22.1.3 二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

第二十二章 二次函数 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=a.x2十k的图象和性质 基础巩固练务实茶础乳围箭如 6.(2023·广州)已知点A(x1,y1),B(x2) 知识点1二次函数y=江十k的图象和性质 在抛物线y=x2一3上，且0<1<x2,则y y2.(填“<”“>”或“=”) 1.(2024·雁塔区校级一模)抛物线y=x2一2 7.(2024·黑龙江大庆月考)已知y=(m十3)· 的顶点坐标是 ( x+m一3+5是关于x的二次函数， A.(-2,0) B.(2,0) (1)求m的值： C.(0.2) D.(0,-2) (2)当m为何值时，该函数图象的开口向上？ 2.(2023·安徽)下列函数中，y的值随x值的 (3)当m为何值时，该函数有最大值？ 增大而减小的是 ) A.y=x2+1 B.y=-x2+1 C.y=2x+1 D.y=-2x+1 3.(2024·濠江区模拟)在同一平面直角坐标 系中，一次函数y=kx十1与二次函数y x十k的大致图象可以是 4.(2024·湖北武汉江夏一模)关于二次函数 y=一2x2+1,以下说法正确的是( A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是（一2,1） C.当x<0时，y随x的增大而增大 知识点2二次函数y=ax+k的平移 D当x=0时，y有最大值- 8.(2022·湖州)将抛物线y=x2向上平移3 个单位，所得抛物线的解析式是 5.(2023·镇江)二次函数y=一2x2+9的最 A.y=x2+3 B.y=x2-3 大值等于 C.y=(x+3) D.y=(x-3) 31 。。。”,,,g。。 数学九年级全一册 9.若在同一平面直角坐标系中，作y=一 能力提升练文凉能力提并香茶 y= 合+1y=2-1的图象，则对它 11.二次函数y=m.x,若在其图象的对称 轴的左侧，y随x的增大而增大，则下列各 们图象的说法正确的是 点不在其图象上的是 () A.都关于y轴对称 A.(1,-3) B.(-1,-3) B.开口方向相同 C.(0,0) D.(-1,N3) C.都经过原点 12.(2022·荆门)抛物线y=x+3上有两点 D.互相可以通过平移得到 A(x为)，B(xy),若y<,则下列结 10,能香通过上下平移二次函数y=名2的图 论正确的是 () 象，使得到的新函数的图象过点(3，一3)？ A.0≤x1<x2 若能，求出平移的方向和距离：若不能，请 B.x2<x1≤0 说明理由。 C,x2<x1≤0或0≤x1<x D.以上都不对 13.(2024·山西晋中月考)如图，两条抛物线 为= 2+1%=- -1与分别经 过点（一2,0），(2,0)且平行于y轴的两条 平行线围成的阴影部分的面积为() f+l A.8 B.6 C.10 D.4 14.(2024·北京延庆月考) 如图，正方形QABC的 顶点B恰好在函数 y=a.x2(a>0)的图象 上，若正方形OABC 的边长为2，且边OA 与x轴的正半轴的夹角为15°，则a的值为 15.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于 M(m,3) (1)求m和n的值： (2)求抛物线y=2x+n的顶点坐标和对 称轴： 第二十二章二次函数 (3)对于二次函数y=2x2+n,当x在什么 (1)求抛物线的顶，点坐标和对称轴； 范围时，y随x的增大而减小？ (2)判断山1，d的大小关系并证明： (4)y=2.x2+n与y=2x-1还有其他交点 (3)若线段PF的延长线交抛物线于点Q, 吗？若有，请求出来：若没有，说明理由. 且线段PQ的长度是m,线段PQ的中点 M到x轴的距离是n.直接写出m与n的 函数关系式 晶核心素养练 16.(推理能力)已知点P是抛物线)y一名2+1 上的任意一点，设点P到直线y=一1的 距离为d,点P到点F(0,3)的距离为d2. 33 。7,, 数学九年级全一册 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 基础巩固练务尖基烛现调解如 7.已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最 大值，且抛物线过点(1，一3). 知识点1二次函数y=a(x一h)”的图象和 性质 (1)求抛物线的解析式： 1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x (2)当y随x的增大而增大时，求x的取值 h)2(a≠0)的图象可能是 范围： (3)求抛物线与y轴的交点坐标. 2.(2024·安徽合肥月考)下列二次函数中，图 象的对称轴为直线x=1的是 ( A.y=-x2+1 By-z(z-I) C.y-(r+D) D.y=-x2-1 3.(2024·西乡塘区模拟)对于二次函数y 一(x一1)的图象的特征，下列描述正确的 是 ( A.开口向上 B.经过原点 C.对称轴是y轴 D.顶点在x轴上 4.(2024·天津河西区月考)已知函数y= (x一1)，下列结论正确的是 ( A.当x>0时，y随x的增大而减小 B.当x<0时，y随x的增大而增大 C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.当x<一1时，y随x的增大而增大 5.(2024·吉林长春月考)若点(3，a),(4,b)都 在二次函数y=(x一2)2的图象上，则a与b 的大小关系是 ( ) A.ab B.a<b 知识点2二次函数y=u(x一h)的图象的 C.a=b D.无法确定 平移 6.(2024·河南模拟)已知二次函数y=2(x 8.(2024·金山区一模)将抛物线y=2(.x十4) h)2,当x>3时，y随x的增大而增大，则h 向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式 的取值范围是 是 第二十二章 二次函数 9.将抛物线y=ax向右平移后所得新抛物线： 11.(2024·湖北武汉区模拟)已知二次函数 的对称轴是直线x=2,且新抛物线经过点 y=一(x十h)2,当x<一3时，y随x增大 (一1，一3)，求a的值. 而增大，当x>0时，y随x增大而减小，且 h满足h2-2h一3=0，则当x=0时，y的 值为 A.-1 B.1 C.-9 D.9 12.(2023·南充)若点P(m,n)在抛物线y a.x(a≠0)上，则下列各点在抛物线y= a(x+1)2上的是 ( A.(m,n+1) B.(m+1,n) C.(m,n-1) D.(m-1,n) 13.如图，抛物线y=2(x一2)与平行于x轴 的直线交于点A,B,顶点为C,△ABC为 等边三角形，求S△， 能力提升练美成能力提升素养 10.在一次函数y=kx十b(使≠0)中，y随x的 增大而减小，则二次函数y=k(x一1)的 图象大致是 ( 135 数学九年级全一册 14.(2024·云南模拟)如图，已知直线1经过 圆核心素养练 A(4,0)和B(0,4)两点，抛物线y=a(x 15.(思想方法·方程思想) h)2的顶点为P(1,0),直线1与抛物线的 如图，在Rt△OAB 交点为M. 中，∠OAB=90°，O为 坐标原点，边OA在x 轴上，OA=AB=1,现把△OAB沿x轴的 正方向平移1个单位长度后得△AAB. (1)求以A为顶点，且经过点B,的抛物线 的解析式： (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y (1)求直线1的解析式： 轴交于点D,求点D,C的坐标. (2)若S△Am=3,求抛物线的解析式. 36 南重华年量■。。量南南 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(.x一h)2十k的图象和性质 基础巩固练夺实头4乳日新如 6.(2023·哈尔滨)抛物线y=-(x+2)2+6 与y轴的交点坐标是 知识点1二次函数y=a(x一h)十k的图象 7.(2024·湖北随州月考)二次函数y=一(x 和性质 一2)2+3，当1≤x≤5时，y的最小值为 1.(2023·沈阳)二次函数y=-(.x十1)+2 图象的顶点所在的象限是 ( 知识点2二次函数y=a(x一h)“十k的图象 A.第一象限 B.第二象限 的平移 C第三象限 D.第四象限 8.(2023·徐州)在平面直角坐标系中，将二次 2.(2022·湖北)二次函数1 函数y=(x十1)十3的图象向右平移2个 y=(.x十m)十n的图象如 单位长度，再向下平移1个单位长度，所得 图所示，则一次函数y= 抛物线对应的函数表达式为 () mx十n的图象经过( A.y=(x+3)2+2B.y=(.x-1)2+2 A第一、二、三象限 C.y=(.x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4 B第一、二、四象限 9.(2023·无锡)将二次函数y=2(x-1)2+2 C.第一、三、四象限 的图象向右平移2个单位长度，所得函数图 象的顶点坐标为 D.第二、三、四象限 A.(-1,2) B.(3,2) 3.(2023·甘孜州)下列关于二次函数y= C.(1,3) D.(1,-1) (x一2)2一3的说法正确的是 ( 10.(2022·黑龙江)把二次函数y=2.x的图 A.图象是一条开口向下的抛物线 象向左平移1个单位长度，再向下平移2 B.图象与x轴没有交点 个单位长度，平移后抛物线的解析式为 C.当x<2时，y随x增大而增大 D.图象的顶点坐标是(2，一3) 11.(2022·深圳)二次函数y=2x2,先向上平 4.(2022·宁波)点A(m一1，y1),B(m,y2)都 移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑 在二次函数y=(x一1)2十n的图象上.若 的曲线画在平面直角坐标系上 y<y2,则m的取值范围为 ( y=2x2 y=2(x-3)2+6 A.m>2 Bm>号 (0.0) (3,m) (1,2) (4,8) C.m<1 D.8<m<2 (2,8) (5,14) 5.(2022·衢州)已知二次函数y=a(x一1) (-1,2) (2,8) 一a(a≠0)，当一1≤x≤4时，y的最小值为 一4，则a的值为 ( (-2,8) (1,14) A2或4 B号或日 (1)m的值为 (2)在坐标系中画出平移后的图象并写出 C-或4 D-或4 y=一 22+5与y=2的交点坐标： 数学九年级全一册 (3)点P(1,y),Q(x,2)在新的函数图 C.y= 象上，且P,Q两点均在对称轴同一侧，若 2(x+3)2-5 为>y2,则x x2(填“>”“<”或 D.y= 2x+3)P+4 “=”) -(.x-1)2+1(x≤4) 14.已知函数y= 且使 10 -(x-7)2+1(x>4), y=k成立的x值恰好有2个，则k的取值 范围是 15.(2024·浙江杭州月考)二次函数y子红 0 m)2+m,当2m一3≤x≤2m时，y的最小 值是1，则m的值是 16.(2024·安徽宣城二模) ↑y 如图，已知抛物线的顶点 为A(1.4),抛物线与y 轴交于点B(0,3),与x0 能力提升练哭破能力袋升素茶 轴交于C,D两点（点C在点D的左侧）， 12.(2022·雅安)抛物线的函数表达式为y= 点P是抛物线对称轴上的一个动点 (x一2)一9，则下列结论中，正确的为() (1)求此抛物线的解析式： ①当x=2时，y取得最小值一9：②若点 (2)当PC+PB的值最小时，求点P的坐标 (3,y),(4,y2)在其图象上，则y2>y: ③将其函数图象向左平移3个单位长度， 再向上平移4个单位长度所得抛物线的函 数表达式为y=(x-5)2-5:④函数图象 与x轴有两个交点，且两交点的距离为6. A.②③④ B.①②④ C.①③ D.①②③④ 13.(2024·四川模拟)如图. 将函数y= x+3+1 的图象沿y轴向上平移得 到一个新函数的图象，其 0 中点A(一4，m),B(一1，n),平移后的对应 点分别为点A',B.若曲线段AB扫过的 面积为9（图中的阴影部分），则新图象对 应的函数解析式是 ( A.y=2x+3-2 &y=26+3)+7 38 第二十二章二次函数 ■核心素养练 (2)当A组材料的温度降至120℃时，B组 材料的温度是多少？ 17.(应用能力)某研究所将 y/C 某种材料加热到1000℃ 1000 时停止加热，并立即将材 料分为A,B两组，采用 4m 不同工艺做降温对比实验，设降温开始后 经过xmin时，A,B两组材料的温度分别 为y℃，ym℃，y,yg与x的函数关系式 分别为ya=r十6%=r一60)+m (部分图象如图，当x=40时，两组材料的 温度相同) (1)分别求出yA,ym关于x的函数关系式： (3)在0<x<40的什么时刻，两组材料温 差最大？最大是多少？ 39 ,,,5即此时不存在P点： (3)抛物线开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小 (4)由题意得2x-1=2x2-5,解得x1=一1，x:=2,故函 数y=2x2十n与y=2x一1图象还有其他交点，交点坐 标为（一1，一3）. 核心素养练 16.解：1：抛物线的解新式为y=日十1心抛物线的 顶点坐标是(0,1)，对称轴为y轴. (2)d1=d 运明：设P(m,gm+1）,则-(gm2+2）-需十 图3 如图3，当∠BAP=90时， 受+4d-m+(3--)-g+号+4…d P(x,0),A(1,-1),B(-3,-9) =d5.d>0,d>0,∴d1=d2. PA+AB=PB2. (3)作QS⊥，x轴，PR⊥T轴，取RS的中点N,连接 .(.x-1)2+12+(1+3)2+(-1+9)2=(x+3)2+9, MN,如图.同(2)可证得QS=QF-1,PR=PF-1.由 解得x=一1， 梯形中位线得2MN=QS+PR=QF一1十PF-1=QP .P点的坐标是(-1,0)， 一2，则2n=m一2，所以m=2n+2. 综上所述，点P的坐标为（一21,0）或（一1,0）. 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质 第1课时 二次函数y=a,x2+k的图象和性质 第2课时 二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 基础巩固练 基础巩固练 1.D2.D3.C4.C 1.D2.B3.D4.C5.B 5.9 6.h≤3 6.< 7.解：(1)：抛物线y=a(x一h),当x=2时，有最大值， 7.解：()：函教y=(m十3)z+3十5是关于x的二次 ∴.抛物线的解析式为y=a(x一2). 函数，.m2十4m一3=2，且m十3≠0，解得m1=一5，m2 ,抛物线过点(1，一3)，∴.-3=a(1一2)2， =1. a=-3. (2),函数图象的开口向上，∴m十3>0， ∴.此抛物线的解析式y=一3(x一2). ∴m>一3，∴.当m=1时，该函数图象的开口向上 (2):抛物线的对称轴为直线x=2,且抛物线开口向下， (3):当m十3<0时，抛物线有最高点，函数有最大值， ∴.当x<2时，y随x的增大而增大. .m<-3. ∴x的取值范围为x<2. 又，m=一5或1，.当m=一5时，该函数有最大值. (3)当x=0时，y=-3×(0-2)=-12, .抛物线y=一3(x-2)与y轴的交点坐标为(0， 8.A9.A -12). 10.解：能。设平移后对应的函数解析式为y= 8.y=2(.x+1) 吉+6：起(8，-3)代入=言+ 9.解：，将抛物线y=ax2向右平移后所得新抛物线的对 称轴是直线x=2, 得-3=号×3十，解得=一6 ∴.新抛物线的解析式为y=a(x一2) ,新抛物线经过点（一1，一3）， “北y=了的国象向下单移6个单位长度，得到新 -3=0×(-1-2,解得a=-子 函数的图象经过点(3，一3) 能力提升练 故a的为-号 11.D12.D13.A 能力提升练 14.③ 10.B1L.C12.D 15.解：(1)抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于M13.解：如图，过点B作BP⊥x轴于点P, (m,3), .将M(m,3)代入y=2x-1得3=2m-1,解得m=2. 将(2,3)代入y=2.x十n得3=8十n,解得n=一5. (2)根据(1)得出y=2x2-5, .抛物线y=2x2十n的顶点坐标为(0，一5)，对称轴为 y轴. 8 :抛物线y=2(x一2)的顶点为C, 10.y=2(x+1)-2 .C(2,0),对称轴为直线x=2. 11.解：(1)将(0,0)先向上平移6个单位，再向右平移3个 设B(m,n)(m>2),,.CP=m一2. 单位后对应点的坐标为(3,6)， :AB∥x轴，∴.AB=2m-4. m=6.故答案为：6. △ABC是等边三角形， (2)平移后的函数图象如图： ∴.BC=AB=2m-4,∠CBP=30°， CP=2BC=m-2,PB=5(m-2. 9 :点B(m,n)在抛物线上， .1=2(m-2)2. 6 又PB=n,∴√3(m-2)=2(m-2)2, 解得m=4牛图或m=2(不合题意，会去)， 2 AB=5.BP=号 0. 5m-专×x号-39 41 14.解：(1)设直线l的解析式为y=k.x十b. 把A(4,0).B(0,4)分别代入解析式得 4k十b=0·解 9876543 1b=4, 得你 ,直线l的解析式为y=一x十4. -54-3-2 1- 2.3.-4.5 (2)设M点的坐标为(m,n). 5w=374-1m=3,解得1=2。 把M(m,2)代入y=一x+4得2=-m+4,解得m=2, +5 .M点的坐标为(2,2) 联立方程组 :抛物线y=a(x一h)的顶点坐标为P(1,0),y=a =7 (x-1)2. x=5x2=-5, 把M(2,2)代入y=a(.x-1)2,得2=a(2-1),解得a 解得 5 =2,.抛物线的解析式为y=2(x一1). 核心素养练 15.解：(1)OA=AB=1,∠OAB=90°，∴.A(1,0),B(1, .y=- +5与y=的交点坐标为(5，号） 1).由平移的性质，得A(2,0),B(2,1).抛物线的顶 点坐标为A(1,0).∴.可设抛物线的解析式为y=a(r一 (-5,) 1)2.把B,(2,1)代入y=a(x-1),得a=1,.以A为 (3)点P(r1y),Q(x2,y)在新的函数图象上，且P, 顶点，且经过点B,的抛物线的解析式为y=(x一1). (2)设直线OB的解析式为y=kx(k≠0).把B(1,1)代 Q两点均在对称轴同一侧， 入，得k=1,.直线OB的解析式为y=x,由 当P,Q两点同在对称抽左侧时，若y1>y2·则x1<T: =35 当P,Q两，点同在对称轴右侧时，若y:>y2,则x>工 y=x· 2 =3+6 2 故答案为：<或> 或 (不符合 3-×5 3+￥5 能力提升练 y= 2 y= 2 12.B13.D 题意，含去)心点C的坐标为(35,3面 14.k=1或k<一8 22 .对于y 15.1或-2 =(x一1)，当x=0时，y=1,D(0,1),点C的坐标 16.解：(1)抛物线的顶点为A(1,4), 为32,32)点D的坐标为01》 ∴.设抛物线的解析式为y=a(x一1)2十4. ,B(0,3)在抛物线上，.3=a(0-1)2+4,解得a=-1. 第3课时 二次函数y=a(x一h)2+k .此抛物线的解析式为y=一(.x一1)十4. (2)在y=-(x-1)+4中，令y=0,得x1=3,x2= 的图象和性质 一1， 基础巩固练 .D(3,0),C(-1,0). 1.B2.D3.D4.B5.D 由抛物线的对称性，知点C与点D关于抛物线的对称 6.(0,2) 轴x=1对称. 7.-6 连接BD交直线x=1于点P,此时PC十PB的值最小. 8.B9.B 设直线BD的解析式为y=kx十b(k≠0)， 9 3=b,解得 =-1山y=一x+3. 6.B7.A 10=3k+b, b=3, 8.(3.5) 当x=1时y=2,∴P(1,2). 能力提升练 核心素养练 9.D10.D11.A12.C 17.解：(1)由函数图象可知，当x=0时， 13.-4<m<0 ym=1000,即1000=1×(0-60)2+m, 4 14.解：1)分别起点(1,0).(0，号)的坐标代入抛物线的 得m=10.∴a=子-60)+10 +b十c=0, b=-1, 解析式，得 解得 3 当=40时.=号×40-60y产+10=20， 3 C= C= 2· 2 .盛数y=kr+b的图象经过点(0,1000)，(40,200)， 所以抛物线的解析式为y=一 2-x+ ÷6100,n解得-20 (2)答案不唯一，例如： 140k+b=200. {b=1000. ∴y1=-20x+1000. 国为抛物线的解析式为y=一号一十号 (2)将y=120代入y=-20.x+1000,得120=-20.x 十1000，解得x=44. 一言+1D+2,所以将滨礼物线向右平移1个单位 将=44代入%=-60)产+10，得 长度，向下平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y =}×(4-60y+10=164. 2r. 15.解：(1)，对于x1=1,x2=2,有y=y:, 故当A组材料的温度降至120℃时， ∴.a+b+c=4a+2b+c, B组材料的温度是164℃. ∴.3a+b=0, (3)由题意可得，当0<x<40时， =-3. yA-y#=20x+1000-年（x-60)-100=- 4 +10x=- (r-20)+10,-<0当x=20时， :对称轴为x=一2a一立· 两组材料的温差最大，此时两组材料的温差为100℃. -g 22.1.4 二次函数y=a.x2+bx+c (2)0<x1<1,1<x2<2, <<< 2 的图象和性质 y1<y2a>0, 第1课时 二次函数y=a.x2十bx+c .(x1y1)离对称轴更近，x1<x,则(x1)与(xgy:) 的中点在对称轴的右侧， 的图象和性质 > 基础巩固练 1.C2.D3.C4.2 即心分 5.解：(1)y=- 2r+2x+1=-d-4r+40+3- 核心素养练 :16.解：(1)方法一：将点(1，m),(3,n)代入抛物线解析式， 名一2)十3该二次函数图象的开口向下，顶点 (m=atb+c n=9a+3b+c* 坐标为(2,3)，对称轴为直线x=2. m=: (2)令x=0,得y=1,该二次离数图象与y轴交于点 ∴.a十b十c=9a十3b十c,整理得，b=-4a, (0,1).该二次函数的图象如图. 4 “抛物我的对称轴为直线=一名=-=2 5 ∴.t=2. e=2. 3…行 3- 抛物线与y轴交点的坐标为(0,2). 方法二：当m=n时，点A(1,m),B(3,n)的纵坐标 4-0i545 相等， -2- -3- 由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为=十3， 2 4 .1=2 -5- ,c=2, 由图象可得，当x<2时，y随着x的增大而增大，当x> .抛物线与y轴交点的坐标为(0,2). 2时，y随着x的增大而减小 (2),m<<c, (3)由图象开口向下知函数有最大值，最大值是3. ∴.a+b+e<9a+3b+e<c, 10