专题02不等式（真题5个考点精准练+精选模拟练）-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（上海专用）

专题02不等式（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考3题 2024年春考6,13题 一元二次不等式及其应用 基本不等式及其应用，不等式的性质 2023秋考1题 2023春考3题 绝对值不等式 2022秋考14题 2022春考3，19题 基本不等式及其应用 分式不等式，基本不等式及其应用 2021年春考4题 分式不等式 2020年秋考13题 基本不等式及其应用 一．等式与不等式的性质（共1小题） 1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 二．不等关系与不等式（共2小题） 2．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 三．基本不等式及其应用（共6小题） 4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•上海）已知，的最小值为 　　． 6．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 7．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 8．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则　　． 9．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到 （1）若，求的长； （2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？ 四．其他不等式的解法（共3小题） 10．（2022•上海）不等式的解集为 　　． 11．（2021•上海）不等式的解集为 　　． 12．（2020•上海）不等式的解集为　　． 五．一元二次不等式及其应用（共1小题） 13．（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　　． 一．选择题（共11小题） 1．（2024•黄浦区校级模拟）若，，且，则下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•青浦区二模）函数的最小值是　　 A．4 B．5 C． D． 3．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•闵行区校级三模）已知，那么下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•杨浦区二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 7．（2024•浦东新区二模）已知，则下列结论不恒成立的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•虹口区模拟）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 9．（2024•普陀区校级模拟）已知集合，则　　 A． B． C． D． 10．（2024•长宁区校级三模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，，共个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” 应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” 应是　　 A． B． C． D． 11．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共29小题） 12．（2024•奉贤区三模）若，则有最大值为 　　． 13．（2024•浦东新区校级模拟）设集合，则　　． 14．（2024•浦东新区校级四模）已知集合，，0，，则　　． 15．（2024•杨浦区校级三模）关于的不等式的解集为 　　． 16．（2024•闵行区校级模拟）不等式的解集为 　　． 17．（2024•黄浦区校级三模）若，，且，则的最大值是 　　． 18．（2024•闵行区三模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 　　． 19．（2024•普陀区模拟）若实数，满足，则的最小值为 　　． 20．（2024•浦东新区校级模拟）不等式的解集是 　　． 21．（2024•普陀区校级三模）已知集合，1，2，3，，，则中的元素个数为 　　． 22．（2024•浦东新区校级模拟）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 23．（2024•浦东新区三模）已知全集，集合，则　　． 24．（2024•长宁区校级三模）已知集合，1，，，则　　． 25．（2024•黄浦区校级三模）已知全集，集合，则　　． 26．（2024•闵行区二模）已知正数、满足，则的最大值是 　　． 27．（2024•浦东新区三模）设正数，满足，则的最小值为 　　． 28．（2024•徐汇区模拟）若正数、满足，则的最小值为 　　． 29．（2024•普陀区校级模拟）已知实数、满足，则的最小值为 　　． 30．（2024•松江区校级模拟）设实数、满足，则的最大值是 　　． 31．（2024•静安区二模）在下列关于实数、的四个不等式中，恒成立的是 　　．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 32．（2024•浦东新区二模）已知集合，1，，集合，则　　． 33．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，全集，则　　． 34．（2024•浦东新区校级四模）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 35．（2024•宝山区校级四模）平面点集，，所构成区域的面积为 　　． 36．（2024•黄浦区校级模拟）已知的两共轭虚根为，，且，则　　． 37．（2024•崇明区二模）不等式的解为 　　． 38．（2024•闵行区校级三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为 　　． 39．（2024•长宁区校级三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 　　． 40．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，则的最小值为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02不等式（真题5个考点精准练+精选模拟练） 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考3题 2024年春考6,13题 一元二次不等式及其应用 基本不等式及其应用，不等式的性质 2023秋考1题 2023春考3题 绝对值不等式 2022秋考14题 2022春考3，19题 基本不等式及其应用 分式不等式，基本不等式及其应用 2021年春考4题 分式不等式 2020年秋考13题 基本不等式及其应用 一．等式与不等式的性质（共1小题） 1．（2022•上海）若，则下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，令，，，，满足，但，故错误， 对于，，即，， 由不等式的可加性可得，，故正确， 对于，令，，，，满足，但，故错误， 对于，令，，，，满足，但，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题． 二．不等关系与不等式（共2小题） 2．（2024•上海），，，，下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【解答】解：对于，若，则，选项不成立，故错误； 对于，，， 由不等式的可加性可知，，故正确． 对于、，若，则选项不成立，故、错误． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 3．（2021•上海）已知两两不相等的，，，，，，同时满足①，，；②；③，以下哪个选项恒成立　　 A． B． C． D． 【分析】设，，，根据题意，则有，可得，通过求解，可得，可得正确，错误；利用作差法可得，而上面已证，因无法知道的正负，可得该式子的正负无法恒定，即无法判断，即可得解． 【解答】解：设， ，，， 根据题意，应该有， 且， 则有， 则， 因为， 所以， 所以项正确，错误． ，而上面已证， 因为不知道的正负， 所以该式子的正负无法恒定． 故选：． 【点评】本题主要考查不等关系与不等式的应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题． 三．基本不等式及其应用（共6小题） 4．（2020•上海）下列不等式恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用恒成立，可直接得到成立，通过举反例可排除． 【解答】解：．显然当，时，不等式不成立，故错误； ．，，，故正确； ．显然当，时，不等式不成立，故错误； ．显然当，时，不等式不成立，故错误． 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属基础题． 5．（2024•上海）已知，的最小值为 　12　． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：由，，当且仅当，即或时取最小值12， 所以的最小值为12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 6．（2022•上海）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解． 【解答】解：因为，所以，当且仅当时取等号， 又，所以，故正确，错误， ，当且仅当，即时取等号，故错误， 故选：． 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题． 7．（2023•上海）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 【分析】直接利用基本不等式求出结果． 【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题． 8．（2021•上海）已知函数的最小值为5，则　9　． 【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件． 【解答】解：， 所以，经检验，时等号成立． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为定值，属于基础题． 9．（2022•上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块，，．为保护处的一棵古树，有关部门划定了以为圆心、为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若架空线入线口为边上的点，出线口为边上的点，施工要求与封闭区边界相切，右侧的四边形地块将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到，计算面积精确到 （1）若，求的长； （2）当入线口在上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）作，然后结合锐角三角函数定义表示出， （2）设，结合锐角三角函数定义可表示，，然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求． 【解答】解：（1）作，垂足为， 则； （2）设，则，， ， ， 当且仅当，即时取等号，此时，最大面积为． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题． 四．其他不等式的解法（共3小题） 10．（2022•上海）不等式的解集为 　　． 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解． 【解答】解：由题意得， 解得， 故不等式的解集． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 11．（2021•上海）不等式的解集为 　　． 【分析】由已知进行转化，进行可求． 【解答】解：， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 12．（2020•上海）不等式的解集为　　． 【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式的解集． 【解答】解：由得， 则，即，解得， 所以不等式的解集是， 故答案为：． 【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题． 五．一元二次不等式及其应用（共1小题） 13．（2024•上海）已知，则不等式的解集为 　　． 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可． 【解答】解：可化为， 解得， 故不等式的解集为：． 故答案为：． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属基础题． 一．选择题（共11小题） 1．（2024•黄浦区校级模拟）若，，且，则下列不等式中恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式的使用条件是，． 【解答】解：对于；（当且仅当时，取得等号），所以错误； 对于，，虽然，只能说明，同号，若，都小于0时，所以，错； ， （当且仅当时，取得等号）． 故选：． 【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等． 2．（2024•青浦区二模）函数的最小值是　　 A．4 B．5 C． D． 【分析】利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：因为函数， 而，当且仅当时，等号成立， 此时，因为， 所以时，函数的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题． 3．（2024•浦东新区校级模拟）已知，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据和的关系，通过移项，化简，平方依次判断选项是否正确． 【解答】解：由，且知，则，故错误； ，故错误； 由得，即，故错误； ，即，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题． 4．（2024•闵行区校级三模）已知，那么下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断． 【解答】解：因为， 所以，错误； 由不等式性质可知，，错误； 由可得，，错误； 显然成立，正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题． 5．（2024•杨浦区二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】可举出反例，可根据不等式的基本性质检验选项． 【解答】解：不妨设，，，，此时，错误， ，错误； 因为，，根据不等式的基本性质，同向可加性得到：，正确； ，，，时，，显然错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题． 6．（2024•崇明区二模）若，，则下列不等式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误． 【解答】解：，， ，与大小关系不确定，，与的大小关系不确定． 则下列不等式成立的是． 故选：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．（2024•浦东新区二模）已知，则下列结论不恒成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】配方即可判断的正误；时，不成立；根据绝对值不等式可判断的正误；根据基本不等式可判断的正误． 【解答】解：，恒成立； 时，，不恒成立； ，恒成立； ，当且仅当时取等号，恒成立． 故选：． 【点评】本题考查了配方求二次函数最值的方法，基本不等式的应用，绝对值不等式的应用，是基础题． 8．（2024•虹口区模拟）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【分析】先求出集合，，再利用集合的包含关系判断． 【解答】解：集合，或， ，，． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于基础题． 9．（2024•普陀区校级模拟）已知集合，则　　 A． B． C． D． 【分析】先求解出一元一次不等式、分式不等式的解集为，，然后根据交集运算求解出结果． 【解答】解：因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题． 10．（2024•长宁区校级三模）在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，，共个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值” 应该满足与所有测量数据的差的平方和最小．由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值” 应是　　 A． B． C． D． 【分析】，看成关于的二次函数，即可求解． 【解答】解：根据题意得：， 由于，所以（a）是关于的二次函数， 因此当即时，（a）取得最小值． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题． 11．（2024•松江区二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中．若，是函数的两个零点，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由，为函数的两个零点可得，即可得，结合题意可得． 【解答】解：由，为函数的两个零点，故有， 即恒成立， 故，，则， 由，，为某三角形的三边长，且， 故，且，则，因为必然成立， 所以，即，解得， 所以，． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的零点，属于中档题． 二．填空题（共29小题） 12．（2024•奉贤区三模）若，则有最大值为 　　． 【分析】结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：， 则，当且仅当时，等号成立， 故有最大值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题． 13．（2024•浦东新区校级模拟）设集合，则　，　． 【分析】先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：集合， ， 故，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 14．（2024•浦东新区校级四模）已知集合，，0，，则　　． 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：，，0，， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 15．（2024•杨浦区校级三模）关于的不等式的解集为 　　． 【分析】设出，再利用导数研究函数的单调性，即可求解． 【解答】解：设， 则， 故在上单调递减， （1）， 故的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查其他不等式的解法，属于基础题． 16．（2024•闵行区校级模拟）不等式的解集为 　　． 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，以及单调性，即可求解． 【解答】解：， 则，解得， 故所求解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题． 17．（2024•黄浦区校级三模）若，，且，则的最大值是 　　． 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【解答】解：由于，，且， 所以，则，当且仅当时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 18．（2024•闵行区三模）已知两个正数，的几何平均值为1，则的最小值为 　2　． 【分析】由几何平均值的定义得到，利用基本不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，即，故，当且仅当时，等号成立． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 19．（2024•普陀区模拟）若实数，满足，则的最小值为 　2　． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：实数，满足， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查基本不等式的公式，属于基础题． 20．（2024•浦东新区校级模拟）不等式的解集是 　　． 【分析】由对数函数的单调性可出原不等式的解集． 【解答】解：因为函数在上为增函数，由可得． 因此，不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数单调性在不等式求解中的应用，属于基础题． 21．（2024•普陀区校级三模）已知集合，1，2，3，，，则中的元素个数为 　3　． 【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素个数． 【解答】解：由，得，所以， ，1，，故中的元素共有3个． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题． 22．（2024•浦东新区校级模拟）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可． 【解答】解：当时，不等式为，显然不符合题意； 当时，因为关于的不等式的解集为， 所以有， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查一元二次不等式及其应用，属于基础题． 23．（2024•浦东新区三模）已知全集，集合，则　　． 【分析】先求出集合，然后结合集合的补集运算即可求解． 【解答】解：因为，集合或， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题． 24．（2024•长宁区校级三模）已知集合，1，，，则　，　． 【分析】由已知结合集合交集运算即可求解． 【解答】解：因为集合，1，，， 则，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题． 25．（2024•黄浦区校级三模）已知全集，集合，则　，　． 【分析】根据已知条件，结合补集的运算，即可求解． 【解答】解：全集，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 26．（2024•闵行区二模）已知正数、满足，则的最大值是 　　． 【分析】直接利用均值不等式计算得到答案． 【解答】解：正数、，则，故， 当且仅当，即，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 27．（2024•浦东新区三模）设正数，满足，则的最小值为 　　． 【分析】正数，满足，可得，展开，再利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：正数，满足，可得 ，当且仅当，时即：，取等号． 因此的最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 28．（2024•徐汇区模拟）若正数、满足，则的最小值为 　　． 【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为正数、满足， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 29．（2024•普陀区校级模拟）已知实数、满足，则的最小值为 　　． 【分析】由已知结合基本不等式及指数的运算性质即可求解． 【解答】解：因为， 则， 当且仅当且，即，时取等号，此时最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，还考查了指数的运算性质，属于基础题． 30．（2024•松江区校级模拟）设实数、满足，则的最大值是 　　． 【分析】易知，利用完全平方和公式，再结合基本不等式，即可得解． 【解答】解：因为，所以， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 31．（2024•静安区二模）在下列关于实数、的四个不等式中，恒成立的是 　②③④　．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【分析】根据基本不等式可判断①不成立；作差比较法可判断②④是否成立；根据绝对值不等式的性质可判断③成立． 【解答】解：，时，不成立，①不成立； ，，②成立； ，③成立； ，，④成立． 故答案为：②③④． 【点评】本题考查了基本不等式的条件，绝对值不等式的性质，作差比较法的运用，是基础题． 32．（2024•浦东新区二模）已知集合，1，，集合，则　　． 【分析】求出集合，利用交集定义能求出． 【解答】解：集合，1，，集合， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 33．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合，全集，则　或　． 【分析】先求出集合，再利用补集运算求解． 【解答】解：由可得且， 解得， 即， 又因为全集， 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题． 34．（2024•浦东新区校级四模）已知正实数、满足，则的最大值为 　　． 【分析】直接利用基本不等式求出结果． 【解答】解：正实数、满足，则，当且仅当，时等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题． 35．（2024•宝山区校级四模）平面点集，，所构成区域的面积为 　　． 【分析】由已知结合圆的性质即可求解． 【解答】解：是在圆心为，半径为3的圆上， 而到原点的距离为1，则是在圆上运动， 的半径为1，再加上的半径即为最大半径，则最大圆的半径为4． 故面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了圆的性质的应用，属于基础题． 36．（2024•黄浦区校级模拟）已知的两共轭虚根为，，且，则　3　． 【分析】由根与系数关系有，设，且，结合题设和复数模长、乘法运算求参数． 【解答】解：由题设，可令，且， 所以， 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查二次方程根与系数的关系的应用及复数模长的求法，属于基础题． 37．（2024•崇明区二模）不等式的解为 　　． 【分析】利用一元二次不等式的解法求解． 【解答】解：解不等式，得， 即不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 38．（2024•闵行区校级三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为 　　． 【分析】可先设，，由已知结合基本不等式可求出的范围，然后结合指数幂的运算性质及二次函数的性质即可求解． 【解答】解：不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即， 所以 ，， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，属于中档题． 39．（2024•长宁区校级三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 　8　． 【分析】先判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可得，的关系，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为， 所以，即为奇函数， 因为与都为上递增的函数， 故在上单调递增， 若，，且， 则， 所以，即， ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 40．（2024•浦东新区校级模拟）设，，，则的最小值为　　． 【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：，，， ，当且仅当时取等号， ， 则； 由基本不等式有： ； 当且仅当时， 即：，时，即：或时；等号成立， 故的最小值为； 故答案为： 【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$