专题04 等腰三角形的性质与判定的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题04 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 2 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 3 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 7 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 11 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 14 压轴能力测评（10题） 19 解题知识必备 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 压轴题型讲练 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【变式训练1】如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【变式训练2】如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【变式训练3】如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【变式训练1】如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【变式训练2】如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级上·新疆昌吉·阶段练习）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ． 4．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 8．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数． (2)当时，补全图2，并求证：． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 2 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 3 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 7 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 11 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 14 压轴能力测评（10题） 19 解题知识必备 1.等腰三角形的有关定义 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角. (1)顶角是 直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底，还是腰，角没有明确是顶角还是底角,需要分类讨论. 2.等腰三角形的性质 (1)性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). 应用模式:在△ABC中, :AB=AC.∠B=∠C. ①这是等腰三角形的重要性质,它是证明角相等常用的方法,它的应用可省去三角形全等的证明，因而更简便.②应用这个性质时,必须在同-一个三角形中. 3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形. (2)如果-一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边").“等角对等边"是证明一个三角形是等腰三角形的常用方法. 压轴题型讲练 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 例题：（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 【变式训练1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的另一边长为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．注意分别从腰长为3与底边长为3去分析求解是关键． 分别从腰长为3与底边长为3，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：若腰长为3，则底边长为：， ∵， ∴不能组成三角形，舍去； 若底边长为3，则腰长为：， ∵， ∴能组成三角形， ∴该等腰三角形的腰长为5． 故答案为：5． 【变式训练2】（23-24七年级下·山东聊城·期末）已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，不能构成三角形； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形； 所以等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键． 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为． 所以三角形的周长为20， 故答案为：20． 类型二、根据等腰三角形等边对等角求角的度数 例题：（23-24八年级下·安徽宿州·期末）等腰三角形有一个角度数为，则这个等腰三角形的底角的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）等腰三角形的两个内角的度数之比是，则它顶角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和，设等腰三角形两个内角度数分别为，根据三角形的内角和分两种情况列方程求解即可，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键 【详解】解：设等腰三角形两个内角度数分别为， 当顶角度数为时，可得， 解得， ∴顶角的度数为； 当顶角度数为时，可得， 解得 ∴顶角度数为 故答案为或 【变式训练2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 【变式训练3】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 例题：（23-24七年级下·陕西渭南·期中）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 【变式训练1】（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形； 当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形； 故答案为：． 【变式训练2】（23-24七年级下·四川成都·期末）定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 【变式训练3】（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 例题：如图，点，在的边上，，    (1)若求的度数； (2)求证： 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ， ∴， （2）过点作于.    ∵， ∴， ∴. 【变式训练1】如图，在中，，平分并交于点，则 ．    【答案】10 【详解】解：，平分， ， ， 故答案为：10． 【变式训练2】如图，在中，，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【详解】（1）解：线段与的长相等，理由如下： 连接，如图所示：      ∵，是边上的高， ∴， ∴为的垂直平分线， ∵点在上， ∴， 又∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是边上的高， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 【变式训练3】如图，点D、E在的边上，，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点，利用等腰三角形三线合一的性质得到,相减后即可得到正确的结论. （2）由等腰三角形三线合一的性质得到，，即可得到，设，根据三角形的内角和定理可得，解题即可． 【详解】（1）过点作于.    ∵. ∴, ∴. （2）∵，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 根据三角形的内角和可得， 解得：， ∴， 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解答此题的关键． 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 例题：如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 【变式训练1】如图，在中，，D为延长线上一点，于点E，交于点F．    (1)求证：是等腰三角形 (2)若，求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式训练2】如图，在中，，，分别交、于点、，点在的延长线上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，当，，的周长为时，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，然后推出，，结合已知条件，得到结论． （2）根据等腰三角形的三线合一，得到，根据的周长，利用已知条件，求出答案． 【详解】（1）证明：根据题意得： 在中，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）解：如图，连接， 当时， ， ， 的周长，，， 的周长的周长． 【变式训练3】（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是 ，的周长是    （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【答案】（1）5；；20；（2）2；，周长为18；（3） 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【详解】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ∵， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ∵， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证． 设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图所示, 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：B． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可得：，，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．（23-24八年级上·新疆昌吉·阶段练习）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为 ；等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 根据等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°即可得出答案． 【详解】解：等腰三角形的顶角等于，两底角相等， 一个底角等于：； 等腰三角形的底角等于，两底角相等， 顶角等于：． 故答案为：；． 4．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 6．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 7．（23-24八年级上·安徽六安·期末）如图，点D、E在的边上，，． (1)求证：． (2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形． 【答案】(1)详见解析 (2)除与外所有的等腰三角形为： 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可； （2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点F， ， ， ， ， ； （2）证明：解：， ， ， ， ， ， ， ， 除与外所有的等腰三角形为：． 8．（23-24八年级上·安徽六安·期末）在等腰中，，高所在的直线相交于点F，将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上，连接． (1)如图1，当时， ①求证：； ②求的度数． (2)当时，补全图2，并求证：． 【答案】(1)①详见解析；② (2)详见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形中的翻折问题，熟练掌握翻折的性质以及全等三角形的判定是解题的关键． （1）①根据题意证明即可得到结论； ②根据全等三角形的性质以及翻折的性质证明是等腰直角三角形，即可得到答案； （2）根据题意补全图形，根据题意证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①证明：是的高，， ， 是的高， ， 在和中， ， ， ； ②解：如图： 由①知：， ， 将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上， ， ， 故是等腰直角三角形， ； （2）解：补全图形如下： ， ， 是的高， 是等腰直角三角形， ， 是的高， ， ， ， ， ， 将沿直线翻折，点C的对称点落在直线上， ， ， ， ， ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在中，，是中线，若，则的度数为_______； 【数学应用】如图②，在和中，，，、分别为和的中线，若，，求的度数； 【拓展】如图③，在和中，，，、分别为和的中线，与交于点O，若，则的度数为_______． 【答案】数学知识：；数学应用：；拓展： 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三线合一性质， 数学知识：根据等腰三角形的性质得，由三角形内角和定理求得，利用“三线合一”性质即可求得答案； 数学应用：由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合角度之间的关系即可求得答案； 拓展：由等腰三角形的性质和三线合一性质得和，结合三角形内角和定理得和，再次结合三角形内角和定理得到即可求得答案． 【详解】解：数学知识：∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 故答案为：． 数学应用：，，、分别为和的中线， ，， ， ； 拓展：∵，， ∴和是等腰三角形， ∵、分别为和的中线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期中）【问题情境】 如图①，的内角，的平分线交于点D． 【建立模型】 如图①，的内角，的平分线，交于点． 【建立模型】 （1）如图②，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． （2）如图③，在图①的基础上，过点作直线，延长和，分别交于点，，若，，请你直接写出的长度（不需要证明）． 【类比探究】 如图④，的内角的平分线，与它的外角的平分线交于点，过点作的平行线分别交，于点，．请你写出与，的数量关系并证明． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）先由角平分线定义得，，再由平行线的性质得，，则，，证出，，进而得出结论； （2）同（1）证出，，进而得出结论； （3）同（1）证出，，进而得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图②， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 即； （2）；理由如下： 如图③， 和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，， ； （3），理由如下： 如图④， 的平分线与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定、角平分线定义、平行线的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义，证明三角形为等腰三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$