21.3 实际问题与一元二次方程-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学九年级全一册 21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题和数字问题 基础现固练夺失头础流调新如 知识点2循环问题 知识点1传播问题 4.(2022·黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰 1.(2023·衢州)某人患了流感，经过两轮传染 壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单 后共有36人患了流感.设每一轮传染中平 循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍 均每人传染了x人，则可得到方程( 参加比赛？ () A.x+(1+x)=36 A.8 B.10 B.2(1+x)=36 C.7 D.9 C.1+x+x(1+x)=36 5.(2024·四川宜宾期中)“国庆节”期间，某微 D.1+x+x2=36 2.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出 信群规定，群内的每个人都要发一次红包， 一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n 并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢 个人，收到链接的人也需把链接发给相同数 自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所 量的新人，经过两轮传播后，共有91人参 有人共收到156个红包，则该群一共有 与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 人 知识点3数字问题 3.(2024·湖北孝感模拟)某种电脑病毒传播 非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感 6.若两个连续整数的乘积为12，则这两个整 染后就会有81台电脑被感染.请你用学过 数中较小的一个是 ( 的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感 A.3 B.-4 染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮 C.-3或4 D.-4或3 感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 7.一个两位数等于其各数位上数字的积的3 倍，且个位上数字比十位上数字大2，则这 个两位数是 ( A.24 B.35 C.42 D.53 8.(2024·福建龙岩月考)解读诗词（通过列方 程算出周瑜去世时的年龄)： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之 年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位 三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少 年华属周瑜？ 16 第二十一章 一元二次方程 诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时： 12.已知一个两位数，个位上的数字比十位数 的年龄是两位数，十位数字比个位数字小 上的数字少4，这两个数十位与个位交换 三，个位数字的平方等于他去世时的年龄. 位置后新两位数与原两位数的积为1612， 求这个两位数 能力提进练文破总力战升素乔 13.某象棋比赛，每名选手都要与其他选手比 9.为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书， 赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和 决定用微博转发的方式传播.他设计了如下 棋各记1分.有四位观众统计了比赛中全 的传播规则：将倡议书发表在自己的微博 部选手得分总数，分别是2017,2070， 上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之 2018,2078,经核实，只有一位观众统计准 后，又邀请n个互不相同的好友转发，以此 确，则这次比赛的选手共有多少名？ 类推.已知经过两轮转发后，共有111个人 参与了宣传活动，则n的值为 ( A.9 B.10 C.11 D.12 10.一个直角三角形的三边长是三个连续整数， 则它的周长为 ,面积为 11.(2024·江西南昌模拟)如图是某年某月的 日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈 出3×3个位置相邻的9个数（如6,7,8， 13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中， ■核心素养练 最大数与最小数的积为192，这9个数的 和为 14.(情境型)随着蓝天、碧水、净土保卫战的顺 利推进，出现了“房前屋后皆绿水，喜鹊燕 大 1 2 3 4 子日日来”的美好画面.一日，小明和小刚 法军节 十五 +六 十七 点 10 11 在水边玩，发现两群鸭子在水里嬉戏，他们 月 国 14162 16 17 18 数了一下，出了下面的数学题：两群鸭子只 19柜868 盆 服 数组成一个两位的偶数，十位数比个位数 27 28 29 30 31 字小3，个位数字的平方正好等于这个两位 + 十三 +四 中另节 数，则这两群鸭子的只数分别为 数学九年级全一册 第2课时 变化率问题和利润问题 儿基础现固练务天总融现m新 (2)若2022年保持从2019年到2021年的 年平均增长率不变，求2022年该县将投入 知识点1平均变化率问题 “扶贫工程”多少万元？ 1.(2023·广西)据国家统计局发布的《2022 年国民经济和社会发展统计公报》显示， 2020年和2022年全国居民人均可支配收 入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年 至2022年全国居民人均可支配收人的年平 均增长率为x,依题意可列方程为( A.3.2(1-x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.7 C.3.7(1-x)2=3.2 D.3.7(1+x)=3.2 2.(2023·阜新)近年来，由于新能源汽车的崛 起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下 知识点2利润问题 滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃 5.某商店出售一种商品，若每件10元，则每天 油汽车今年3月份售价为23万元，5月份 可销售50件，售价每降低1元，可多卖6件， 售价为16万元.设该款汽车这两月售价 要使该商品每天的销售额（总售价）为504 的月均下降率是x,则所列方程正确的是 元，设每件降低x元，则可列方程为() A.(50+x)(10-x)=504 B.50(10-x)=504 A.16(1+x)=23 C.(10-x)(50+6.x)=504 B.23(1-x)=16 D.(10-6.x)(50+x)=504 C.23-23(1-x)2=16 6.某商品现在的售价为每件60元，每星期可 D.23(1-2x)=16 卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每 3.(2023·重庆)某新建工业园区今年六月份 星期可多卖出20件.已知商品的进价为每 提供就业岗位1501个，并按计划逐月增 件40元，在顾客获得实惠的前提下，商家还 长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、 想获得6080元利润，应将每件的售价定为 八两个月提供就业岗位数量的月平均增长 () A.56元 B.57元 率为x,根据题意，可列方程为 C.59元 D.57元或59元 7.(2024·宁夏银川期中)银川市某快递公司， 4.2019年某县投入100万元用于农村“扶贫 今年3月份与5月份完成投递的快递总件 工程”，计划以后每年以相同的增长率投入， 数分别为10万件和12.1万件 2021年该县投人“扶贫工程”144万元. (1)求该快递公司今年3月份与5月份投递 (1)求该县投人“扶贫工程”的年平均增长率： 快递总件数的月平均增长率； 8 第二十一章一元二次方程 (2)如果继续保持上面的增长率，平均每人：9.小程经营的是一家服装店，店里有一款毛衣 每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司 和一款牛仔裤销量非常可观，自开店以来， 现有的21名快递投递业务员能否完成今年 平均每天可卖出毛衣10件，牛仔裤20件. 6月份的快递投递任务？如果不能，请问至 已知买1件毛衣和3条牛仔裤与买2件毛衣 少还需要增加几名业务员？ 和1条牛仔裤需要的钱一样多，都为1000元 (1)求买一件毛衣和一条牛仔裤各需要多 少元？ (2)在双十一前夕，小程经营的网店提前对 该毛衣和牛仔裤开启了促销活动，活动当 天，毛衣每件售价降低了α%，销售量在原 来的基础上上涨2a%,牛仔裤每件售价也 降低了α%，但销售量和原来一样，当天，这 两件商品总的销售额为7680元，求α的值. 能力提进练义娘能力装升素茶 8.(2022·眉山)建设美丽城市，改造老旧小 区.某市2019年投人资金1000万元，2021 年投人资金1440万元，现假定每年投入资 金的增长率相同。 (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均 增长率： (2)2021年老旧小区改造的平均费用为每 个80万元.2022年为提高老旧小区品质， 每个小区改造费用增加15%.如果投入资 金年增长率保持不变，求该市在2022年最 多可以改造多少个老旧小区？ 19 数学九年级全一册 10.我市南湖生态城某楼盘准备以每平方米 ■核心素养练 4800元的均价对外销售，由于国务院有关 11.(图表信息)(2022·毕节)2022北京冬奥 房地产的新政策出台后，购房者持币观望， 会期间，某网店直接从工厂购进A,B两款 房地产开发商为了加快资金周转，对价格 冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表： 经过两次下调后，决定以每平方米3888 (注：利润=销售价一进货价) 元的均价开盘销售 类别 A款钥匙扣B款钥匙扣 (1)求平均每次下调的百分率： (2)王先生准备以开盘价均价购买一套 进货价（元/件） 30 25 100平方米的住房，开发商给予以下两种 销售价（元/件） 45 37 优惠方案： (1)网店第一次用850元购进A,B两款钥匙 ①打9.5折销售： 扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数： ②不打折，一次性送装修费每平方米188元 (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该 试问哪种方案更优惠？ 网店计划再次购进A,B两款冰墩墩钥匙 扣共80件（进货价和销售价都不变），且进 货总价不高于2200元.应如何设计进货 方案，才能获得最大销售利润，最大销售利 润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款 钥匙扣调价销售，如果按照原价销售，平均 每天可售4件.经调查发现，每降价1元， 平均每天可多售2件，将销售价定为每件 多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销 售利润为90元？ 20 91重。，，能。n0 第二十一章一元二次方程 第3课时 几何图形面积问题 儿基础现固练春天落法乳自新 4.(2023·黑龙江)如 图，在长为100m、宽 知识点1规则图形面积问题 为50m的矩形空地 1.(2023·哈尔滨)为了改善居民生活环境，云 上修筑四条宽度相等 宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地 的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花 的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩 圃的面积是3600m,则小路的宽是() 形空地的长为x米，根据题意，所列方程正 A.5 m B.70m 确的是 ( C.5m或70m D.10m A.x(.x-6)=720 B.x(x+6)=720 5.(2024·新疆吐鲁 C.x(x-6)=360 D.x(x+6)=360 番月考)如图，在长 2.(2023·淮安)为了便于劳动课程的开展，学 为62米、宽为42米 校打算建一个矩形生态园ABCD(如图)，生 的矩形草地上修同 一60米 态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 样宽的路，余下部分种植草坪.要使草坪的面 的篱笆围成.生态同的面积能否为40m?如 积为2400平方米，设道路的宽为x米，则可 果能，请求出AB的长：如果不能，请说明理由 列方程为 iK444444444448444444844446 6.(2022·泰州)如图， 50m 生态园 在长为50m、宽为 38m的矩形地面内38m 的四周修筑同样宽 的道路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积 为1260m2,道路的宽应为多少？ 知识点2边框与甬道的面积问题 3.在一幅长80cm、宽50cm 的矩形风景画的四周镶一 条金色的纸边，制成一幅矩 形挂图.如图，如果要使整个挂图的面积是 5400cm,设金色纸边的宽为xcm,那么满 足条件的方程是 门能力提升练突酸能力设并素养 ( A.x2+130.x-1400=0 7.(2022·青海)如图， B.x2+65x-350=0 小明同学用一张长 C.x2-130.x-1400=0 11cm、宽7cm的矩 D.x2-65.x-350=0 形纸板制作一个底 数学九年级全一册 面积为21cm的无盖长方体纸盒，他将纸： 10.如图，某市近郊有 板的四个角各剪去一个同样大小的正方形， 块长为60m,宽 将四周向上折叠即可（损耗不计）.设剪去的 为50m的矩形荒 -4 m- m 正方形边长为.xcm,则可列出关于x的方 地，地方政府准备 60m 程为 在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部 8.(2024·甘肃白银模拟)现 分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个 要在一个长为40m,宽为 矩形（其中三个矩形的一边长均为am)区 26m的矩形花园中修建等 域将铺设塑胶地面作为运动场地. 宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示， (1)设通道的宽度为xm,则a= 要使种植花草的面积为864m2,那么小道 (用含x的代数式表示) 的宽度应是 m. (2)若塑胶运动场地总的占地面积为 9.(2024·辽宁鞍山月考)如图，利用一面墙 2430m2,请问通道的宽度为多少. (墙长25米)，用总长度49米的栅栏（图中实 线部分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间共 留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米 (1)若矩形围栏ABCD面积为210平方米， 求栅栏BC的长： 圆核心素养练 (2)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到 11.(古文化)你知道吗？对于一元二次方程， 240平方米？若有可能，求出相应x的值， 我国古代数学家还研究过其几何解法呢！ 若不可能，请说明理由。 以方程x2+5x-14=0即x(x+5)=14 为例加以说明.数学家赵爽（公元3一4世 纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的 方法是构造图（如下面左图）中大正方形的 面积是(x十x十5)2，其中它又等于四个矩 形的面积加上中间小正方形的面积，即4× 14+52,据此易得x-2.那么在下面右边 三个构造图（矩形的顶点均落在边长为1 的小正方形网格格点上)中，能够说明方程 x2一4x一12=0的正确构造图是 (只填序号) +33.解：(1)：(2x+1)2-(2x+1)=0. 12.解：令个位上的数字为y,十位上的数字为x,则数为 .(2x+1)(2x+1-1)=0, 10x十y,且x一4=y,交换位置后，教为10y十r,则(10x 即2x(2x+1)=0. +y)(10y+x)=1612,即(11x-4)(11x-40)=1612, 则2x=0或2x+1=0, 解得x=6, 解得-0，=一之 10.x+y=60+(6-4)=62 .这个两位数是62. (2)方程移项得：x2-2x=1, 13.解：设这次比赛共有x名选手， 配方得：x2-2x十1=2，即(x-1)=2. 由题意可知，无论胜负，每局两名选手得分总和均为2 开方得：.x-1=土2， 分以名选手比寒的总局数为2x(x一1) 解得：x1=1十2,2=1一√2 所以得分总数为x(x一1). 4.1 5.解：(1)设y=x2+x,原方程可变为y一5y十4=0，则(y-4) 因为x是正整数，且大于1，所以x,x一1是两个连续的 正整数， (y-1)=0, 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是0,2， ∴y-4=0或y-1=0,y1=42=1. 6,故得分总数只能是2070， 当y=4时2+x=4,解得x=-1±7 2 则2xr-1)×2=2070. 当y=1时2十x=1,解得x=一1生5】 解得x1=46,x2=-45(舍去). 2 答：这次比赛的逃手共有46名」 “原方程的解为西=二1十厘 2 =1-7 核心素养练 2 14.3,6 2 2,-15 -1+5 2 第2课时变化率问题和利润问题 (2)设y=x,原方程可变为y-3y-4=0, 基础巩固练 解得y=4,=一1. 1.B2.B x≥0，x=4, 3.1501(1+x)2=1815 解得x=2,x。=一2. 4.解：(1)设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x,依 6.解：(1)当x-2≥0，即x≥2时. 题意，得100(1十x)2=144, 原方程可化为x2-2(x一2)一4=0， 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，会去）. 解得1=0,2=2.x>2.x=2. 答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%， (2)当x-2<0,即x<2时， (2)144×(1+20%)=144×1.2=172.8(万元). 原方程可化为x-2(2-x)一4=0， 答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元. 解得x1=2,x=一4：x<2.∴x=一4. 5.C6.A 综上所述，原方程的解是x1=2,x=一4. 7.解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x, 根据题意，得10(1十x)2=12.1,解得x1=0.1, 21.3实际问题与一元二次方程 x1=一2.1（不合题意，舍去）. 答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%. 第1课时传播问题和数字问题 (2)今年6月份的快递投递任务是12.1×(1十10%)= 基础巩固练 13.31(万件). 1.C ,平均每人每月最多可投递0.6万件， 2.9 ∴.21名快递投递员能完成的快递投递任务是0.6×21 3.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑.依题意，得 12.6<13.31, 1+x+(1+x)x=81 ∴.该公司现有的21名快道授递业务员不能完成今年6 整理，得(1十x)=81 月份的快递投递任务，设还需要增加m名业务员，0.6× .1+x=9或1十x=-9, 71 (m+210≥13.31，解得m≥6 解得x=8,=一10（不符合题意，舍去）. ,m的最小整数是2， .(1+x)2+x(1+x)=(1+x)=(1+8)3=729>700. 则至少还需要增加2名业务员. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后， 能力提升练 被感染的电脑会超过700台. 8.解：(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率 4.B 为x, 5.13 依题意得1000(1+x)2=1440, 6.D7.A 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，会去. 8.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为 答：该市改造老旧小区授入资金的年平均增长率 x-3,依题意得：10(x一3)十x=x2,解得x1=5,x=6, 为20%. 当x=5时，25<30，（不合题意，舍去）， (2)设孩市在2022年可以改造y个老旧小区， 当x=6时，36>30（符合题意）， 依题意得80×(1+15%)y≤1440×(1+20%)， 答：周瑜去世时的年龄为36岁. 能力提升练 部释铝 9.B 又y为整教， 10.126 ∴y的最大值为18. 11.144 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区. 9.解：(1)设买一件毛衣需要x元，买一条牛仔裤需要y:6.解：设路宽应为xm. 无，由题多释时二10网解释 根据等量关系列方程得，(50一2x)(38-2x)=1260, 1y=200. 解得，x1=4,x:=40(不合题意，舍去)： 答：买一件毛衣需要400元，买一条牛仔裤需要200元. 所以x=4,答：道路的宽应为4m (2)由题意得400(1-a%)×10(1+2a%)+ 能力提升练 200(1-a%)×20=7680,解得a1=-20(舍去)，4 7.(11-2x)(7-2x)=21 =20. 8.2 10.解：(1)设平均每次下调的百分率为x,则4800(1一x)产 9.解：(1)BC=x米，.AB=(49十1十1-3x)= =3888, (51-3x)米. 解得x1=0.1=10%,r2=1.9(合去). 依题意得x(51-3x)=210,整理得x-17x+70=0,解 答：平均每次下调的百分率为10%， 得x1=7,x=10. (2)方案①可优悬3888×100×(1一0.95)=19440 当x=7时，51一3.x=30>25,不合题意，舍去： (元)： 当xr=10时，51一3r=21<25,符合题意. 方案②可优惠188×100=18800（元）. 答：栅栏BC的长为10来 因为19440>18800，故选择方案①更优患. (2)矩形阁栏ABCD的面积不可能达到240平方米，理 核心素养练 由如下： 11.解：(1)设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件， 依题意得x(51一3x)=240, 像超老拼：52-8动 整理得x2-17x十80=0， ,△=(-17)-4×1×80=-31<0， 年释：8 .原方程没有实数根， ∴.矩形国栏ABCD的面机不可能达到240平方米 答：购进A款钥匙扣20件，B款钥匙扣10件. (2)设购进m件A款钥匙扣，则购进(80一m)件B款钥 10,解：1)60-3z 匙扣， 依题意得：30m十25(80一m)≤≤2200， (2)根据题意，得(50-2x)(60-3x)-工·60,3r 2 解得：m≤40. 2430,整理，得x2-40x+76=0,解得x1=2,x=38 设再次驹进的A,B两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得 (不符合题意，舍去).所以通道的宽度为2m 的总利润为e元，则=(45一30)m十(37一25)(80一 核心素养练 m)=3m十960， 11.② .3>0, 心随m的增大而增大， 章末整合提升 ∴.当m=40时，取得最大值，最大值=3×40十960= 易错集训 1080,此时80-m=80-40=40. 1.-2 答：当购进40件A款钥匙扣，40件B款钥匙扣时，才能！ 2.A3.D 获得最大销售利润，最大销售利润是1080元. (3)设B款钥匙扣的售价定为α元，则每件的销售利润 4>-吉 为(a-25)元·平均每天可售出4十2(37-a)=(78 !5.解：③步出错了.正确步骤： 2a)件， (x2+y2-3)2=16, 依题意得：(a一25)(78-2a)=90, .x2+y2-3=士4 整理得：a-64a十1020=0， ,x2+y2≥0， 解得：a1=30,a2=34. ∴x2+y2=7 答：将销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥 6,解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第 匙扣平均每天销售利润为90元. 二步开始出现错误 第3课时几何图形面积问题 (2)x2-2x=2,第一步 x2-2x+1=2+1,第二步 基础巩固练 (.x-1)2=3,第三步 1.A x一1=士5，第四步 2.解：生态园的面积能为40m,理由如下： ,四边形ABCD是矩形， x1=1十3，x=1一3.第五步 ..AB=CD,AD=BC. 7.解：(1)小明解答过程是从第一步开始出错的，其错误原 设AB的长度为xm,则BC的长度为18学m 因是原方程没有化成一般形式： (2)x2-5.x=1, 由题意得r.18,1=40, 即x2-5x-1=0, 2 a=1,b=-5,e=-1, 整理得x2-18.x十80=0， ∴.b-4ae=(-5)2-4×1×(-1)=29. 解得x=10,2=8, .生态四的面积能为40m2,AB的长为10m或8m x=5±￥29 2 3.B4.A 5.(62-x)(42-x)=2400 ·出，=5+2 2 .,-5-29 2 5