22.3 实际问题与二次函数-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学九年级全一册 22.3实际问题与二次函数 第1课时 几何图形问题 儿基础现固练雪奔芳杀础孔国新知 ABCD,已知房屋外墙足够长，当矩形APCD 的边AB= m时，羊圈的面积 知识点几何图形问题 最大 1.直角三角形两直角边之和为定值，其面积S 5.(2023·菏泽)某学校为美化学校环境，打造 与一直角边x之间的函数关系大致图象是 绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙 下列中的 (墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园 分为A,B两块（如图所示），花园里种满牡 丹和芍药.学校已定购篱笆120米 iiiliiiiiiitiiiisitiiilisiiisiiiinsii 2.如图，李大爷用24米 长的篱笆靠墙围成一 个长方形(ABCD)菜 (1)设计一个使花园面积最大的方案，并求 园，若菜园靠墙的一 出其最大面积： 边(AD)长为x(米)，那么菜园的面积y(平 (2)在花园面积最大的条件下，A,B两块内 方米)与x的关系式为 ( 分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株， A.y=(12-r) 已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15 2 B.y=x(12-x) 元，学校计划购买费用不超过5万元，求最 C.y=(24-x) D.y=x(24-x) 多可以购买多少株牡丹？ 3.(2023·天津)如图，要围 D 一个矩形菜园ABCD,其 菜( 中一边AD是墙，且AD 的长不能超过26m,其余的三边AB,BC, CD用篱笆，且这三边的和为40m,有下列 结论：①AB的长可以为6m:②AB的长有 两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m: ③菜园ABCD面积的最大值为200m.其 中，正确结论的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2023·沈阳)如图，王叔 叔想用长为60m的栅栏， 再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈 第二十二章二次函数 儿能力提升练笑破酷力哭升素示 (1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度， 但要在I区中留一个宽度AE=1m的水 6.如图，某校在校门口用塑料 池，且需保证总种植面积为32m,试分别 膜围成一个临时隔离区，隔 确定CG,DG的长： 离区一面靠长为5m的墙， 隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开 已知整个隔离区塑料膜总长为12m,如果 隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙 的面不能超过墙长.小明认为：隔离区的最 大面积为12m:小亮认为：隔离区的面积 可能为9m.则 ( A.小明正确，小亮错误 B.小明错误，小亮正确 C两人均正确 D.两人均错误 7.(2024·江苏苏州月考) (2)方案二：如图2，使围成的两块矩形总种 如图，长为9cm,宽为 植面积最大，请问BC应设计为多长？此时 6cm的大矩形被分割为 最大面积为多少？ 7个小矩形，除矩形A,B(阴影部分)外，其 余5块是形状、大小完全相同的小矩形，则 矩形A与矩形B面积和的最小值是 8.(2022·湘潭)为落实国家《关于全面加强新 时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备 在校园里利用围墙（墙长12m)和21m长 的篱笆墙，围成【、Ⅱ两块矩形劳动实践基 地.某数学兴趣小组设计了两种方案（除围 墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆 墙)，请根据设计方案回答下列问题： Π区 I区 Ⅱ区 图1 图2 155 数学九年级全一册 晶核心素养练 (5)假设水池ABCD的边AD的长度为b(m), 其他条件不变（这个加长改造后的新水池简 9.(新题型·应用能力)(2022·赤峰)【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要 称水池3)，则水池3的总面积y2(m)关于 对景观带中一个长AD=4m,宽AB=1m x(m)(x>0)的函数解析式为：y=x十 的长方形水池ABCD进行加长改造（如图1， b(x>0).若水池3与水池2的面积相等时， x(m)有唯一值，求b的值， 改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简 称水池1).同时，再建造一个周长为12m 的矩形水池EFGH(如图2，以下简称水池2). H 水池 水池2 图1 图2 【建立模型】 如果设水池ABCD的 边AD加长长度DM 为x(m)(x>0),加长 后水池1的总面积为 y(m),则y1关于x 的函数解析式为：y= 图3 x十4(x>0):设水池 2的边EF的长为x(m)(0<x<6),面积为 y2(m2),则y2关于x的函数解析式为：y2= 一x2+6.x(0<x<6),上述两个函数在同一 平面直角坐标系中的图象如图3. 【问题解决】 (1)若水池2的面积随EF长度的增加而减 小，则EF长度的取值范围是 (可省略单位)，水池2面积的最大值是 m: (2)在图3字母标注的点中，表示两个水池 面积相等的点是 ,此时的x(m)值 是 (3)当水池1的面积大于水池2的面积时. x(m)的取值范围是 (4)在1<x<4范围内，求两个水池面积差 的最大值和此时x的值： 6 第二十二章 二次函数 第2课时 销售利润问题 基础现固练泰来落法克自新分 价格x(元kg)之间满足如图所示的一次函 数关系 知识点利用二次函数解决商品利润问题 yk 1.(2024·湖南长沙二模)将进货单价为70元 2200 的某种商品按零售价每个100元售出时，每 1600 天能卖出20个.若这种商品的零售价在一 定范围内每降价1元，其日销售量就增加1 0 14元k 个，则能获取的最大利润是 (1)求y与x的函数解析式： A.600元 B.625元 C.650元 D.675元 2.(2024·沈阳模拟)某商场购进一批单价为 每件15元的商品，如果以单价每件20元出 售，那么每天可销售21件，经调查发现，这 种商品的销售单价每提高1元，其销量每天 相应减少3件，那么每天销售利润最大时， 该商场销售一件该种商品所获利润为 元. 3.(2024·安徽淮北月考)某电商平台11月1 日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销 (2)当每千克荔枝的销售价格定为多少元 售额y(万元)和销售时间第x天(1≤x≤30 时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为 且x为整数)之间满足二次函数关系y= 多少元？ 一(x一h)2十k,根据市场调查可以确定在当 月中旬日销售额达到最大值 (1)若第18天的销售额比第19天的销售额 多5万元，则第 天的日销售额 最大： (2)若第18天后的日销售额呈下降趋势，则 h的取值范围是 4.(2023·鞍山)网络销售已经成为一种热门 的销售方式，某果园在网络平台上直播销售 荔枝.已知该荔枝的成本为6元/kg,销售价 格不高于18元/kg,且每售卖1kg需向网 络平台支付2元的相关费用，经过一段时间 的直播销售发现，每日销售量y(kg)与销售 57 数学九年级全一册 5.(2023·湖州)某水产经销商以每千克30元 能力提升练定破能力提并青养 的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验 可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销 6.(2024·山东乳山月考)某商场销售一批 售价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次 衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利 函数关系，部分数据如表所示： 40元，经过调查发现，销售单价每降低5 销售价格x(元/千克) 50 40 元，每天可多售出10件，下列说法错误 日销售量y(千克) 100 200 的是 ( (1)试求出y关于x的函数表达式： A.销售单价降低15元时，每天获得利润 最大 B.每天的最大利润为1250元 C.若销售单价降低10元，则每天的利润为 1200元 D.若每天的利润为1050元，则销售单价一 定降低了5元 7.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每 人800元.旅行社对超过30人的团给予优 惠，优惠方案：旅游团的人数每增加一人，每 (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利 润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售 人都降低10元，当一个旅游团的人数是 价格x为多少时，日销售利润W最大？最 时，这个旅行社可以获得最大的营 大的日销售利润是多少元？ 业额」 8.(2023·湖北)某商店销售某种商品的进价 为每件30元，这种商品在近60天中的日销 售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x(天) 1≤r30 31≤x≤60 日销售价 0.5.x+35 50 (元件) 日销售量（件） 124-2x (1≤x≤60，x为整数) 设该商品的日销售利润为地元. (1)直接写出与x的函数关系式 58 第二十二章二次函数 (2)该商品在第几天的日销售利润最大？最 (1)求a,b,c的值： 大日销售利润是多少？ (2)如果学生一进人操场就开始排队进行核 酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟 检测5人，求排队人数的最大值（排队人数 =累计人数一已检测人数)： (3)在(2)的条件下，全部学生都完成核酸检 9.(2022·黄石)每星期组织学生进行核酸抽 测需要多少时间？如果要在不超过20分钟 样检测.防疫部门为了解学生错峰进入操场 让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该 进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进 至少增加几个检测点？ 入操场的累计人数y(单位：人)与时间x(单 位：分钟)的变化情况，发现其变化规律符合 ax2+bx十c(0≤x≤8) 函数关系式：y ,数 640,(x>8) 据如表： 时间x 0 2 3 + 8 x>8 (分钟) 累计人 0 150 280 390. 640 640 数y(人) 59 数学九年级全一册 第3课时 抛物线形问题 儿基础巩固练东尖总陆元时新细 (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试 知识点1实际问题中的抛物线形轨迹问题 评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起 1.(2023·宜昌)如图，一名学生推铅球，铅球 点到落地点的水平距离大于等于6.70m, 行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位： 此项考试得分为满分10分.该女生在此项 m)之间的关系是y=一 2x-10)(x+4), 考试中是否得满分，请说明理由。 则铅球推出的距离OA= m y/m A x/m 2.(2022·兰州)掷实心球是兰州市高中阶段 学校招生体育考试的选考项目.如图1是一 名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛 物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之 间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高 度为号m,当水平距离为3m时，实心球行 进至最高点3m处. 图1 图2 注：图1来源：《2022年兰州市高中阶段学 校招生体育考试规则与测试要求》 : (1)求y关于x的函数表达式； 知识点2实际问题中的拱桥问题 3.(2024·辽宁抚顺月考) 如图，抛物线形的拱门的 10米 地面宽度为20米，两侧 地面高15米处各有一个 观光窗，两窗的水平距离 20米 为10米，则拱门的最大高度为 A.10米 B.15米 C.20米 D.30米 60 年，。。，。。。了 第二十二章二次函数 4.(2024·喀什地区模拟)某座石拱桥的桥拱 (2)某卡车空车时能通过此隧道，现装载一 近似抛物线形，以拱顶O为原点，建立如图 宽为3m的集装箱，车与箱共高4.5m,此 所示的平面直角坐标系，则其解析式为y 车能否通过隧道？并说明理由. 一，当水面宽度AB是10米时，水面到 拱顶的高度OC是 米。 5.某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成， 尺寸如图所示。 3 m -6 m (1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以 抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标 系，求该抛物线对应的函数解析式： 能力提进练突破能力升套养 6.(2023·襄阳)如图，一位篮球运动员投篮 时，球从A点出手后沿抛物线行进，篮球出 手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手 点的水平距离x(m)之间的函数关系式是y (x一》+下列说法正确的是 (填序号). ①篮球行进过程中距离地面的最大高度为 3.5m ②篮球出手点距离地面的高度为2.25m 61 g量。g。t。t0。，。。960 数学九年级全一册 7.如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物 (2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此 线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位 时a=一 山-，求基准点K的高度A: 1 时，大孔水面宽度AB为20m,顶点M距水 ②若4=一 时，运动员落地点要超过K 501 面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面 点，则b的取值范围为 4m(即NC=4m).当水位上涨到刚好淹没 小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出 此时大孔的水面宽度EF是 m, 8.(2022·江西)跳台滑雪运动可分为助滑、起 跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞 行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部 (3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰 分所示)，落地点在着陆坡（如图中虚线部分 好达到最大高度76m,试判断他的落地点 所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离 能否超过K点，并说明理由. 计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行 距6离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑 雪标准台的起跳台的高度OA为66m,基准 点K到起跳台的水平距离为75m,高度为 hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳 后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函 数关系为y=a.x2十bx十c(a≠0). tylm 起跳点 共准点K 入若陆坡 0 x/m (1)c的值为 男动重年单里单单量g年单量通国有家常多号9.D 10.C (5)根据题意画出图象: 11.解:(1)方程ar+bx十c-2的根为x-x。-2. (2)不等式ar^{}+br十c0的解集为x 1或x>3. 能力提升练 12.C 13.B 14.A 15.C 16.y-2x-3或y--x+4x-4 17.解:(1)如图,作直线y一1,交抛物线于A,B两点,分别 -4-3-101 345 过A,B两点作AC x轴,垂足为C,BD x轴,垂足为 D,则点C,D的横坐标即为方程x{}十x一1的根,观察 -2. -3- 图象可知方程的根为x=-1.6,r。-0.6. _来 -1--11-11- , 直线y-m与函数y-2x( x -2)图象的交点的横坐 标<0<x<.且x+r-2,x-2x+ 十x 0.-2<m0.关于x的方程2x(lxl-2) 一n有三个不相等的实数根,且这三个实数根的和为 负数,则n的取值范围是-2<n 0.故答案为:-2< 3. n0. 专题四 13 将x=1代入y-+,得y-2. 二次函数图象信息题归类 ##经点(0)(1.2)# :直线y- 基础巩固练 1.B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.=(x-4)-4 8.解:(1)设抛物线的解析式为y-a(x十1)^-4. 观察图象,可知当x<一 把(1,0)代入得4a-4-0,解得a-1, 小于二次函数的值 所以抛物线的解析式为y=(x十1)-4. (3)由图象,知原抛物线的项点坐标为(一,一), (2)当x--3时,y-(-3+1)-4-0; 当x-0时,y--3; 所以当-3:0时, y的取值范围为-4<y~0. 左平移士个单位长度,平移后抛物线的顶点落在P 故答案为:-4<y<0. 点上, (3):函数y-(x十1)②-4图象的顶点为(-1,-4),a= 平移后二次函数的解析式为y=(x十1){十1,即y=^{} 1.^该函数的图象沿工轴翻折后得到的函数图象顶点 +2x+2. 为(-1,4),a--1. '.翻折后得到的函数表达式为y=一(r十1){}十4.故答 案为:y--(x十1)+4. 9.B 10.x.=-3.x。-2 1 11.--2.。-0 12.D 核心素养练 13.-1<n<0 18.解:(2)当x>0时,y=x(|rl-2)=r(x-2)=r- 14.(1)x-1.x-3(2) 2 2x.故答案为:x-2x. (3)<1或x>3(4)-1<y<8 (3)如图所示: 22.3 ) 实际问题与二次函数 第1课时 几何图形问题 基础巩固练 1.B 2.C 3.C 4.15 (4)如上图,直线y--与y-x(|xl-2)的图象有三个 5.解:(1)设垂直于墙的边为x米,围成的矩形面积为S平 交点,则可知方程x(1xl-2)-的实数根有3个,故 方来,则平行于墙的边为(120一3r)米, 根据题意得S=x(120-3x)--3r^{+120x--3(x- 答案为:3. 20)②+1200. 14 .-3<0..当x-20时,S取最大值1200. 则线段FG表示两个水池面积差, ..120-3r-120-3×20-60. 设F(n,-n{}+6m),则G(m,m+4). '.垂直于墙的边为20来,平行于墙的边为60来,花园面 'FG-(-m}+6m)-(m+4)=-m+5m-4-- 积最大为1200平方来. #)## (2)设购买牡丹n株,则购买苟药1200×2-(2400 -n)株. .-1<0. .学校计划购买费用不超过5万元, *25m+15(2400-n)<50000. 解得n1400. 心最多可以购买1400株壮丹。 能力提升练 此时”的值为 6.B 8 (5)·水池3与水池2的面积相等...y。-y. 即x十b--r+6x.-5+b-0. 8.解:(1):(21-12)-3-3(m). .若水池3与水池2的面积相等时,r(m)有唯一值...A '.I、lI两块矩形的面积为12×3-36(m{}). =(-5)*-4X1×b-0. 2 设水池的长为am,则水池的面积为a×1一a(m^{}). .36-a-32,解得a-4. '.DG=4m...CG=CD-DG=12-4=8(m). .若水池3与水池2的面积相等时,x(m)有唯一值,h的 即CG的长为8m、DG的长为4m. (2)设BC长为xm,则CD长度为21-3x. 第2课时 销售利润问题 *.总种植面积为(21-3xr)·x--3(--7x)-- 基础巩固练 7.-3<o.当, 7时,总种植面积有 1.B 最大值为117} 2.6 3.(1)16 (2)9h18.5 & 4.解:(1)设每日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间 即BC应设计为m总种植面积最大,此时最大面积为 满足如图所示的一次函数关系为y一kx十h. 147. 1--100 14+-1600,解得{ 1-3000' 核心素养练 'y与x的画数解析式为y=-100x十3000. 9.解:(1)y--+6r=-(r-3)+9. (2)设每千克荡枝的销售价格定为工元时,销售这种落 又.一1~0,抛物线的开口方向向下,当x二3时,水 枝日获利为w元, 池2的面积随EF长度的增加而减小, 根据题意得w=(x-6-2)(-100r+3000)--100} ·0 x 6.'.当3<x6时,水池2的面积随EF长度 +3800x-24000--100(x-19)+12100,:= 的增加而减小,水池2面积的最大值是9m^{②}。 -100 0,对称轴为x=19,销售价格不高于18元/kg; '当x-18时,w有最大值为12000. 故答案为:3x6:9 (2)由图象可知:两函数图象相交于点C,E,此时两函数 '当销售价格定为18元千克时,销售这种蒸枝日获利 最大,最大利润为12000元. 的函数值相等,即x十4-一1十6x. 5.解:(1)设y关于x的&数表达式为y一kx十b(k亡0).将 解得x一1或4,表示两个水池面积相等的点是C,E; x=50,y=100和x=40,y-200分别代入,得 此时的x(m)值是1或4. 50十6-100 1--10 故答案为:C,E;1或4. {40十-200,解得/ 1-600 (3)由图象知:图象中点C的左侧部分和点E的右侧部 'y关于x的函数表达式是y-一10x十600 分,一次函数的函数值大于二次函数的函数值,即当0~ (2)由题意得W=(x-30)(-10x+600)=-10x*+ r1或4<x6时,水池1的面积大于水池2的面积. 900x-18000. 故答案为:0x<1或4<x<6. -00-45时,在30x<60的范围内,W取到 当-一 g00 (4)在抛物线上的CE段上任取一点F,过点F作FG/y 轴交线段CE于点G. 最大值,最大值是2250. 答:销售价格为每千克45元时,日销售利润最大,最大日 销售利润是2250元. 能力提升练 6.D 7.55 8.解:(1)当1<x30时. w-(0.5x+35-30)·(-2r+124)=-r*+52x+620. 2” 当31x60时 15 w=(50-30)·(-2+124)=-40r+2480 解得;t-7.5,x=-1.5(舍去). 'u与x的函数关系式 .7.56.70. -”+52r+620(1<x<30) &.该女生在此项考试中是得满分 一 -40r+2480(31<r60) 3.C 故答案为: (-r*+52r+620(1<z<30) _一 -40.r+2480(31<x<60)· 5.解:(1)设抛物线对应的画数解析式为y一ar^{② 如图,因为抛物线的顶点为原点,隧道宽6m,高5m,矩 (2)当1<x30时. 形的高为2m,所以抛物线过点A(一3,一3),代入y w=-r*+52x+620--(r-26)*+1296 .-1<0. ar,得-3-9,解得a=- ..当x-26时,w有最大值,最大值为1296; 所以抛物线对应的函数解析式为y= 当31 x60时,w=-40x+2480. 3. .-40<0. _ *.当r-31时,w有最大值,最大值为-40×31十2480 -1240.·12961240. 一, &.该商品在第26天的日销售利润最大,最大日销售利润 是1296元。 (c-0 9.解:(1)由题意知,a十b-150 4a+26-280 --10 (2)此车不能通过隧道,理由如下: 解得b-160。 如果此车能通过隧道,集装箱处于对称位置,将x一1.5 -0 代入解析式,得y-一0.75. (2)设第x分钟时的排队人数为W. 又因为5-0.75-4.25m,4.25<4.5. 根据题意得W-y-20x. 所以此车不能通过隧道 -10r+140x(0<r<8) 能力提升练 .W一 1-20r+640(x8) 6.① 当0r<8时, 7.203 W=-10+140x--10(x-7)+490. 3 8.解:(1):起跳台的高度OA为66m..,A(0,66). .当r-7时,W-490. 把A(0,66)代入y=ax{}十bx十c得c=66.故答案为:66 当x>8时,W-640-20r. #6 .--20<0. (2)①:a-- '.W随x的增大而减小...W480. #0{# .y-- 10十6. 0 故排队人数最多时有490人。 (3)要全部学生都完成核酸检测,根据题意得:640一20 .基准点K到起跳台的水平距离为75m. -0,解得:r-32, .y-- 所以全部学生都完成核酸检测要32分钟; '基准点K的高度h为21m. 设开始就应该增加双个检测点,根据题意得 5×20(m+4)>640,解得n2.4. ②一一 .n为整数, .运动员落地点要超过K点...x一75时,y21. '.m的最小值为3, 175+756+66>21.解得6> 10,故答案为:) 。 答:从一开始就应该至少增加3个检测点。 。 第3课时 抛物线形问题 10 基础巩固练 (3)他的落地点能超过K点,理由如下: .运动员飞行的水平距离为25m时,恰好达到最大高 1.10 度76m..*.抛物线的项点为(25,76). 2.解:(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y一a(x一 设抛物线解析式为y-a(x-25)②十76. 3)2+3,把(0.-)代入解析式得号-a(0-3)第}+3. 把(0,66)代入得66-a(0-25)*+76. 2 -. 解得一 解得a=- ·抛物线解析式为y一一 12(r-25)2+76. 2 7(x-3+3. 'y关于x的函数表达式为y一 当x-75时,y-一 (2)该女生在此项考试中是得满分,理由: .36>21. '.他的落地点能超过K点. 16