专题05 比例的性质、黄金分割与平行线分线段成比例的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题05 比例的性质、黄金分割与平行线分线段成比例的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用比例的性质求解 2 类型二、利用黄金分割求解 6 类型三、证明黄金分割点 8 类型四、由平行判断成比例的线段 13 类型五、由平行截线求相关线段的长 16 类型六、由平行截线求相关线段的比值 18 压轴能力测评（18题） 22 解题知识必备 1. 比例的性质 基本性质：若，则；反之，也成立。 合比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2. 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 3. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 4. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 压轴题型讲练 类型一、利用比例的性质求解 例题：（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【变式训练2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 类型二、利用黄金分割求解 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【变式训练1】（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【变式训练3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 类型三、证明黄金分割点 例题：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【变式训练2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 类型四、由平行判断成比例的线段 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 类型五、由平行截线求相关线段的长 例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 类型六、由平行截线求相关线段的比值 例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·二模）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山西太原·模拟预测）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）若，则的值为 ． 7．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，则 ．    8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 10．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在直角 中，，， ， 且点 ， 分别在 ， 上，连接 和 交于点 ．若 ，，则 的长为 ． 三、解答题 11．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 12．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 13．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 15．（23-24九年级上·广西崇左·期中）【探究与应用】 问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．          (1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：． (2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值． 16．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 17．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行线分线段成比例“    【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则　　 ． 【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点． 求证：； （2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 　 　．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 比例的性质、黄金分割与平行线分线段成比例的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用比例的性质求解 2 类型二、利用黄金分割求解 6 类型三、证明黄金分割点 8 类型四、由平行判断成比例的线段 13 类型五、由平行截线求相关线段的长 16 类型六、由平行截线求相关线段的比值 18 压轴能力测评（18题） 22 解题知识必备 1. 比例的性质 基本性质：若，则；反之，也成立。 合比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 2. 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 3. 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 4. 平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 压轴题型讲练 类型一、利用比例的性质求解 例题：（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【变式训练1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 【变式训练2】（23-24九年级上·宁夏银川·期中）求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． （1）先由，可设，进而代入待求式中计算即可； （2）先由，且，得，再代入所求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴ ； （2）解：∵，且， ∴, ∴ ． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 类型二、利用黄金分割求解 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·江苏常州·模拟预测）20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取，则 ． 【答案】 【分析】先求得，再根据所给作图步骤，分别求出出和即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ． 因为， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【变式训练3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是 （结果精确到．参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题． 设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， 雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 类型三、证明黄金分割点 例题：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 【变式训练1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 【变式训练2】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读下面的材料： 如图1，在线段上找一点C，若，则称点C为线段的黄金分割点，这时比值为，人们把称为黄金分割数，长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中，就有一种0.618法应用了黄金分割数．    我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以F为圆心，长为半径作弧，交于H；再以O为圆心，长为半径作弧，交于点P． 根据材料回答下列问题： (1)根据作图，写出图中相等的线段：________； (2)求的长； (3)求证：点P是线段的黄金分割点． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意知，，，然后作答即可； （2）由勾股定理得，根据，计算求解即可； （3）由，可得，，，则，即，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴， ∴． （3）证明：∵， ∴，，， ∴，即， ∴点P是线段的黄金分割点． 【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类型四、由平行判断成比例的线段 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式训练1】（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 类型五、由平行截线求相关线段的长 例题：（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 类型六、由平行截线求相关线段的比值 例题：（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·云南·模拟预测）如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解题的关键；根据在中，，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，即可求得的长． 【详解】解：， ， 在中，， ， ， ， 故选：D． 2．（2024·辽宁·二模）如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理作答即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，是的中线，点在上，交于点，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了构造平行线并利用平行线分线段成比例进行解决问题，正确构造平行线是解题的关键．过点作交于点，利用，得，再利用平行线分线段成比例可得，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：过点作交于点，如图， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·山西太原·模拟预测）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故选：A 二、填空题 6．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查比例性质，根据条件设，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 设，则， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，则 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点D作，交于点G，根据已知可得，，继而分别用表示，求解即可，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】如图，过点D作，交于点G，    ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东烟台·期中）在和中，，若的周长是20cm，则的周长是 ． 【答案】/25厘米 【分析】本题考查了比的性质，利用比的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又的周长是，即， ∴， 即的周长是， 故答案为：． 9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割以及等角对等边，根据点D是边的黄金分割点，可得出，再根据等角对等边可得出，代入求解即可． 【详解】解：∵点D是边的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 10．（22-23九年级下·广东惠州·开学考试）如图，在直角 中，，， ， 且点 ， 分别在 ， 上，连接 和 交于点 ．若 ，，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、勾股定理等知识，由题目的比例关系可作对应的平行线，根据平行线分线段成比例和勾股定理可列等式，从而得出答案，准确作出平行线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 设，则 ，， 故答案为：． 三、解答题 11．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 12．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点，若，， (1)的值为________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据相似三角形的判定和性质求出，再证明从而得出， （2）求出长度后再通过勾股定理求出长度． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 又∵； ∴ 解得： 故 在和中 ∴（） ∴ ∴ 故答案为：1 （2）由（1）可知： ∴ 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和全等三角形性质和判断，勾股定理，掌握这些是解本题关键． 13．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 14．（2024八年级·全国·竞赛）如图1，在中，截线交于点，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若截线经过的重心点，如图2，利用（1）中的结论，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点G，根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）由（1）得，，相加可得结论． 【详解】（1）证明：过点C作交于点G，如图， ∴，， ∴． （2）证明：如图，连接并延长交于点， 由截可得，则， 由截可得，则； ∵点是的重心， ∴为边上的中线，且， ∴． 15．（23-24九年级上·广西崇左·期中）【探究与应用】 问题：如图①所示，是的角平分线．求证：．          (1)【解决问题的方法】善于思考的小安发现：过点作交的延长线于点，如图②，通过两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例的推论，可以解决问题．请证明：． (2)【应用提升】请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形中，，，，平分，，与相交于点．求和的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理可得，由此可得． （2）利用（1）中结论的可得，则，根据平行线分线段成比例定理可得．根据角平分线的定义和平行线的性质可得，．过点A作于点E，则可得，，由勾股定理可得的长，由此得的长，进而得出的长． 【详解】（1）证明：交的延长线于点E，      ∴，． 又是的平分线， ， ， ， ． （2）（2）平分，， ，， ． ， ，， ， ． 过点A作于点E，如图③ ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，平行线分线段成比例定理．熟练掌握以上知识，并且会用转化的方法是解题的关键． 16．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 17．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 18．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行践相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所傅的对应线段成比例，（简称“平行线分线段成比例“    【问题原型】如图①，中，点为边上的点，过点作交为边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，，则　　 ． 【结论应用】（1）如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点． 求证：； （2）如图③，中，，，，若、分别是边、的中点，连接，点是边上任意一点，连接、分别交于点、，则周长的最小值是 　 　．    【答案】（1）2.7；（2）见解析；（3） 【分析】（1），，，，，即可求得； （2），，，，同理，，即可证明； （3）过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，，且、分别是边，的中点，为的中位线，，连接，此时与的交点，此时周长最小，根据勾股定理即可求出进而求出作答． 【详解】解（1）：， ， 又， ， ， 即， ， 故答案为：2.7； （2）证明：， ， ，， ， ， 同理， ， ； （3）解：过点作以所在直线为对称轴的对称点，交于点，易得，如图，   ，且、分别是边，的中点， 为的中位线， ， 连接，此时与的交点，此时周长最小， ，， ， ， ， 在中， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，中位线，平行线的性质，三角形等综合问题，解题的关键是对将军饮马问题的灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$