专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 6 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 12 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 15 压轴能力测评（10题） 21 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，． 求证：； 【变式训练1】（23-24九年级上·山东济南·期末）中，，，点是线段的中点，，求的长． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，已知，，分别在边，上，，，则（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，是高，，则 ． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 6．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知与交于点O，B、E是、上一点，且．    (1)若，，，求的长； (2)若，且O为中点，，则______． 7．（23-24九年级·全国·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 9．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点，，分别在边，，上．从下列条件中选择其中两个作为本题的条件． ①；②；③． (1)求证：． (2)连接，如果，求证：． 10．（2024·安徽芜湖·三模）在中，点D，E分别在边，上，且，． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，点F在上，，当平分时，求证：四边形是菱形． (3)如图3，连接．求证：． 11．（2024·湖南长沙·二模）如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证； (3)过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 12．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 2 类型二、同向双“A”字模型 6 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 12 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 15 压轴能力测评（10题） 21 解题知识必备 1. “A”字模型 【模型解读与图示】 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 2. “X”字模型（“8”模型） 【模型解读与图示】 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 压轴题型讲练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 例题：（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由平行得两组相等的同位角，即可证明三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24九年级上·山东济南·期末）中，，，点是线段的中点，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先证明，再由相似三角形的性质得出，代入计算即可得出答案. 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴. 【变式训练2】（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．    (1)若，求线段的长． (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出； （2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式训练3】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 类型二、同向双“A”字模型 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【变式训练1】（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 【变式训练2】（2023·吉林长春·模拟预测）【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图①，在中，分别是边的中点，求证：； 【归纳】用文字语言叙述【解决问题】反映的关于三角形重心的性质； 【应用】如图②，在中，D是边的中点，过点G的直线分别交边于点E、F，若，则 ． 【答案】解决问题：详见解析； 归纳：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． 应用： 【分析】本题考查了相似型的综合应用，主要考查了三角形的重心，相似三角形的性质与判定，解题的关键是掌握三角形的重心． [解决问题]连接，根据题意得到且，证明，得到，即可得证． [归纳]三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]如图（2）中，过点作交于．交于．利用相似三角形的性质求解． 【详解】[解决问题]证明：连接，如图， ∵、分别是边、的中点， ∴且， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． [归纳]解：三角形的重心与一边中点的连线等于对应中线的三分之一． [应用]解：如图，过点作交于H．交于N． ， ， ， ∴，， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24九年级下·重庆南岸·开学考试）（1）如图1，在中，，，分别为，，上的点，，，交于点，求的值． （2）如图2，在（1）的条件下，连结，．若，，，求证：． （3）如图3，在中，，与交于点，为上一点，交点，交于点．若，平分，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解直角三角形等知识． （1）利用，证明，利用相似比即可证明此问； （2）证明，则，得到，，则是等腰三角形，由（1）得，即可证明； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长交于点M，连接，作，垂足为N．构造出等腰三角形、含角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形， 由（1）得， ∴， （3）解：如图，延长交于点M，连接，作，垂足为N． 在中，． ∵， ∴由（1）同理可得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴．在中，． ∵， ∴， ∴． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 例题：（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川乐山·期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 【变式训练2】（22-23九年级上·湖南益阳·期中）如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 【变式训练2】（2024·浙江·一模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 【变式训练3】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形，得到，，进而得到，， ，，结合，，，代入，即可求解， 本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴，，即：， ∵，，， ∴，解得：， 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，已知，，分别在边，上，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，，和相似三角形的判定与性质，进行逐一判断即可．本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的判定与性质，正确理解相似三角形的性质，求得的面积和的面积是关键． 【详解】解：， ∴， ，故A选项错误； ， ∴， ，故B选项错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故C选项错误； ， ， ．故D选项正确． 故选：D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示，在中，是高，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.根据，可以得到，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，即可求得的长，进而可求出的长． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 【答案】 【分析】设，证明是的中位线，得，再证明得，进而得，，由此可得的值． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，对角线、交于点O， ∴，，，， ∵，则， ∴，则是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三线合一，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 三、解答题 5．（23-24九年级上·山东聊城·开学考试）已知：如图在中，，高，它的内接矩形（点E在边上，点H、G在边上，点F在边上），与边之比为，求的长． 【答案】 【分析】设矩形的长，则宽，易证四边形是矩形，则，根据矩形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设矩形的长，则宽， 四边形是矩形， ，， ， 是的高， ， 四边形是矩形， ， ， （相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ，， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比． 6．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，已知与交于点O，B、E是、上一点，且．    (1)若，，，求的长； (2)若，且O为中点，，则______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据，得出，利用相似的性质即可求解； （2）根据，且O为中点，即可得出，再利用相似的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ 解得 ∴ （2）∵，且O为中点， ∴, ∵ ∴ ∴ ∴ 解得 故答案为：． 7．（23-24九年级·全国·期末）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部G；当他向前再步行12米到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部D，已知小华的身高是米，两个路灯的高度都是米，且； (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小华走到路灯B的底部D时，他在路灯A下的影长是多少? 【答案】(1)两路灯的距离为 (2)当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是 【分析】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，再证明，利用相似比可得，则，解得； （2）如图2，他在路灯A下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ， ， ，即， ，而， ∴， ∴． 答：两路灯的距离为； （2）解：如图2，他在路灯A下的影子为， ， ， ∴，即， 解得． 答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是． 8．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知：如图，中，，与交于点，与、分别交于点、． (1)已知点是的中点，求证：； (2)已知，四边形的面积为，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可证明根据相似三角形的性质得，同理，最后由点是的中点即可求证； （）证明，由性质可得，同理，再证明，则，设，则，最后代入即可求值； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则， ∴四边形的面积为， ∴， 解得， ∴． 9．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点，，分别在边，，上．从下列条件中选择其中两个作为本题的条件． ①；②；③． (1)求证：． (2)连接，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，与三角形中位线有关的证明： （1）选择①②，先证明，得到，结合，即可得证； （2）根据，得到，证明，得到，进而得到，进而得到，得到为的中位线，即可得证． 【详解】（1）解：选择①②作为条件： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴，即：． 10．（2024·安徽芜湖·三模）在中，点D，E分别在边，上，且，． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，点F在上，，当平分时，求证：四边形是菱形． (3)如图3，连接．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先根据条件证明是等边三角形，再通过三角形外角定理得出的度数，然后与相加即可求解． （2）先根据条件利用两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形邻边相等证明四边形是菱形． （3）先根据条件利用三角形外角定理证明，然后证明，再利用对应边成比例转化成，而后利用对应边成比例夹角相等证明，最后通过相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，标记∠1，∠2． ，， ， ． ， ． 又， ， ． （2）证明：平分， ． ， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 是菱形． （3），， ，． ，， ， ． 又， ， ， ． 又， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的内容是等边三角形与等腰三角形的性质，平行四边形与菱形的性质与判定，以及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的转化，找到关键两个相似三角形从而解决问题． 11．（2024·湖南长沙·二模）如图，在菱形中，点是边上一动点（且与点、不重合），连接交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证； (3)过点作交于点，记．为，为，， ①求证：； ②求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)①证明见详解，② 【分析】（1）根据题意可得，因为菱形的对角线平分一组对角，得，再根据外角的性质可得出． （2）根据题意易证，得出，因为，化简可得． （3）①根据题意可得，，即，，故 ，，两式相加得，化简可得． ②根据，，得，即，，，根据， ，得出，即，，，，，代入化简即可． 【详解】（1）根据题意可得，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）①证明：∵，， ∴， ∴，， ∴，， 两式相加得， 即， ∴． ②∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的性质、平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（2024·辽宁铁岭·二模）【问题初探】 数学课上，老师提出如下问题： 如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证： 经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路： 甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系； 乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系． (1)请你选择一名同学的思路，写出证明过程； (2)【类比分析】 老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程； (3)【学以致用】 在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程． 【答案】(1)见解析 (2)，过程见解析 (3)或，画图和解答过程见解析 【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路， 作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证； （2）过作交的延长线于，过作交于，可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，即可求解； （3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解； 【详解】（1）①甲同学的思路： 证明：如图，过点D作，于点K，   ， M 是的中点， ， ， 是 的中线， ， ， 在和中 ， （）， ， ； ②乙同学的思路： 如图，作交的延长线于，   ， M 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， 是 的中线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过作交的延长线于，过作交于，   ， ， ， N， K是的三等分点， ， ， ， ， 是 的中线， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）①在线段上， 如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ； ②当在射线上， 如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，构建相似的典型模型“”型和“” 型是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$