，将 △AOB绕点O顺时 针旋转75°至△A,OB,边AO交直线a于 点C,则∠1 11.(2022·西宁)如图，在△ABC中，∠C 90°，∠B=30°，AB=6,将△ABC绕点A 逆时针方向旋转15得到△AB'C',B'C'交 AB于点E,则B'E= 68 第二十三章旋转 第2课时 旋转作图 基础现固练东买落陆乳国新都 (1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的 知识点1旋转作图 等腰三角形PAB,再画出该三角形向右平 移2个单位后的△PA'B 1.(2024·苏州模拟)如图，在方 (2)将图2中的格点△ABC绕点C按顺时 格纸中，将Rt△AOB绕点B按 针方向旋转90°，画出经旋转后的△A'B'C. 顺时针方向旋转90°后得到Rt 知识点2平面直角坐标系中的旋转 △AOB,则下列四个图形中正确的是( 4.(2022·青岛)如图，将△ABC先向右平移3个 单位，再绕原点O旋转180°，得到△A'B'C',则 点A的对应点A'的坐标是 1 d. 2.将△AOB绕点O旋转180°得到△DOE,则 下列作图正确的是 ( A.(2,0) B.(-2,-3) C.(-1,-3) D.(-3,-1) 5.(2022·贺州)如图，在平面直角坐标系中， △OAB为等腰三角形，OA=AB=5,点B 到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆 3.(2023·宁波)在4×4的方格纸中，请按下 时针旋转90°，得到△OAB',则点B'的坐标 列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）. 为 图1 图2 69 数学九年级全一册 6.(2024·天津武清区月考)如图，在平面直角 (2)在x轴上有一点D,使得△ACD的面积 坐标系中，已知点A的坐标为（一-2,0），点B 为3，求点D的坐标. 在y轴的正半轴上，且OB=2O)A.将线段 AB绕点A顺时针旋转90°，使点B落在点 C处 01 (1)求点B、点C的坐标： 知识点3利用旋转设计图案 7.(2024·河北模拟)下列四个图形中，若以其 中一部分作为基本图案，无论用旋转还是平 移都不能得到的图形是 ( 田非八 直直 首首 B 0 8.如图，在平面直角坐标系内，边长为4的等 边三角形ABC的顶点B与原点重合，将 △ABC绕顶点C顺时针旋转60°得到 △ACA.将四边形ABCA,看作一个基本 图形，将此基本图形不断复制并平移，则 A22的坐标为 70 甲重。。。，。。。用 第二十三章旋 转 专题五 有关旋转角度的几种常见类型 类型1特殊角度的旋转 类型2不是特殊角度的旋转 1.在平面直角坐标系中，点G的坐标是（一2,1）， 4.(2023·德州)如图， 连接OG,将线段OG绕原，点O旋转180°，得 △ABC绕点A逆时针 到对应线段OG,则点G的坐标为( 旋转一定角度后得到 A.(2.-1) B.(2,1) △ADE,点D在BC C.(1,-2) D.(-2,-1) 上，∠EDC=40°，则∠B的度数为( 2.(2023·宿迁)如图，△ABC A.70° B.60° C.50 D.40° 是正三角形，点A在第一 5.(2023·德阳)将一副直角三角板DOE与 象限，点B(0,0),C(1,0). AOC叠放在一起，如图1，∠O=90°，∠A= 将线段CA绕点C按顺时 30°，∠E=45°，OD>OC.在两三角板所在 针方向旋转120°至CP,:将线段BP,绕点 平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向 B按顺时针方向旋转120°至BP2:将线段 旋转a(0°<a<90)度到三角形D1OE,位 AP2绕点A按顺时针方向旋转120°至 置，使OD1∥AC,如图2 AP,;将线段CP绕点C按顺时针方向旋 转120°至CP,:…以此类推，则点P的坐 标是 3.(2024·衡阳模拟)如图，点 E为正方形ABCD外一点， ∠AEB=90°，将R△ABE绕 (1)求a的值： A点逆时针方向旋转90°得 (2)如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时 到△ADF,DF的延长线交 针方向旋转，使点E落在AC边上点E处，点 BE于H点 D落在点D,处，设ED,交OD于点G,OE,交 (1)试判定四边形AFHE的形状，并说明 AC于点H,若点G是ED,的中点，试判断四 理由 边形OHEG的形状，并说明理由。 (2)已知BH=7,BC=13,求DH的长. 71(2)连接CB变对称轴于点Q, y=x-2x-3=(x-1)2-4, 第二十三章旋转 .抛物线的对称轴为直线x=1. ”A,B关于对称轴直线T=1对称 23.1 图形的旋转 .AQ-BQ. ∴.AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC, 当C,B,Q三点共线时，△ACQ的周长最小， 第1课时 旋转的定义及其性质 C(0,-3),B(3,0), 设直线BC的解析式为y=k,x十b, 基础巩固练 13k+6=0解得/k=1 =-3 1.C b=-3 2.平移A90 ∴y=x-3.当x=1时，y=1-3=-2. 3.C4.A .Q(1,2). 5.(-5,4) (3)当∠BPM=90°时，PM=PB. 6.解：(I)证明：：∠ECA=∠DCB, .M点与A点重合，M(-1,0): ∴·∠ECA+∠ACD=∠DCB+∠ACD. 当∠PBM=90°时，PB=BM. 即∠ECD=∠BCA. 如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线 由旋转可得CA=CE. GH,过点P作PH⊥GH交于H,过点M作MG⊥HG 在△BCA和△DCE中， 交于G. CB=CD, ∠BCA=∠DCE, AC-EC. ∴.△BCA≌△DCE(SAS), ..AB=ED. (2)由(1)中结论可得∠CDE=∠B=70°， 又CB=CD,∴.∠B=∠CDB=70°， ∴.∠EDA=180°-∠BDE=180°-70°X2=40°， ∴.∠AFE=∠EDA+∠A=40°+10°=50. 能力提升练 图1 7.D8.C9.B :∠PBM=90, 10.50 ∴.∠PBH+∠MBG=90 11.3、5-3 ∠PBH+∠BPH=90°. 12.120°75 ∴.∠MBG=∠BPH. 核心素养练 .BP=BM. 13.解：(1)证明：由旋转可得，AE=AB,∠AEF=∠ABC= ∴.△BPH≌△MBG(AAS), ∠DAB=90°，EF=BC=AD,∴∠AEB=∠ABE.又： ∴.BH=MG,PH=BG=2. ∠ABE+∠EDA=9O°=∠AEB+∠DEF,∴.∠EDA 设P(1,t),则M(3-t,-2). =∠DEF. .-2=(3-t)-2(3一1)-3. 又：DE=ED,.△AED≌△FDE(SAS), 解得1=2十互或1=2一2， ..DF=AE. ∴.M(1-2,-2)或(1+z,-2) 又：AE=AB=CD,.CD=DF. M点在对称轴的左侧， (2)当&为60°或300°时，GC=GB.理由如下：当GB= ∴.M点坐标为(1-√瓦，一2)： GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论： 如图2，当P点在M点下方时， ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H,连接GH交 Y AD于M,连接DG,如图1.GC=GB,.GH⊥BC,, 四边形ABHM是矩形.∴AM=BH=号AD=号AG, GM垂直平分AD,.GD=GA=DA.∴△ADG是等 边三角形，∴∠DAG=60°，.旋转角a=60 图2 同理可得M(3十1,2)， .2=(3+1)2-2(3+t)-3, 图1 阁2 解得1=-2+6（会）或1=一2-6， ②当点G在AD左侧时，如图2，同理可得△ADG是等 .M1-6,2) 边三角形， 综上所述：M点的坐标为(1一2，一2)或(1一v6,2)或 ∴.∠DAG=60°，.旋转角a=360°-60°=300. (-1,0). 综上，a的度教为60°或300°， 18 .BE=BH+EH=5+7=12. 第2课时 旋转作图 ∴.DF=BE=12. .DH=DF+FH..DH=12+5=17. 基础巩固练 4.A 1.B2.C 5.解：(1)OD1∥AC,∴.∠A=∠AOD1=30 3.解：(1)如图1，△PAB'即为所求； ,将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转a(0°<a<90) 度到三角形D,OE,位置， B .∠AOD,=a=30°， (2)四边形OHE,G是正方形，理由如下： :∠E,OD2=90,OD=OE2,点G是ED2的中点， E,G=OG.EG⊥OG. :OD∥AC, 图1 图2 ∴.∠GOH=∠AHO=90°，∠OGE,=∠CE:G=90°， (2)如图2，△AB'C即为所求. ,四边形OHEG是矩形 4.C 又，E,G=OG, 5.(-4.8) .四边形OHE,G是正方形. 6解：(1)如图，由题意可知，点B的坐标是(0,4)，点C的 23.2 中心对称 坐标是(2，一2). 23.2.1 中心对称 基础巩固练 1.D2.A3.C 4.①②③ 5.6 6.解：(1)AD是△ABC的中线，.BD=DC. :△A'BD与△ACD关于点D成中心对称， (2)如图，设点D的坐标是(m,0). .△A'BD≌△ACD, 图为△ACD的面积为3， ..BD=CD.AD=A'D.AC=A'B. 所以号x1m-21X2=3. (2)AD=A'D,∴.AA'=2AD AC=A'B,AC=3,..A'B=3. 解得m=一5或1， 在△AA'B中，AB-A'B<AA'<AB+AB,即5-3< 所以点D的坐标是(1,0)或（一5,0）. 2AD5+3.,.1<AD4. 7.C 7.解：延长AD,且使AD=A'D,:AD是△ABC的中线， 8.(8090,23) B点关于中心D的对称点为C,连 -A 接A'C,则△A'CD为所求作的三角 专题五有关旋转角度的几种常见类型 形，如图所示 8.解：(1)如图. 1.A 2.(-49,505) 3.解：(1)四边形AFHE是正方形，理由如下： :Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF, .Rt△ABE≌Rt△ADF, .∠AEB=∠AFD=90°， ∴.∠AFH=90° .Rt△ABE≌R△ADF, .∠DAF=∠BAE. (2),点D的位置共有三种可能，如图. 又，∠DAF+∠FAB=90°， .∠BAE+∠FAB=90°， ∴.∠FAE=90 在四边形AFHE中，∠FAE=90°，∠AEB=90°， ∠AFH=90°， '.四边形AFHE是矩形. 又，AE=AF,.矩形AFHE是正方形. (2)设AE=x,则由(1)以及题意可知：AE=EH=FH= AF=x,BH=7,BC=AB=13.在Rt△AEB中，AB AE+BE. 即13=x2十(x十7)2，解得x=5, 19