精品解析：广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高一下学期第二次学月质检数学试题

河溪中学2023--2024学年度第二学期 高一数学学月质检 本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. －4 B. 7 C. －8 D. 6 3 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论 ①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； ②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 二、多选题（每小题6分，共18分，答案是三个选项的，对1个得2分；两个选项的对1个得3分，选错得0分） 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与方方向相同或相反 C. 若且，，则 D. 对任一向量，是一个单位向量 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论，其中正确的是（ ） A. 它图象关于直线对称； B. 它的最小正周期为； C. 它的图象关于点对称； D. 它在上单调递增. 第Ⅱ卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，且，则________. 13. 已知，，那么的值是________． 14. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，点在边上，. （1）求的长度； （2）若，求的长度. 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 17. 已知函数的图象的一部分如图所示. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的值域. 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求周长． 19. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河溪中学2023--2024学年度第二学期 高一数学学月质检 本试卷分选择题和非选择题两部分，共3页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管. 第一部分（选择题） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，，，则（ ） A. －4 B. 7 C. －8 D. 6 【答案】D 【解析】 分析】根据 复数相等列出方程组，解出a,b再计算即可. 【详解】因为,即， 所以，解得，所以； 故选：D 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 4. 已知函数，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 要使函数有意义，则有，解出即可. 【详解】要使函数有意义，则有 解得 所以函数的定义域为 故选：A 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据诱导公式化简得，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式以及正弦倍角公式求得求即可. 【详解】因为，所以 又，即 则 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有诱导公式化简求值和同角三角函数关系求值，以及正弦倍角公式，属于基础题目. 6. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4个结论 ①深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高； ②深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降； ③平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州； ④平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图表逐项判定即可 【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论①②③都正确，结论④错误. 故选. 【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题 7. 在中，角的对边分别为，且，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，进而根据数量积的定义即可求解. 【详解】由余弦定理得． 又因为，所以， 故． 故选：D． 8. 如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】，又，，又三点共线，，即得，易知，，当且仅当，即时，取等号，故选C. 【易错点晴】本题主要考查平面向量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 二、多选题（每小题6分，共18分，答案是三个选项的，对1个得2分；两个选项的对1个得3分，选错得0分） 9. 下列叙述中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与方的方向相同或相反 C. 若且，，则 D. 对任一向量，是一个单位向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误； 对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确； 对于D，当时，无意义，故D错误. 故选：ABD 10. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式、正切公式的逆运用可以分别计算出A、D选项，利用二倍角正弦公式的逆运用可以计算出B选项，根据降幂公式可以化简病求出C选项. 详解】对于A选项，，所以A正确； 对于B选项，，所以B不正确； 对于C选项，，所以C不正确； 对于D选项，，所以D正确； 故选：AD. 11. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论，其中正确的是（ ） A. 它的图象关于直线对称； B. 它的最小正周期为； C. 它的图象关于点对称； D. 它在上单调递增. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象的变换得出的解析式，根据正弦函数的对称性，可判断AC；根据正弦函数的的周期计算公式，可判断B；根据正弦函数的单调性，可判断D. 【详解】因为， 所以， 令，得，所以不是对称轴，A错误； 最小正周期为，显然正确，B正确； 令，得，取，得，故关于点对称，C正确； 令，得， 取，得，取，得，所以D错误. 故选：BC. 第Ⅱ卷非选择题 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与的夹角为，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积定义,可求得,结合模的求法即可得解. 【详解】由平面向量数量积定义可得, 而. 因为 所以. 故答案为: 点睛】本题考查了平面向量数量积定义,利用平面向量数量积求模,属于基础题. 13. 已知，，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中条件求出角，然后代入即可. 【详解】由题知，， 所以， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 14. △的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 【答案】. 【解析】 【分析】方法一：由正弦定理可得，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，由为锐角，求得， ，利用三角形面积公式即可解出. 【详解】［方法一］：【最优解】边化角 因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. ［方法二］：角化边 因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积，该法是本题的最优解； 方法二：利用正弦定理边化角，求出，再结合余弦定理求出，即可求出面积． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在中，，点在边上，. （1）求的长度； （2）若，求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出；（2）直接用余弦定理求出. 【小问1详解】 在中，，. 由正弦定理得：，即，解得：. 【小问2详解】 在中，，，. 由余弦定理得： . 16. 已知向量． （1）求向量与的夹角的大小； （2）若向量，求实数的值； （3）若向量满足，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的夹角公式计算即得. （2）利用平面向量共线的坐标表示，共线向量的坐标表示列式计算即得. （3）利用向量相等构造方程求得，再利用坐标求模即得结果. 【小问1详解】 由向量，得， 于是，而， 所以. 【小问2详解】 由向量，得，， 由，得，解得， 所以实数的值是. 【小问3详解】 依题意，即， 于是，解得，所以. 17. 已知函数的图象的一部分如图所示. （1）求的解析式； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）由函数图象的最值点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式． （2）由可得，，利用正弦函数的性质可得函数的值域． 【详解】（1）根据函数的图象的一部分，可得， 再根据，． 结合五点法作图可得， ，， 故． （2）当时， ，， ，， ，， 即的值域为，． 【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 19. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并加以证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在定义域上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出实数的值，然后利用函数奇偶性的定义检验即可； （2）判断出函数为上的增函数，然后利用函数单调性的定义证明即可； （3）利用奇函数的性质将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出对任意的恒成立，由可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：对任意的，，则函数的定义域为， 则，解得，此时，， 所以，， 所以，当时，函数为奇函数. 小问2详解】 解：由（1）知：， 则函数在定义域上单调递增，证明如下： 设任意的，则 因为，则，则， 又，，所以，，即， 所以，函数在定义域上单调递增. 【小问3详解】 解：因为不等式对任意恒成立， 所以，对任意的恒成立， 因为函数为上的奇函数，且为增函数，则， 则对任意的恒成立，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$