22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学九年级全一册 22.1.4二次函数y=a.x2+bx+c的图象和性质 第1课时 二次函数y=a.x2+bx十c的图象和性质 儿基础巩固练东东港陆乳国新知 五已知二次函数y=一名+2+1，解答下 知识点1 二次函数y=.x2十bx十c的图象 列问题： 和性质 (1)写出该二次函数图象的开口方向、顶点 1.(2022·广州)如图，抛 坐标及对称轴： 物线y=a.x2十bx十 (2)作出函数图象，并观察图象，写出当x为 c(a≠0)的对称轴为 何值时，y随x的增大而增大，当x为何值 x=一2，下列结论正确 时，y随x的增大而诚小： 的是 ( (3)函数有最大值还是最小值？最值是多少？ A.a<0 B.c>0 C.当x<一2时，y随x的增大而减小 D.当x>一2时，y随x的增大而减小 2.(2023·大连)已知二次函数y=x-2x-1, 当0≤≤3时，函数的最大值为 A.-2 B.-1 C.0 D.2 3.(2023·成都)如图，二次 函数y=a.x2+x-6的图 象与x轴交于A(-3,0), 0B￥ B两点，下列说法正确的 是 ) A.抛物线的对称轴为直 线x=1 A抛物线的顶点坐标为一2一6) 知识点2二次函数y=a.x+bx十c的图象 的平移 C.A,B两点之间的距离为5 6.将函数y=x2十bx十c的图象向右平移2个 D.当x<一1时，y的值随x值的增大而 单位长度，再向下平移3个单位长度，所得 增大 图象的函数解析式为y=x2一2x一3，则 4,(2023·内蒙古)已知二次函数y=一a.x2十 2a.x十3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图 A.b=2.c=2 B.b=2,c=0 象上，且m≠0，则m的值为 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2 第二十二章二次函数 7.将抛物线C:y=x2一2x+3向左平移1个 下列结论中：①abx>0:②(a十c)2一=0： 单位长度，得到抛物线C2,抛物线C2与抛 ③9a十4c<0:④若m为任意实数，则an+ 物线C,关于x轴对称，则抛物线C的解析 bm+2b≥4a.正确的个数是 式为 ( A.1 B.2 A.y=-x2-2 B.y=-x2+2 C.3 D.4 C.y=x2-2 D.y=x2+2 13.(2022·遂宁)抛物线 8.(2022·牡丹江)抛物线y=x2-2x十3向右 y=ax'+bx+c(a,b,c 平移2个单位长度，再向上平移3个单位长 为常数)的部分图象 度，得到抛物线的顶点坐标是 如图所示，设m=a一b 儿能力提进练笑破能力装升素养 十c,则m的取值范围 是 9.(2023·陕西)在平面直角坐标系中，二次函 数y=x2十mx十m一m(m为常数)的图象 14.已知抛物线y= 2r2+br十e经过点 经过点(0,6)，其对称轴在y轴左侧，则该二 次函数有 ( 1.0.0, A.最大值5 B最大值 (1)求该抛物线的函数解析式： (2)将抛物线y=一十似十c平移，使 C.最小值5 D.最小值只 其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的 10.(2022·青岛)已知二次函数y=a.x2+bx 方法及平移后的函数解析式. +c的图象开口向下，对称轴为直线x=一1， 且经过点（一3,0），则下列结论正确的是 ( A.b>0 B.c<0 C.a+b+e>0 D.3a+c=0 11.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2一4x +5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为( A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5 C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5 12.(2022·牡丹江)如 图，抛物线y=a.x2十 bx十c(a≠0)的对称 轴是直线x=一2，并 与x轴交于A,B两 点，若OA=5OB,则 41 数学九年级全一册 15.(2023·北京)在平面直角坐标系xOy中，： 圆核心素养练 M(x,y),N(x2,y2)是抛物线y=ax2十 16.(推理能力)(2022·北京)在平面直角坐标 bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称 系xOy中，点(1，m),(3,n)在抛物线y= 轴为x=t. a.x2+bx十c(a>0)上，设抛物线的对称轴 (1)若对于石=1x2=2,有4=32求1的值： 为直线x=L, (2)若对于0<x<1,1<x<2,都有y< (1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交 ,求t的取值范围。 点的坐标及t的值： (2)点(x0,m)(x。≠1)在抛物线上.若m< n<c,求t的取值范围及x,的取值范围. 42 动重甲里单量音南。量量用言家号 第二十二章 二次函数 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式 基础现固练务采总陆玩用新分 (2)直接写出当x为何值时，y随x的增大 而增大？ 知识点1用“一般式”求二次函数解析式 (3)直接写出当一6<x<1时，y的取值 1.已知二次函数的图象经过点（一1，一5），(0， 范围 一4)和(1,1)，则该二次函数的解析式为 ( A.y=-6.x2+3.x+4 B.y=-2.x2+3x-4 C.y=x2+2x-4 D.y=2x+3x-4 2.(2023·上海)一个二次函数y=az+bx十c 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的 部分是上升的，那么这个二次函数的解析式 可以是 知识点2用“顶点式”求二次函数解析式 3.(2024·广东广州月考)已知二次函数的图 象的顶点是(1，一2)，且经过点(0，一5)，则 二次函数的解析式是 ( A.y=-3(x+1)2-2 B.y=3(x+1)-2 C.y=-3(.x-1)°-2 D.y=3(.x-1)2-2 4.如图，抛物线的解析式为 知识点3用“交点式”求二次函数解析式 ,与x轴的另一个交 6, 7.(2024·江苏南京鼓楼区期 -2-10123 点的坐标是 中)抛物线的图象如图，根 据图象可知，抛物线的解 5.已知一抛物线的形状与抛物线y=一 析式可能是 相同，顶点在(1，一2)，则抛物线的解析式为 A.y=x2-x+2 2x+2 6.(2024·吉林长春模拟)若抛物线的顶点坐 标是（一4,3），且过点(-3,1). C.y--+1 (1)求此抛物线的函数关系式： D.y=-x2+x十2 143 。。。,。。, 数学九年级全一册 能力提升练笑破能力提升素茶 9.(2023·黑龙江)如图，抛 物线y=a.x2+bx+3与x 8.(2023·宁波)如图，已知 轴交于A(-3,0),B(1, 二次函数y=x+bx十c 0)两点，交y轴于点C. 的图象经过点A(1,一2) (1)求抛物线的解析式： 和B(0,一5). (2)抛物线上是否存在一点P,使得S△x= (1)求该二次函数的表达 式及图象的顶点坐标： 5版若存在，请直接写出点P的坐标： (2)当y≤一2时，请根据图象直接写出x的 若不存在，请说明理由。 取值范围。 44 第二十二章 二次函数 10.(2022·日照)在平 ■核心素养练 面直角坐标系xOy 11.(推理能力)(2024·福建厦门期中)抛物线 中，已知抛物线y= y=a.x2+bx+c过A(1,0),B(2,5)两点， -x2+2m.x+3m,点 且对称轴为直线x=一1. A(3,0). (1)求抛物线的解析式： (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解 (2)直线I:y=kx一k(0≤k≤3)与抛物线 析式： 交于M(xM,y),V(xNyN),xw<tw: (2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点 ①求yM的范围； D,并求出点D的坐标： ②点P(xp,yp)在抛物线上(xM<xp< (3)在(1)的条件下，抛物线与y轴交于点 xv),点Q(xo,yo)在直线I上，xp=xo B,点P是抛物线上位于第一象限的点，连 PQ的长度记为d.对于每一个k,d都有最 接AB,PD交于点M,PD与y轴交于点 大值，请求出d的最大值与k的函数关 V.设S=SAPM一S△mN,问是否存在这 系式 样的点P,使得S有最大值？若存在，请求 出点P的坐标，并求出S的最大值：若不 存在，请说明理由」 453=b,解得 =-1山y=一x+3. 6.B7.A 10=3k+b, b=3, 8.(3.5) 当x=1时y=2,∴P(1,2). 能力提升练 核心素养练 9.D10.D11.A12.C 17.解：(1)由函数图象可知，当x=0时， 13.-4<m<0 ym=1000,即1000=1×(0-60)2+m, 4 14.解：1)分别起点(1,0).(0，号)的坐标代入抛物线的 得m=10.∴a=子-60)+10 +b十c=0, b=-1, 解析式，得 解得 3 当=40时.=号×40-60y产+10=20， 3 C= C= 2· 2 .盛数y=kr+b的图象经过点(0,1000)，(40,200)， 所以抛物线的解析式为y=一 2-x+ ÷6100,n解得-20 (2)答案不唯一，例如： 140k+b=200. {b=1000. ∴y1=-20x+1000. 国为抛物线的解析式为y=一号一十号 (2)将y=120代入y=-20.x+1000,得120=-20.x 十1000，解得x=44. 一言+1D+2,所以将滨礼物线向右平移1个单位 将=44代入%=-60)产+10，得 长度，向下平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y =}×(4-60y+10=164. 2r. 15.解：(1)，对于x1=1,x2=2,有y=y:, 故当A组材料的温度降至120℃时， ∴.a+b+c=4a+2b+c, B组材料的温度是164℃. ∴.3a+b=0, (3)由题意可得，当0<x<40时， =-3. yA-y#=20x+1000-年（x-60)-100=- 4 +10x=- (r-20)+10,-<0当x=20时， :对称轴为x=一2a一立· 两组材料的温差最大，此时两组材料的温差为100℃. -g 22.1.4 二次函数y=a.x2+bx+c (2)0<x1<1,1<x2<2, <<< 2 的图象和性质 y1<y2a>0, 第1课时 二次函数y=a.x2十bx+c .(x1y1)离对称轴更近，x1<x,则(x1)与(xgy:) 的中点在对称轴的右侧， 的图象和性质 > 基础巩固练 1.C2.D3.C4.2 即心分 5.解：(1)y=- 2r+2x+1=-d-4r+40+3- 核心素养练 :16.解：(1)方法一：将点(1，m),(3,n)代入抛物线解析式， 名一2)十3该二次函数图象的开口向下，顶点 (m=atb+c n=9a+3b+c* 坐标为(2,3)，对称轴为直线x=2. m=: (2)令x=0,得y=1,该二次离数图象与y轴交于点 ∴.a十b十c=9a十3b十c,整理得，b=-4a, (0,1).该二次函数的图象如图. 4 “抛物我的对称轴为直线=一名=-=2 5 ∴.t=2. e=2. 3…行 3- 抛物线与y轴交点的坐标为(0,2). 方法二：当m=n时，点A(1,m),B(3,n)的纵坐标 4-0i545 相等， -2- -3- 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为=十3， 2 4 .1=2 -5- ,c=2, 由图象可得，当x<2时，y随着x的增大而增大，当x> .抛物线与y轴交点的坐标为(0,2). 2时，y随着x的增大而减小 (2),m<<c, (3)由图象开口向下知函数有最大值，最大值是3. ∴.a+b+e<9a+3b+e<c, 10 解得-4a<b<-3a, 点A(1,一2)关于对称轴直线x=一1的对称点C(一 .3a<-b<4a, 3,-2). .当y≤-2时，x的范周是一3≤x≤1 9.解：(1)由抛物线与x轴交于A(一3,0)，B(1,0)两点，代 即2<12 入抛物线y=a.x2+br+3得 由题意可知，点(t。,m)与点(1，m)关于x=1对称， (-3)a-36+3=0 t=o+1 a+b+3=0 21 解得/0=一1 当1=号时场=2 b=-2 ,抛物线的解析式为y=一x2一2x+3. 当t=2时，x。=3. (2)存在，理由如下： ∴.x。的取值范国2<xo<3. A(-3,0),B(1,0), 综上1的取值范国为：号<1<2，的取值花围2<。 ..AB=4. <3. 抛物线y=ax十bx十3与y轴交于点C, 令x=0,则y=3, 第2课时用待定系数法求二次函数的解析式 ∴.C点坐标为(0,3)，C=3. 基础巩固练 1.D ∴Sam=合AB,0C=7×4X3=6, 2.y=一x2+1(答案不唯一) 5am=号56u=8 3.C 4.y=- -10+3(-10 作PE∥x轴交BC于E,如图： =号x-1-2或y=-名c-10-2 6.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x十4)2+3， 把(-3,1)代入得a(-3+4)+3=1, 解得a=一2， ∴.抛物线解析式为y=-2(x十4)”+3. (2)由(1)知抛物线解析式为y=一2(x+4)2十3.则抛物 设BC的解析式为y=kx十b,将B,C坐标代入得 线的开口方向向下，且对称轴是直线x=一4， 1k十b=0 当x<一4时，y随x的增大而增大 3=6 (3)由y=-2(x十4)+3可知，抛物线开口向下，当x 解得/-3 一4时，y有最大值3. 6=3· 当x=一6时，y=-5: ∴.BC的解析式为y=一3.x十3. 当x=1时，y=-47, 设点P的横坐标为1，则P(1,-12-21十3)， .当-6<x<1时y的取值范国为-47<y≤3. 则E的纵坐标为-3x十3=一2一21十3，解得x 7.D =+21 能力提升练 3 8.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代入y=x2+hr+c 将化- 2,-f-2+: 年释仁2写 E=告2-， 3 1×1×3=3 .二次函数的表达式为y=x十2x-5. :.SAme-2X 3 y=x2+2x-5=(x+1)2-6, 解得1=-2或3. .顶，点坐标为（一1，一6）. ∴.P点纵坐标为：一（一2）2-2×（一2）十3=3：或一32- (2)如图： 2×3+3=-12, .点P的坐标为（一2,3）或(3，一12) 10.解：(1)把x=3,y=0代入y=-x2+2m.x十3m得-9 十6m十3m=0,.m=1..y=-x+2.x+3. (2)证明：y=-x2+m(2x十3)， 当2x+3=0,即=-号时y=-号 D(-号-)： 11 (3)如图， 整理，得x2十(2-k)x十k-3=0, 则xM十xv=k-2, 而xv=1.TM=k-3, 当x=k一3时，y=kx-k=k(x-1)=k(k一3-1)=k2 一4=yM: ,0≤k≤3..一4≤k2-4k≤0， yw的范围为一4≤yM≤O. ②由题意知，PQ∥y轴， 连接OP, 设点P的坐标为(x,x2十2x一3)，则点Q(x,kx一k), 设P(m,-m+2m+3), 则PQ=k.x-k-x-2x十3=-x2+(k-2).x+(3 设PD的解析式为：y=kx十b,将PD两点坐标代入得 k). +69 一1<0，故PQ有最大值， 4 当x= b二k-2时 2a2 km十b=-m+2m+3 PQ的最大值为=一 =-2(2m-7) 2m十3 k-2k+4 dn.=4 0N=-是m+3 专题三 二次函数的综合应用 :S-=SAPAM一S△N· 1.解：(1)当y=0时，-x2+2x+3=0, .S=(S△PAM十Sm边形MNM)一(Sm形NNM十S△N)= .x1=-1.r2=3, Sg造#￥NP一S△M州. .A(1.0),B(3.0) Sw+5mm-0A+ON (2):抛物线对称轴为r=一1，十3=1， 2 =×3(-m+2m+3)+(-2m+3) 1 .设P(1,m), 由-x2+2x十3=-x-1得， =、9 9 x=一1（舍去），，=4， 当x=4时，y=-4-1=-5, 1 2· .C(4,-5). 1m+9 PA=PC, m Γ1(m-1)+9 9 由PA=PC得， 当m=1时，S=号， 22+m2=(4-1)2+(m+5)°， .m=一3 当m=1时，y=-1°+2×1+3=4， (3)由题意可得M(0,5),V(4,5), .P(1,4). 当a>0时， 核心素养练 ,y=-a(x-1)2+4a, 11.解：(1)设抛物线的解析式为y=a.x2十bx十c, .抛物线的顶点为(1,4a). a十b+c=0, 当4a=5时，只有一个公共点， a=1. 由题意得 4a+2h+c=5·解得{b=2, a=是 =-3, 当x=0时y>5, .抛物线的解析式为y=x十2x一3. .3a>5, (2)①y=k.r-k=k(x-1), >音 当x=1时，y=kx一k=0, 故该函数过点(1,0)，即点V(1,0), a>或a= 故点V,A重合，如图. 当a<0时：当=0时y3a<5,解得a<号， 当x=4时，y=(-16+8+3)a≥5， .a≤-1， 然上所迷0>号或a=号或a<-1 2.解：(1)由题意得y=一(x十1)·(x-3), 令y=x2+2x-3=kx-k, .y=-x2+2.x+3. 12