第四章 一次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第四章 一次函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①；②；③；④的图像，说法不正确的是（    ） A．②和③的图像相互平行 B．②的图像可由③的图像平移得到 C．①和④的图像关于y轴对称 D．③和④的图像关于x轴对称 3．下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 4．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，…和点，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，…都是等腰直角三角形，如果点那么点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 7．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 8．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为 ． 10．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为，直线 与x轴， y轴分别交于点A，B，点M 是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 13．小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，己知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始打折卖出，其中，购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①乙商店给出的折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店更合算；③购买30本练习本时，甲商店更合算；④在甲商店购买20本练习本需花费17元，正确的是 ．（填序号即可）    三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果∶线段的长________，点C的坐标__________； (2)求的面积； (3)点P在直线上，使得，求点P的坐标． 15．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小王骑自行车的速度为______； (2)求的函数表达式； (3)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的取值范围． 16．小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，小明分别画出了函数，的图象（网格中每个小方格边长为1）．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象．    【深入探究】 （2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______． （3）归纳：函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是_____． 【实践运用】 （4）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为4，求k的值． 17．如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 18．如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求△AOB的面积； (2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ． 20．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，射线于点A，若点P是射线上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P，Q，A为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 22．如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 23．如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图①，四边形中，，． (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，求t的值． 25．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 26．在平面直角坐标系中，对于点A和点B，给出如下定义：若，则称B为A的雅值点，例如：点的雅值点为点． (1)点的雅值点坐标是 ；若点A的雅值点为，则点A的坐标是 ； (2)如图1，点C、点D是y轴上的动点，若点D的雅值点E在直线上，的面积为，求点C的坐标； (3)点M是直线上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得是等腰直角三角形且，请求出满足条件的P点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知两直线与相交于第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出与x，y轴的交点坐标，代入即可． 【详解】解：对于， 当时，， 当时，， ∴直线与x，y轴的交点坐标分别为，； ∵两直线与相交于第四象限， ∴把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键． 2．在同一平面直角坐标系中，关于下列函数：①；②；③；④的图像，说法不正确的是（    ） A．②和③的图像相互平行 B．②的图像可由③的图像平移得到 C．①和④的图像关于y轴对称 D．③和④的图像关于x轴对称 【答案】C 【分析】一次函数的比例系数相等则两直线平行，据此逐一分析即可； 【详解】①由得出；②由得出； 由题意得：②；③比例系数相等； ③；④的比例系数互为相反数， 即②和③的图象相互平行，且②的图像可由③的图像平移得到，③和④的图象关于x轴对称， 故A、B、D正确，C错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，当一次函数的比例系数相等时，其图象平行；比例系数互为相反数，则其图象关于x轴对称． 3．下图中表示一次函数与正比例函数 (m，n是常数，且)图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据判定正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点，判定B，D错误；根据一次函数，得到与y轴交点为，与x轴的交点为，结合，判断即交点位于x轴的正半轴上，判断A错误，C正确，解答即可． 本题考查了函数图象的分布，正确理解图象分布与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象分布在二四象限，且经过原点， ∴B，D错误； ∵一次函数， ∴图象与y轴交点为，与x轴的交点为， ∵， ∴即交点位于x轴的正半轴上， ∴A错误，C正确． 故选C． 4．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 设向右平移n个单位长度得到， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴，∴， ∴向右平移个单位长度得到，∴点， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键． 5．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标． 【详解】∵点P为直线上一点， ∴点P向左移动2个单位后的解析式为， ∵绕原点O顺时针旋转后解析式为 ∴，可得， ∴点Q的横坐标为． 故选：B 【点睛】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，…和点，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，…都是等腰直角三角形，如果点那么点的纵坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列、、纵坐标得出一般规律再按照规律求出的纵坐标即可，根据题意得出规律是解题的关键． 【详解】解：解：直线与轴交于点， ，解得， 直线解析式为， 如图，作轴，轴，轴， ， ；的纵坐标为1， ，都是等腰直角三角形， 设， ，将坐标代入直线解析式得：，解得， ，的纵坐标为， 设，则，代入直线解析式，解得， ， 的纵坐标为：， 的纵坐标为：． 故选：C． 7．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 【答案】D 【分析】根据函数图像待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图知，铁块下降到5cm时，刚好接触水面， ∴A选项错误； 当时，设所在直线的关系式为：， 把，代入得， 解得， ∴F与h的关系式为：， ∴B选项错误； 当时，， 由图知， ∵， ∴， ∴C选项错误； 当时，， 解得， 此时铁块底面距离水底， ∴D选项正确； 故选：D． 8．定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，，解得， ∴，故正确； 当，即时， ， 当时，， ∵，∴随的增大而增大， 又∵，∴点到到轴的距离大于； 当，即时，， 当时，， ∵，∴随的增大而减小， 又∵，∴点到到轴的距离大于； ∴点到到轴的距离大于，故正确； ∴说法中正确的个数为个，选：． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．若直线向上平移3个单位长度后经过点，则值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，将代入即可． 【详解】解：依题意可得，平移后函数解析式为， 将代入， 即， 解得． 故答案为：． 10．已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．先求出点P的坐标，再求出点Q的坐标，进而求出直线解析式，设，然后根据的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴交点问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握求一次函数与坐标轴交点坐标的方法，以及应用三角形的面积公式构造方程． 连接，过点D作于点H，分别求出点A、B、C的坐标，进而得出，，，则，根据勾股定理得出，设，则，根据列出方程求解即可． 【详解】解：连接，过点D作于点H， 把代入得：， ∴，则， 把代入得， 解得：， ∴，则， 把代入得：， 解得：， ∴，则， ∴， 根据勾股定理可得：， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．如图，在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为，直线 与x轴， y轴分别交于点A，B，点M 是直线上的一个动点，则长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是垂线段最短、勾股定理和解二元二次方程组，掌握垂线段最短、勾股定理和方程组的解法是解决此题的关键．作⊥直线于点，连接，根据“点与直线上所有的点的连线中，垂线段最短”可知：的长是长的最小值，首先求出点A、B的坐标，在与中，设，由勾股定理得列二元二次方程组求解即可． 【详解】解：如图：作⊥直线于点，连接，根据“点与直线上所有的点的连线中，垂线段最短”可知：的长是长的最小值， 设， 当时，，当时，，解得， ∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴在与中，由勾股定理得： 解之得：或（不符合实际，舍去） 即：长的最小值为， 故答案为：． 13．小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到，己知两个商店的标价都是1元/本，甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的七折卖；乙商店的优惠条件是：从第一本开始打折卖出，其中，购买金额y（元）与购买数量x（本）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①乙商店给出的折扣是八折；②购买10本练习本时，甲商店更合算；③购买30本练习本时，甲商店更合算；④在甲商店购买20本练习本需花费17元，正确的是 ．（填序号即可）    【答案】③④ 【分析】本题考查函数的实际应用，解题的关键是读懂题意． 从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：①由图象可知，乙商店每本练习本的费用为元，即乙商店给出的折扣是八五折，此项错误； ②由图象可知，乙商店每本练习本的费用为元，故购买10本时，在甲商店购买需花费：元，在乙商店购买需花费：元，故乙商店更合算，此项错误； ③由图象可知：当时，乙图象在甲图象的上方，即在乙商店购买花费的多，所以购买30本练习本时，甲商店更合算，此项正确； ④在甲商店购买20本练习本需要花费元，故此项正确； 故答案为：③④． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点，点，点D在y轴负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处． (1)直接写出结果∶线段的长________，点C的坐标__________； (2)求的面积； (3)点P在直线上，使得，求点P的坐标． 【答案】(1)5，（8，0）； (2)9； (3)或． 【分析】本题考查了折叠的性质，一次函数的应用，坐标两点的距离公式，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用勾股定理计算的长，再利用折叠的性质得到，从而可确定点坐标； （2）证明，根据计算即可； （3）求出直线的解析式，设，先利用三角形面积公式计算出，则，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）点，点， ， 将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ， ， ； 故答案为5，； （2）设，则， 将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处， ， 在中，，解得， ； ，，，， ． 又， 在和中， ， ， ． （3）设直线的解析式为， 把，分别代入得，解得， 直线的解析式为； 设， ， 而， ， 即， 解得或， 点坐标为或． 15．小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小王的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小王骑自行车的速度为______； (2)求的函数表达式； (3)设小王和妈妈两人之间的距离为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）根据速度等于路程除以时间，即可求解； （2）利用待定系数法解答，即可求解； （3）根据，可得，解出即可． 【详解】（1）解：小王骑自行车的速度为； 故答案为： （2）解：根据题意得：点， 设的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴的函数表达式为； （3）解：根据题意得：的函数解析式为， ∵， ∴， 解得：， 即当时， 的取值范围为． 16．小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 （1）如图所示，小明分别画出了函数，的图象（网格中每个小方格边长为1）．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象．    【深入探究】 （2）通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是______． （3）归纳：函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是_____． 【实践运用】 （4）已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为4，求k的值． 【答案】（1）列表、描点、连线画图象见解析；（2）；（3）；（4）或 【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与方程的关系． （1）根据列表、描点、连线作图． （2）将代入解析式求解． （3）将代入解析式求解． （4）根据一次函数解析式求出点N及点A坐标，进而求解． 【详解】解：（1）列表： 0 1 2 3 1 3 如图：    （2）将代入得. 函数的图象一定经过. 故答案为：. （3）将代入得， 函数的图象一定经过， 故答案为：. （4）将代入得， 点坐标为， 将代入得， 点坐标为， ， ， 解得或. 17．如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． (1)四边形的形状是________； (2)求直线的函数解析式； (3)如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)长方形 (2) (3)①5s；② 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图像的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键． （1）根据坐标可判断错四边形的形状； （2）利用给定的点D，点A的坐标，代入直线解析式即可； （3）根据平移的特点和条件进行分析计算即可． 【详解】（1）∵点B，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A， ∴，，，， ∴四边形的形状是长方形． （2）∵四边形为长方形， ． ∵点B的坐标为， ，∴点A的坐标为． 将点D，点A分别代入， 得：，解得：， ∴直线的函数解析式为：． （3）①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点O时长度最大， ， ∴线段长度开始保持不变，当直线经过点B后，线段长度开始减小． 当经过点O时，，解得，当经过点B时，，解得， ∴线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得；当经过点时，有，解得， ∴t的取值范围为． 18．如图1，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求△AOB的面积； (2)点为轴上一点，直线交直线于点，若，求点的坐标； (3)如图2，将直线向下平移得到直线：，点，点为直线上的两点，直线与直线交于点，求点的横坐标 【答案】(1)9 (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数的运用、直角坐标系中两点的距离、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握一次函数的运用、直角坐标系中两点的距离、全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据与轴交于点，与轴交于点，可得，两点的坐标，根据三角形面积公式，即可求出的面积． （2）过点作直线交直线于点，过点C作直线轴于点E，由可知是等腰直角三角形，设点C的坐标为，证明，则，，得到点D的坐标是，由点D在直线l上，得到，则，即可求出点的坐标； （3）将点、的坐标代入，得到、的关系，再根据点、的坐标可得到直线的一次函数，根据点、的坐标可得到直线的一次函数，联立两条直线的函数方程，再将、的关系带入即可求出交点的横坐标． 【详解】（1）∵与轴交于点，与轴交于点 ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）过点作直线交直线于点，过点C作直线轴于点E，作轴于点F， 设点C的坐标为， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴点D的坐标是， ∵点D在直线l上， ∴， ∴， ∴点C的坐标是， ∵， ∴点D也为所求， ∴点C的坐标为或； （3）∵点、在直线：上 ∴ 两式相减得：， ∵， ∴， ∵点、在直线上， ∴设直线为：， ∴把，代入， 得， 解得， ∴直线的函数为： ∵点、在直线上 ∴设直线为： 把，代入中，得，解得， ∴直线的函数为：， 联立直线和， 两式相减得： 将代入消元，得，∴， 即点的横坐标为 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点C在第一象限，点A与坐标原点重合，过点A的直线交于点E，连接，已知，平分，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、坐标与图形、勾股定理等知识点，求出的长是解题的关键． 设，则，，再根据勾股定理求出的长，然后再代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 20．如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 21．如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，射线于点A，若点P是射线上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P，Q，A为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论，确定对应关系是解题关键． 首先求出点A 、B的坐标，则，，当以P，Q，A为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点P的坐标；②当时，过点P作于D，由于，因此当时，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出进而再求出据此可得点P的坐标； 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以P，Q，A为顶点的三角形与全等时， 则以P，Q，A为顶点的三角形是直角三角形因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ， ， ，， ， 当时，，， 点P的坐标为： ②当时，如图所示： 过点P作于D， ， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得， ， 在中，由勾股定理得： ， 点P的坐标为： 综上：点P的坐标为：或 故答案为：或 22．如图，直线分别与坐标轴交于，两点，若称横纵坐标都是整数的点为整点，那么内（含边界）的整点共有 个． 【答案】22 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数值的大小比较，正确理解内（含边界）的整点的含义是解答本题的关键．先用待定系数法求直线的解析式，然后分别求，1，2，，9时的函数值，可逐步求得相关整点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，两点的坐标代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 当时，，所以线段上有4个整点，，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有3个整点符合要求，，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有2个整点符合要求，，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 当时，，所以在直线上有1个整点符合要求，， 综上所述，内（含边界）的整点共有22个． 故答案为：22． 23．如图．直线经过第一象限内的定点，点是轴正半轴上的一个动点，连接．把线段绕点顺时针旋转至线段（且），连接、、，周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一次函数的图象及性质，三角形的全等的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等，证明， 求出点的坐标，则点在直线上，作关于直线的对称点， 当点、 、三点共线时， 周长最小， 即可求解，熟练掌握一次函数的图象及性质，利用三角形全等推导边与角的关系是解题的关键． 【详解】如图， 设点，点，而点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， ∵， ∴ 而, ∴，而， ∴ ∴， 即，， 解得：，， 则， 即点在直线上， 如图，设直线交轴交于点， 作点作直线的对称点，当点、、 三点共线时，最小，即周长最小， 由直线 的表达式知，该直线与轴的夹角为 ，则为等腰直角三角形，则，故点， ∴，， 则周长的最小值为， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图①，四边形中，，． (1)动点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点D停止．设运动时间为a，的面积为S，S关于a的函数图象如图②所示，求的长． (2)如图③，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点A停止．设运动时间为t，当Q点运动到边上时，连接，当的面积为8时，求t的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题是四边形综合题，考查的是四边形动点问题与函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． （1）由函数图象可知，点从出发，从点到耗时16秒，即，再由，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为6，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分按点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）由函数图象可知，点M从A出发，从点C到D耗时16秒，即， 此时，即，解得：， ∴； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 设运动的时间为，则，，而， 当点在上方时，则， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在上时，点运动到时，，解得， 综上，或或． 25．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，且根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙在地时距地面的高度为______米；的值为______； (2)请求出甲在登山全程中，距离地面高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式； (3)已知段对应的函数关系式为，则登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70米？（直接写出答案） 【答案】(1)30，11 (2) (3)3分钟或10分钟或13分钟 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）分别求出甲的速度，乙提速前和提速后的速度，进一步求解即可； （2）根据甲的速度，结合图象，写出函数关系式即可； （3）分甲在乙前和甲在乙后以及乙到达山顶后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，甲的速度为：（米/分钟）； 乙提速前的速度为：（米/分钟）； 提速后的速度为：（米/分钟）； ∴乙在地时距地面的高度为（米）； ， 故答案为：30，11； （2）∵甲的速度为：10米/分钟， ∴甲在登山全程中的函数关系式为：； （3）当， 解得：； 当时 解得： 当时， 解得：， 综上：当登山3分钟或10分钟，13分钟时，甲乙两人距地面的高度差为70米． 26．在平面直角坐标系中，对于点A和点B，给出如下定义：若，则称B为A的雅值点，例如：点的雅值点为点． (1)点的雅值点坐标是 ；若点A的雅值点为，则点A的坐标是 ； (2)如图1，点C、点D是y轴上的动点，若点D的雅值点E在直线上，的面积为，求点C的坐标； (3)点M是直线上一点，点N是点M的雅值点，若x轴上存在点P，使得是等腰直角三角形且，请求出满足条件的P点坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，勾股定理，理解新定义熟练掌握勾股定理的计算和解方程组是解答本题的关键． （1）根据雅值点定义进行计算填空即可； （2）设点的坐标为，则点的雅值点，利用点在一次函数图象上求出值，得到点坐标，设点坐标为，则，利用的面积为，列出方程求出值即可得到点坐标； （3）设点坐标为，则，设点，利用勾股定理分别写出则，，，利用等腰直角三角形边的关系列出方程组求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：根据雅值点的定义，点的雅值点坐标是即：， 设，由点A的雅值点为，可知，可得： ∴点的坐标为， 故答案为：，； （2）设点的坐标为，则点的雅值点， ∵点在直线图象上， ∴， 解得：， ∴，． 设点坐标为，则， ∵的面积为， ∴， 解得：或1， ∴点的坐标为或． （3）如图，设点坐标为，则，设点， 则， ， ， ∵是等腰直角三角形且， ∴，， 则， 整理得：， 即：， 化简为：，即：， ∴，可得， ∴或 ∴点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$