专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【变式训练2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【变式训练3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，，，，则的长为 ． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在的中线的处，与相交于点，则 ． 二、解答题 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 6．（23-24九年级下·河北张家口·阶段练习）在中，，，点为边上一动点，且，交边于点．探究：如图1，若．    (1)当时，求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长； (3)延伸：如图2，若，为上一点，且．小东经过研究发现：“当点在边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值；如果不正确，说明理由。 7．（2024·湖北武汉·二模）如图，在和中，，，． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，交于点F，连接，求证：； (3)如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 9．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 10．（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在中，∠B=90°，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：①当时______； ②当时，______． (2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全： ∵， ③ ． 又∵旋转， ∴， ． (3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 相似三角形中母子型、手拉手型、K字型的三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“母子”模型(共边角模型) 2 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 8 类型三、“K”字模型（相似模型） 13 压轴能力测评（10题） 17 解题知识必备 模型1.“母子”模型(共边角模型) 【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. （2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. （3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 模型2.“手拉手”模型(旋转模型) 【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 模型3.“K”字模型（相似模型） 【模型解读与图示】K字型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似． (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 压轴题型讲练 类型一、“母子”模型(共边角模型) 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证：平分 ， （2）解： 即 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式训练3】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）【阅读】 定义：如果一个三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”． 【理解】 （1）①若，，则_______“准直角三角形”；（填“是”或“不是”） ②已知是“准直角三角形”，且，，则的度数为________． 【应用】 （2）如图1，在中，点D在上，连接．若，，，，试说明是“准直角三角形”． 【提升】 （3）如图2，在中，，，，点P在的延长线上，连接．若是“准直角三角形”，且，直接写出此时的长． 【答案】（1）①是；②；（2）见解析；（3）或8 【分析】题目主要考查三角形内角和定理，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 （1）①根据三角形内角和定理求出，则，再根据“准直角三角形”的定义即可得到答案；②根据“准直角三角形”的定义得到，根据三角形内角和定理得到，据此求解即可； （2）先求出，则，，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明，则是“准直角三角形”； （3）根据题意分两种情况分析：和，结合图形，利用等角对等边及相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”， 故答案为：是； ②∵是“准直角三角形”，且，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴是“准直角三角形”． （3）∵，，， ∴， ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是“准直角三角形”， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 综上可得：的长为或8． 类型二、“手拉手”模型(旋转模型) 例题：【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（2024·湖北黄石·三模）（1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）【问题呈现】 （1）如图1，和是两个有公共顶点A的等边三角形，连接，．求的值． 【类比探究】 （2）如图2，和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，，连接，．求证：． （3）如图3，和是两个有公共顶点A的直角三角形，，连接，．若能，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，再根据全等三角形的性质即可解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质、直角边与斜边的关系可证明，再根据相似三角形的性质对应边的比等于相似比即可解答； （3）根据、，可证，可得，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴，即． （2）∵和是两个有公共顶点A的等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， 同理，在中，设，则， ∴，，即， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查等边三角形、等腰直角三角形、直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 类型三、“K”字模型（相似模型） 例题：（2024·内蒙古通辽·模拟预测）【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东东营·期末）（1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．（23-24九年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，，，，，则的长为 ． 【答案】//4.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，解题的关键是证明．证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 3．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，旋转后的图形是，点的对应点落在的中线的处，与相交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】过点作于．求解，证明，，可得，求解，，证明，，再进一步求解可得答案． 【详解】解：过点作于． ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， 是由旋转得到 ，，，， ，，， ， ∴， ∴， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 二、解答题 4．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是等边三角形，D，B，C，E四点在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质； （1）利用等边三角形的性质结合三角形的外角的性质证明，，从而可得结论； （2）利用相似三角形的性质与等边三角形的性质建立方程求解即可； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ，， ； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ． ∵，， ∴， ∴； 5．（23-24七年级下·山东·期末）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． (1)如图1，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线； (2)如图2，中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求和长； (3)在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，再由等角对等边可得为等腰三角形，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据“完美分割线的定义”可得，得，即，求得，再根据相似三角形的性质可得，即可求解； （3）根据是的完美分割线，且为等腰三角形进行分类讨论：或，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和及相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴不是等腰三角形． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴CD是的完美分割线； （2）解：∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴． ∵是的完美分割线， ∴． ∴， ∴， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵是的完美分割线，且为等腰三角形， ∴时，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程及新定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和似三角形的性质与判定，理解“完美分割线”是解题的关键． 6．（23-24九年级下·河北张家口·阶段练习）在中，，，点为边上一动点，且，交边于点．探究：如图1，若．    (1)当时，求的长； (2)当为等腰三角形时，求的长； (3)延伸：如图2，若，为上一点，且．小东经过研究发现：“当点在边上运动时，的长度不变，是个定值．”你认为小东的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值；如果不正确，说明理由。 【答案】(1) (2)或或 (3)正确；理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形性质，得到，在中，由勾股定理得，再由全等三角形的性质即可得到，从而确定答案； （2）根据等腰三角形定义，分三种情况：当时；当时；当时；由全等三角形性质、勾股定理及中垂线性质求解即可得到答案； （3）由三角形相似的判定与性质得到，再由等腰直角三角形的判定与性质求解即可得到答案； 【详解】（1）解：，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ； （2）解：为等腰三角形，， 分三种情况判断： （1）当时， ，， ， ， ， ， ； （2）当时， ，， 是等腰直角三角形，，即与重合，； （3）当时， ， ，， ，即， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ，， ，垂直平分， ； 综上所述，的长为或或； （3）解：正确， 理由如下： 由探究（2）可知，， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，为定值； 【点睛】本题考查三角形综合，难度较大，涉及等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、全等三角形性质、勾股定理、中垂线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解二元一次方程等知识，熟记相关判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 7．（2024·湖北武汉·二模）如图，在和中，，，． (1)如图1，当时，连接，求证：； (2)如图2，当时，交于点F，连接，求证：； (3)如图3，当时，，D是的中点，将绕点A旋转得到，，当B，，三点在同一条直线上时，直接写出点C到直线的距离． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】（1）根据题意得出都是等边三角形，得出，再证出，即可证明； （2）过点作交于，根据题意可得出，即可得，证出，根据相似三角形性质得出，根据“8字模型”即可得出，从而得出，证明，得出，即可证明； （3）证出，得，，从而得出即可得出即可解答，同理，得出． 【详解】（1）∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， ． ∴． （2）证明：过点作交于， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ∴， ． （3）①当，绕点A逆时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上，，D是的中点， 由题意得， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 得，， ， ∴， 则， ， ， ， ②当，绕点A顺时针旋转得到时，当B，，三点在同一条直线上， 同理，如图根据①可得， ， ， ， ， ． 综上，点C到直线的距离为或． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 9．（2024·湖北恩施·二模）如图，在中，，，点D、A、E都在直线l上，且，探究线段之间的数量关系． (1)特例发现 先将问题特殊化．如图1，当，时，求证：． (2)类比探究 再探究一般情形，如图2，当，时，探究线段之间的数量关系（用含有k的式子表示）． (3)拓展运用 如图3，当，时，做直线l，直线l，垂足分别为F、G．已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则，即可得到结论； （2）证明，得到，则，即可得到结论； （3）作，求出，证明，得到，则，，求出，，由得到，则，即可得到． 【详解】（1）证明：当时， ，， ∵， ∴ ∴ 当时，， ∴ ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ （3）作 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 10．（2024·辽宁沈阳·二模）如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现：①当时______； ②当时，______． (2)拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全： ∵， ③ ． 又∵旋转， ∴， ． (3)用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ． 【答案】(1)①；② (2)， (3)或 【分析】（1）①先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，，由此即可得； ②先画出图形，根据旋转的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出，的长，由此即可得； （2）根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得； （3）分①点在的延长线上和②点在线段上，利用勾股定理求出，从而可得的长，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：①当时， 在中，，，， ， 点D，E分别是边BC，AC的中点，，， 故答案为：； ②如图1， 点，分别是边，的中点，，，，，； 如图，当时， 由旋转的性质得：的大小不变，仍等于，长度不变，仍等于，的长度不变，仍等于； ，， ， ， 故答案为：； （2）解：当时，，大小没有变化； 证明：， ， 又∵旋转， ， ， 故答案为：；； （3）①如图，当点在的延长线上时， 在中，，， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时， 在中，，， ， ， ， ， 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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