21.2.3 因式分解法-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（人教版）

第二十一章一元二次方程 21.2.3 因式分解法 儿基础现固练春关落法乳自新 (3)(x-1)(x+3)=12. 知识点1用因式分解法解一元二次方程 1.(2022·天津)方程x2十4x十3=0的两个根 为 ( ) A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 2.用因式分解法解方程，下列过程正确的是 () A.(2.x-2)(3.x-4)=0化为2.x-2=0或 3.x-4=0 B.(x+3)(.x-1)=1化为x十3=0或x-1 知识点2用适当方法解一元二次方程 =1 8.解方程2(5x-1)2=3(5.x-1)的最适当的 C.(x-2)(x-3)=2X3化为x-2=2或 方法是 ( x-3=3 A.直接开平方法 B.配方法 D.x(x十2)=0化为x+2=0 C.公式法 D.因式分解法 3.(2024·上海浦东模拟)方程x2=4x的解 9.下列方程，不适合用因式分解法求解的是 为 ) A.土4 B.0或4 A.x2+5x=0 B.4x2=√2a C.4 D.±4或0 C.x2+6.x+10=0 D.x2+(1+2).x=0 4.(2024·河南期中)若直角三角形的两边长 10.解方程： 分别是方程x2-8.x+15=0的两根，则第三 (1)(2022·凉山州).x2-2.x-3=0: 边长为 ( (2)x(x-2)=x-2. A.3或5 B.4或5 C.5或√/34 D.4或√34 5.(2022·梧州)一元二次方程(x一2)(x十7) =0的根是 6.用因式分解法解一元二次方程(3.x一4)2 25=0时，要转化成两个一元一次方程求 解，其中的一个方程是3.x一4十5=0，则另 一个方程是 7.解方程： (1)2z2-5.x-7=0: (2)x2-(2x+1)2=0: 9 数学九年级全一册 能力提升练笑破能力提升素泰 18.已知关于x的一元二次方程a.x2十bx十c =0没有实数根，甲由于看错了二次项系 11.设m是方程x2+5x=0的一个较大的根， 数，误求得两根为1和4：乙由于看错了某 n是方程x2一3x+2=0的一个较小的根， 项系数的符号，误求得两根为一2和6， 则m十n的值是 A.-4 B.-3 则2的值为 C.1 D.2 19.(2024·十堰模拟)已知实数a,b,c,d满足 12.(2024·开封模拟)在解方程(x十2)(x 3a 2)=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令 ad一bc,若 =8,则a= d 22a x+2=1,x-2=5,得方程的根x1=一1， x=7:乙同学说：应把方程右边化为0，得 ■核心素养练 x2-9=0,再分解因式，即(x+3)(x-3) =0,得方程的根x=一3，x=3.对于甲、乙 20.(新题型·知识迁移能力)将多项式乘法： (.x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到 两名同学的说法，下列判断正确的是( 左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因 A.甲错误，乙正确B.甲正确，乙错误 C.甲、乙都正确 式分解的公式：x2十(a十b).x十ab=(x+a) D.甲、乙都错误 13.(2024·上海宝山区月考)设(x十y)(x十y (x+b). 【示例】分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3) 十2)一15=0，则x+y的值为 A.-5 B.3 x+2X3=(x+2)(x+3). (1)【尝试】分解因式：x+6x+8=(x+ C.5或-3 D.-5或3 )×(.x+ 14.(2024·江苏泰州期中)根据图中的程序， 当输人一元二次方程x2一2x=0的根x (2)【应用】请用上述方法解方程：x2一3.x 时，输出结果y 4=0. =4红1) 输人 翰山y y=-x+4>1》 15.若关于x的方程x2+2x一3=0与 2 +3 有一个解相同，则a的值为 r-a 16.(新定义)[a,b]为一次函数y=a.x十b(a≠ 0a,b为实数)的“关联数”.若“关联数” [1,m一2]的一次函数是正比例函数，则关 于x的方程x2十3.x十m=0的解为 : 17.(2024·上海质检)已知正比例函数y 3x图象上有一个点M,点M的横坐标 是方程x2+6x一91=0的根，则点M的纵 坐标为17.解：给已知等式两边同时加上2， 17.解：(1)证明：a=1,b=-m,c=-2m2,∴.b2-4ac= 得r++2+2+2)=2, (-m)2-4×1×(一2m2)=9m2.:不论m为何值，m ≥0.即9m2≥0，.b-4ae≥0..不论m为何值，该方 即+)+2(+)=2 程总有两个实数根。 (2),x=1是x2-m.x一2n2=0的根， 设+=，则(+)广+2(+)-2可化为+ .1-m-2m2=0.即2m2+m=1,∴.4m2+2m+5= 2(2m2+m)+5=2×1+5=7. 2x=2. 核心素养练 配方，得x2+2xr十1=2十1， .(x+1)2=3. 18.解：1)∠ACB=90,BC=BD=受AC=b,AB= 直接开平方，得x十1=士3， 解得x1=5-1.x2=-3-1. +,AD=AB-BD-1+号-号 故t+1=3-1成1+=-V3-1. J4b Fa-a 2 1<0∴<0+<0， (2)用求根公式求得 1+=3-1(舍去). 4=二62a4,=0+a9 2 2 t 正确性：AD的长就是方程的正根， +=-5-1 遗憾之处：图解法不能求出一元二次方程的负根。 核心素养练 专题一 一元二次方程根的判别式 18.解：(1)2x2-4x+1=2(x2-2x+1-1)+1 =2(.x-1)2-1. 1.A2.A 3.8或9 :(x-1)≥0， ∴.2x-4x+1=2(x-1)2-1≥-1， 4.解：当m=0时，方程化为一x十3=0.解得x=3: 当m≠0时，4=(2m-1)2-4n(m+3)=-16m+1>0, 原式有最小值，是一1」 .1 (2)①花画的面积：x(100一2x)=(一2x2+100x)平 解得m<6' 方米. ②-2x2+100.x=-2(x-25)2+1250. 方程的根为x=一2m+1+16+百 2m :当x=25时，100-2.x=50<100, .当x=25时，花圆的面积最大，为1250平方米. 3=-2m+1-y16m+口】 2m 21.2.2 公式法 △=(2m-1)2-4m(m+3)=-16m+1=0,解得m 基础巩固练 6,方程的根为1==7：4=(2m-1)2-4m(m+3) 1.C2.C3.A 4.1 =-16m十1<0，解得m>品方程凌有实数根，能上所 5.D 6.0 运，当m=0时，=3：当m<6且m≠0时， 7.D 8.二1+18或1，⑧ =一2m+1+16m十I 2m 2 2 9.解：(1)a=1,b=-23,c=3, -二2m+1-6m百：当m=。时=4=1： 2m △=b-4ac=(-23)2-4×1×3=0, 方程有两个相等的实数根， 当m>后时，方程没有实数根。 x1=x2=2a b_-(-23) =5. 5.D6.a>-4 2×1 7.解：(1)：关于x的一元二次方程kx2一(2k+4)x十k-6 (2)原方程可化为3x2-5.x-2=0. =0有两个不相等的实数根， a=3,b=-5.c=-2, ∴.△=[-(2k+4)]-4k(k-6)>0,且k≠0， △=b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, 方程有两个不相等的实数根， 解得：6>-号且人≠0： (2)当k=1时， r= -h±VB-4ac=-(-5)±49_5±7 原方程为x2-(2×1+4)x十1一6=0， 2a 2×3 6 即x1=2,x2= 1 即x2-6.x-5=0, 31 移项得：x-6.x=5, (3)原方程可化为x2+2.x十2=0. 配方得：x2-6x十9=5十9， a=1.b=2,c=2, 即(.x-3)2=14. △=6-4ac=22-4×1×2=-4<0, 直接开平方得：x一3=士14， 原方程无实敏根 .x1=3+14,x2=3-14. 能力提升练 10.A11.A12.A13.A 21.2.3 因式分解法 14.a>9 基础巩固练 153+y四2y四 1.D2.A3.D4.D 5.x=2,x2=-7 16.2 6.3x-4-5=0 2 7.解：(1)2.x-5x-7=0,因式分解，得(2x-7)(x+1)= 7 :18.解：1)证明：4=[-(2k+1D]-4×1×(之-2) 0,于是得2x-7=0或x十1=0，解得x1=之x=-1 =4k2+4k+1-2k2+8 (2)x2-(2x+1)=0,根据平方差公式得[x-(2x十1)] =2(k+1)2+7>0. [x+(2x+1)]=0,即(-x-1)(3x+1)=0,-x-1=0 ,无论k为何实数，2(k十1)≥0， 或3r十1=0，解得=-1=-号 .2(k+1)2+7>0, ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根. (3)(x-1)(x+3)=12,整理，得x+2x-15=0,因式分 解，得(x+5)(x-3)=0,r十5=0或x一3=0，解得r1= (2)由根与系教的关系得x十=2张十1，x=号 -5,x:=3. -2. 8.D9.C x1-x2=3,.(x1-x2)2=9, 10.解：(1)原方程可以变形为(x-3)(x十1)=0， ∴.(x1十x2)2-4x1x2=9, x一3=0或x+1=0, x1=3,=-1. (2+12-4×(2-2）=9. (2)x(x-2)-(x-2)=0. 化简得2十2k=0,解得k=0或k=一2 (x-2)(x-1)=0, 核心素养练 ∴x-2=0或x-1=0, 解得x1=2,:=1. 19.解：(1)令y=x2,则有y2-5y+6=0, 能力提升练 .(y-2)(y-3)=0, 11.C12.A13.D y1=2,y=3, 14.-4或2 x2=2或3， 15.-1 ∴x1=2,x=-2,xg=3,x,=-3. 16.x1=-1,x2=-2 (2)",a≠b. 1.5或-得 a≠6或a=b, ①当a2≠b时，令a=m,b=n, 18.3 .m≠n,则2m2-7m十1=0,2n2-7n十1=0， 19.4或-1 m,n是方程2x2一7x十1=0的两个不相等的实 核心素养练 数根， 20.解：(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(.x+2)(x+ 7 4).故答案为：2：4. m十n=2 (2)x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)X1,x 1 3.x-4=0即为(x-4)(x十1)=0，.x+1=0或x-4 mn =0,解得x1=一1，x2=4. 光时。+6=+=(m十m)产-2mm=想 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 基础巩固练 ②当a=6(a=-b0时，42=6=7±y五，此时a十b 1.A2.C3.A 4.3 =2a=2(a2)1=45±74 4 5.6 综上所迷，4+6=5我45土7v 4 4 7.C8.B9.B 3)令=a,n=b,则a十a-7=0,b+6-7=0g 10.解：(1)4=b-4ae=2-4×1×(3-k)=-8+4k, :有两个不相等的实数， n>0,心≠一，即a≠b .-8十4k>0, 解得：k>2: .a,b是方程x十x一7=0的两个不相等的实数根， (2):方程的两个根为a,3, , ∴3=￡=3-k, a .k2=3-k十3k, 故十n=2+6=(a+b)2ab=15 解得：k1=3,k2=一1（舍去）. 专题二 一元二次方程的解法 能力提升练 11.A12.B13.A14.D15.D 1.B 16.2 2.解：(1)a=2,b=-4,c=-5, 17.解：(1)根据题意得△=(2m)2一4(m2+m)≥0，解得m ∴.4=(-4)-4×2×(-5)=56>0， 0. 故m的取值范围是川≤0 x=4±2v亚_2±￥1 4 2 (2)根据题意得x1十x:=一2m,x1x2=m十m. x+x=(x1+x2)-2.x1x1=12, 2 .(-2m)2-2(m2+m)=12, (2)(x一3)-4x(3-x)=0,(x-3)2十4x(x-3)=0,分解因 即m2-m一6=0， 式，得(x-3)(x-3+4x)=0,可得x-3=0或5.x-3=0,解 解得m1=一2m:=3(含去)， 故m的值为一2. 得五=3，=5 3 3