专题05 等边三角形的性质与判定的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题05 等边三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用等边三角形的性质求角度 1 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 4 类型三、等边三角形中的动点问题 6 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 9 类型五、等边三角形中旋转综合问题 14 压轴能力测评（10题） 20 解题知识必备 1.等边三角形性质 等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 2.等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用等边三角形的性质求角度 例题：（23-24七年级下·山东枣庄·期末）是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ． 【变式训练1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    【变式训练2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【变式训练3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 例题：（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在边长为的等边三角形中，于点，点在直线上，且，则的长为 ． 【变式训练3】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ． 类型三、等边三角形中的动点问题 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【变式训练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【变式训练3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 例题：（22-23八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【变式训练2】（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 类型五、等边三角形中旋转综合问题 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合    (1)旋转中心是点 　 　； (2)若，旋转角是 　 　度； (3)若，请判断的形状并说明理由． 【变式训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若． (1)求的度数； (2)求的长． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，点O是等边内一点，，等于，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)若，请探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【变式训练3】（22-23八年级上·云南西双版纳·阶段练习）你可以直接利用结论“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题： 在中，． (1)如图1，已知，则共有 条对称轴， °， °； (2)如图2，已知，点E是内部一点，连接、，将绕点A逆时针方向旋转，使边与重合，旋转后得到，连接，当时，求的长度． (3)如图3，在中，已知，点P是内部一点，，点M、N分别在边、上，的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使的周长最小，要写出画图方法，并直接写出周长的最小值． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 二、填空题 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 4．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，以为底边向外侧作等腰三角形，过点C作，交于点F，交于点E．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 6．（23-24九年级上·天津宁河·期中）已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上， (1)旋转中心是点 ，旋转角的大小为 （度）； (2)求 的度数和的长． 7．（20-21八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 8．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为． (1)你能用含t的式子表示和的长度吗？请你表示出来． (2)出发几秒时，第一次为等边三角形？ (3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒时点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 10．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 11．（23-24八年级上·吉林松原·期中）中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），使，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，则是______三角形； (2)若． ①如图2，当点D在线段上移动，判断的形状并证明； ②当点D在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 12．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）在中，点D在的边上．    (1)【探究发现】 如图①，当时． 若，则，， 若，则______°，______°； 请直接写出与的数量关系______； (2)【问题解决】 如图②，当，时，作，垂足为点E，若，，求的长． (3)【拓展延伸】 如图③，当平分，时，若与的面积之比为，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 等边三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用等边三角形的性质求角度 1 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 4 类型三、等边三角形中的动点问题 6 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 9 类型五、等边三角形中旋转综合问题 14 压轴能力测评（10题） 20 解题知识必备 1.等边三角形性质 等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 2.等边三角形的判定 ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 压轴题型讲练 类型一、利用等边三角形的性质求角度 例题：（23-24七年级下·山东枣庄·期末）是等边三角形，点是边的中点，点在边上，且，连接，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的性质得出平分，，从而得，．由，得到，继而可求． 【详解】解：平分，，是等边三角形， ， ，． ， ， ， 故答案为：15． 【变式训练1】（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内外角关系，根据等边三角形得到，结合平角及三角形内外角关系求解即可得到答案； 【详解】解析：和是两个等边三角形， ∴， 在中，， ，， ， ∵，，， ． 【变式训练2】（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 【变式训练3】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知等边三角形纸片，点E在边上，点F在边上，沿折叠，使点落在边上的点的位置，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可知，通过等边三角形的性质可得，，，由得到，再利用三角形的外角性质即可求出，熟练掌握边三角形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】由翻折性质可知：， ∵为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， 故答案为：． 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 例题：（23-24八年级上·广西梧州·期中）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案； 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴点D为的中点，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在等边中，边长为，点为的中点，将按逆时针方向旋转后得到，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质．熟练掌握等边三角形“三线合一”的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据等边三角形“三线合一”的性质求得，再根据诱因的性质得，即可求解． 【详解】解：∵等边，点为的中点， ∴ 由旋转可得． 故答案为：9． 【变式训练2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在边长为的等边三角形中，于点，点在直线上，且，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质和线段和差，由等腰三角形“三线合一”可得，再通过线段和差即可求解，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质的应用． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【变式训练3】（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， 故答案为：． 类型三、等边三角形中的动点问题 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在中，厘米，点从点开始以1厘米/秒的速度向点运动，点从点开始以2厘米秒的速度向点运动，两点同时运动，当运动时间为 秒时，是等边三角形． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，设运动时间为t秒，则，则，根据等边三角形的性质得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为t秒， 由题意得，，则 ∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得， ∴当运动时间为2秒时，是等边三角形． 故答案为：2． 【变式训练1】（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，等边中，E是边的中点，是边上的中线，P是上的动点，若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查等边三角形的性质，轴对称求线段的最值问题，作点E关于的对称点F，由加对称的性质可知就是的最小值，由此可解． 【详解】解：作点E关于的对称点F，连接， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E关于的对应点为点F， ∴就是的最小值． ∵是等边三角形，E是边的中点， ∴F是的中点， ∴是的中线， ∴， 即的最小值为6， 故答案为：6． 【变式训练2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，点P在的内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，如的周长是18，那么 ． 【答案】6 【分析】根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称，得到，，结合，得到，得到是等边三角形，结合的周长是18，解答即可． 本题考查了对称，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵的周长是18， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式训练3】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 例题：（22-23八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质． （1）根据平行线的性质得出，再根据即可解答； （2）通过证明为等边三角形，得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，，点、在上，且． (1)求的度数； (2)若点为线段的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)90 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的判定和性质是解题关键． （1）由等腰三角形的性质可求，，再由三角形外角的性质即可求解； （2）三角形外角的性质可得，由题意及各角之间的等量代换得出即可得到证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 即； （2）证明：由（1）知，， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， 又， ， ， ， 是等边三角形． 【变式训练2】（22-23七年级下·上海奉贤·期末）已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①②为等边三角形，理由见解析 (2)的度数为或，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． （1）①根据，得，进而得，再根据题意得，进而得； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ，，， 为等边三角形； （2）的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； ②当直线与的延长线交于点时，如图所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 类型五、等边三角形中旋转综合问题 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合    (1)旋转中心是点 　 　； (2)若，旋转角是 　 　度； (3)若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)B (2)40 (3)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，根据旋转的性质即可得到结论； （3）由已知条件得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，由旋转的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）旋转中心是点， 故答案为：； （2）， ， ， 将旋转后能与重合， ， ， ∴旋转角是40度， 故答案为：40； （3）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 将旋转后能与重合， ， ， 是等边三角形． 【变式训练1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，以为边向右侧作等边，把绕点按顺时针方向旋转后得到，若． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由旋转的性质即可得出答案； （2）由旋转的性质可得：，求出在同一直线上，结合等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：把绕点按顺时针方向旋转后得到， ； （2）解：为等边三角形， ， ， ， ， 由旋转的性质可得：， ，为等边三角形， 在同一直线上， ， ． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，点O是等边内一点，，等于，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)若，请探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当为或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质． （1）只要证明即可； （2）想办法求出即可解决问题； （3）分三种情形讨论求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：当为或或时，是等腰三角形， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴， ∵， ， ， ∵在中，， ， ∴， ∵是等腰三角形， ①当时， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． 【变式训练3】（22-23八年级上·云南西双版纳·阶段练习）你可以直接利用结论“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”解决下列问题： 在中，． (1)如图1，已知，则共有 条对称轴， °， °； (2)如图2，已知，点E是内部一点，连接、，将绕点A逆时针方向旋转，使边与重合，旋转后得到，连接，当时，求的长度． (3)如图3，在中，已知，点P是内部一点，，点M、N分别在边、上，的周长的大小将随着M、N位置的变化而变化，请你画出点M、N，使的周长最小，要写出画图方法，并直接写出周长的最小值． 【答案】(1)3，60，60 (2)3 (3)2，绘图见解析 【分析】此题主要考查了旋转变换以及等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，正确应用等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）直接利用等边三角形的判定与性质得出答案； （2）利用旋转的性质得出对应线段的关系，进而得出是等边三角形，得出答案即可； （3）利用轴对称的性质得出画点P关于边的对称点G，画点P关于边的对称点H，进而得出是等边三角形，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴共有3条对称轴，，； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是由绕点A旋转而得到的，且边与重合 ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （3）解：如图3，画图方法： ①画点P关于边的对称点G， ②画点P关于边的对称点H， ③连接，分别交、于点M、N， 连接， 根据折叠可知：，，，，，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即此时周长最小， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴周长最小值为2． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出． 【详解】解：是等边三角形， ， 于点， ． 故选：A 2．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题 3．（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，为等边三角形，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，等边三角形的性质，三角形的内角和定理．等边三角形的性质结合角的和差关系，求出的度数，等边对等角，求出的度数，三角形的三边关系求出的度数即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，等边的周长为，为边上的中线，动点，分别在线段，上运动，连接，，当的长为 时，线段的和最小． 【答案】2 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识．作于点，连接、，由是周长为的等边三角形，求得，则，由为边上的中线，得垂直平分，则，所以，由可知当且的值最小时，的和最小，此时的和最小，所以当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小，此时，即可得出答案． 【详解】解：作于点，连接、， ∵是周长为的等边三角形， ∴ ∴ ∵为边上的中线， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴当且的值最小时，的和最小，此时的和最小， ∴当与重合，且、、三点在同一条直线上时，的和最小， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，以为底边向外侧作等腰三角形，过点C作，交于点F，交于点E．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求证：． 【答案】(1)是等边三角形，理由见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质， （1）先由是等边三角形，可得，由平行线的性质可得可得结论； （2）由，，得是的垂直平分线，由，，得，进而证得；由等边三角形的性质和平行线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， 理由：∵是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形； （2）连接交于点    ∵是等边三角形， ， ∵， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ． ∵ ， 是等边三角形， ， , 即． 6．（23-24九年级上·天津宁河·期中）已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上， (1)旋转中心是点 ，旋转角的大小为 （度）； (2)求 的度数和的长． 【答案】(1)D，60 (2)． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质， （1）根据旋转的概念可得旋转中心；由旋转的性质可得进而得出可得旋转角度； （2）证是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心是点D； 由旋转得 ∵是等边三角形， ∴, ∴ 即旋转角度数为：； 故答案为：，； （2）解：由旋转得， ∵ 由（1）知 ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴． 7．（20-21八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，平分，交于点C，且，过C作交于点E，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∴是边的中线， ∵是等边三角形， ∴． 8．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）如图所示，在等边中，，点P从点C出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点A以的速度移动．P，Q两点同时出发，它们移动的时间为． (1)你能用含t的式子表示和的长度吗？请你表示出来． (2)出发几秒时，第一次为等边三角形？ (3)若P，Q两点分别从C，B两点同时出发，并且按顺时针方向沿三边运动，请问经过几秒时点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)，； (2)； (3)经过后，点P与点Q在边上第一次相遇； 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及等边三角形的性质和判定、方程思想等知识． （1）本题考查列代数式，根据路程等于速度乘以时间即可得到答案； （2）本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定列式求解即可得到答案； （3）本题考查一元一次方程解决顶点问题，根据相遇问题直接列式求解即可得到答案； 该题为运动型题目，解决这类问题的关键是化“动”为“静”，即用时间和速度表示出线段的长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵点P的速度为，移动时间为， ∴， ∴， ∵点Q的速度为，移动时间为， ∴； （2）解：若为等边三角形，则有， 即，解得， ∴出发时，第一次为等边三角形； （3）解：设时，点Q与点P第一次相遇，根据题意得， ，解得， 经过后，点P与点Q第一次相遇， 当时，点P移动的路程为， 而，即此时点P在边上， ∴点P与点Q在边上第一次相遇． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 10．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②当为或或时，是等腰三角形． (2)当，或，或，时，是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论． （1）①利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形； ②分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解； （2）分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， 理由如下：∵绕点C按顺时针方向旋转得， ∴，， ∴是等边三角形； ②当为或或时，是等腰三角形． ∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． （2）∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时， ∴， ∴， ∴，； ②，时， ∴， ∴， ∴，； ③，时， ∴， ∴，， ∴，；， ∴当，或，或，时，是等腰直角三角形． 11．（23-24八年级上·吉林松原·期中）中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），使，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，则是______三角形； (2)若． ①如图2，当点D在线段上移动，判断的形状并证明； ②当点D在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边； (2)①为等腰三角形，证明见解析；②为等腰三角形，图见解析． 【分析】（1）根据题意推出和为等边三角形，然后通过求证，结合平行线的性质，即可推出为等边三角形； （2）①根据（1）的推理依据，即可推出为等腰三角形； ②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证，推出等量关系，即可推出为等腰三角形． 【详解】（1）解：， 和为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵在中，， 为等边三角形； （2）解：①为等腰三角形， ， 和为等腰三角形， ， ， ， ， ， ∵在中，， 为等腰三角形； ②为等腰三角形， 如图，点D为射线上一个动点（不与B，以为一边向的左侧作，，交直线于点F． 为等腰三角形， ， 和为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， 为等腰三角形．    【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论． 12．（22-23七年级下·贵州六盘水·期末）在中，点D在的边上．    (1)【探究发现】 如图①，当时． 若，则，， 若，则______°，______°； 请直接写出与的数量关系______； (2)【问题解决】 如图②，当，时，作，垂足为点E，若，，求的长． (3)【拓展延伸】 如图③，当平分，时，若与的面积之比为，求． 【答案】(1) (2)11 (3) 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的内角和定理以及外角的性质，进行求解即可； （2）根据，得到是等腰三角形，三线合一求出的长，根据，推出，利用即可得解； （3）角平分线的定义以及外角的性质，得到，，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作，交于点，证明为等边三角形，再利用三角形的内角和定理，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 作，交于点，则：，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$