精品解析：吉林省长春市二道区长春五十二中赫行实验学校2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题

数学试卷 一．选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 化简的结果是(　　) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 4. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 如图，在 中，点D，E分别是 的中点，连接．下列线段中，是 的中位线的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则 和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，点在边上，且．按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以 长为半径画弧，交于点 ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点 ④连结并延长，交于点． 则一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是______． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 11. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 12. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______个单位长度． 14. 如图，是正方形的对角线 上一点， 于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是 ．其中正确的结论是______．（填序号） 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 解方程： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，以线段为边画一个面积是6的平行四边形． （2）在图②中，以线段为边画一个面积是4的菱形． （3）在图③中，以线段为边画一个面积是5的正方形形． 19. 如图，在中，过点D作于点E， ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形面积为20，且，则的长度是______． 20. 巴中市某中学开展了“预防溺水，珍爱生命”的安全知识竞赛，先从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组） A． B． C． D． 其中，七年级名学生的成绩是： 八年级名学生的成绩在C组中的数据是： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中______年级成绩更稳定； （2）直接写出上述a，b，c的值：______， ______， ______； （3）该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（ ）的八年级学生人数是多少？ 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从的高空落到地面的时间______s； （2）若物体从高空落到地面的时间为，则从高空落到地面的高度 ______m； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗?（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 22. [教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和 相交于点O． 求证：． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． [性质应用]如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边 分别相交于点E、F．则线段与 的数量关系是______． [拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接，若的周长是13，则的周长是______． 23. 如图，在 中， ，，，点为的中点．点为边上一动点，点与点不重合，连接，以，为邻边作．设． （1） 中边的高为______； （2）当点M落在边上时．求x的值； （3）点到直线的距离为 　　；连接，求线段的最小值； （4）当是轴对称四边形时，直接写出x的值． 24. 如图，已知一次函数的图象经过点与，点为直线上一点，横坐标为，点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． （1）直接写出直线的函数关系式为______； （2）当时，求线段的长； （3）求正方形的边长长（用含的代数式表示）； （4）当正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一．选择题（本题共8小题，每题3分，共24分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，即分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式有意义 ∴ 即 故选：D． 2. 生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（，）是种能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称．已知某种球状乳酸菌的直径仅为0.0000006米，将该数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：B． 3. 化简的结果是(　　) A. 5 B. -5 C. ±5 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据开平方的运算法则计算即可． 【详解】解：==5， 故选：A． 【点睛】本题考查了开平方运算，关键是掌握基本的运算法则． 4. 小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（ ） A. 有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 有两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移，平行四边形的判定，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】根据平移的性质，得到， 故选：C． 5. 如图，在中，点D，E分别是 的中点，连接．下列线段中，是的中位线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线的概念判断即可．本题考查的是三角形的中位线，连接三角形任意两边中点的线段，叫做三角形的中位线． 【详解】解： 点，分别是，的中点， 是的中位线， 故选：A． 6. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形 ∴，， ∴ ， ∴和的周长之比为， 故选：C． 7. 如图，在中，点 在边上，且．按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点 为圆心，以长为半径画弧，交于点 ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点 ④连结并延长，交于点 ． 则一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质．由作图可知：，推出 ，利用平行线的性质证出即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：， ∴ ， ∴， ， ， ， 故选：A． 8. 近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴配制一副度数小于500度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是， 故选：A． 二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 分式和的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的概念解答即可．本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：分式和的最简公分母是， 故答案为：． 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0， ∴x≥1， 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0． 11. 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数t的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得 ，求解即可． 【详解】 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程的根与有如下关系：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次降价的百分率是 ，结合题意，列出相应的一元二次方程即可． 【详解】设平均每次降价的百分率是 ，根据题意，得： 根据题意，得：， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______个单位长度． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据“点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值”求解即可． 【详解】解：点到y轴的距离是， 故答案为：． 14. 如图， 是正方形的对角线上一点， 于点，于点，连接，给出下列结论：①；②；③；④若正方形的边长是，则的最小值是 ．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形的性质，得出，结合，得出，由勾股定理列式，再证明四边形为矩形，则，故；利用正方形的性质，得证，则 ，因为四边形为矩形，进行边的等量代换，故；先作图：延长交于点，延长交于点，再证明四边形为正方形，则，，得出，然后证明，再进行角的等量代换得，因为，故当取最小值时，取得最小值，因为点 是对角线上一点，根据垂线段最短，则当，即点 为对角线的中点时，的值最小；本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用正方形和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形， ， ， ∴ ， ，，， 四边形为矩形， ， ． ②的结论正确； 连接，如图 四边形为正方形， ， ， 在 和 中， ， ， ， 四边形为矩形， ， ． ①的结论正确； 延长交于点，延长交于点，如图， 四边形为正方形， ，， ，， ， 四边形为正方形， ，， ． ， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ③的结论正确； ， 当取最小值时，取得最小值， 点 是对角线上一点， 当，即点 为对角线的中点时，的值最小，此时， 的最小值为， ④的结论不正确， 综上，正确结论的序号为：①②③， 故答案为：①②③． 三．解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加法即可； （2）根据二次根式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ，． （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． （2）利用公式法对所给方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程公式法及解一元二次方程直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解： ， ， ∴ ，． 【小问2详解】 解：， 则， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，先算分式的减法运算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵， ∴原式 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上，只用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法． （1）在图①中，以线段为边画一个面积是6的平行四边形． （2）在图②中，以线段为边画一个面积是4的菱形． （3）在图③中，以线段为边画一个面积是5的正方形形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作一个底为3 ，高为2的平行四边形即可； （2）作一个对角线为2、4的菱形即可； （3）作一个边长为的正方形即可． 【小问1详解】 解：根据底×高，作一个底为3 ，高为2的平行四边形即可，如图， 【小问2详解】 解：根据对角线的乘积，作一个对角线为2、4的菱形即可，如图， 【小问3详解】 解：∵， 作一个边长为的正方形即可，如图， 【点睛】本题考查作平行四边形和菱形、正方形，利用面积公式求解是关键． 19. 如图，在中，过点D作于点E， ，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形面积为20，且，则 的长度是______． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据含一个角为直角是平行四边形证明四边形是矩形． （2）根据矩形面积为20求出，结合，根据勾股定理求出，得出答案即可． 本题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练矩形的判定方法． 【小问1详解】 证明： 四边形为平行四边形， ，． 又， ， 四边形是平行四边形， 又 ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ． ， 又 ， ． 又， ． 20. 巴中市某中学开展了“预防溺水，珍爱生命”的安全知识竞赛，先从七、八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩（百分制），进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组） A． B． C． D． 其中，七年级名学生的成绩是： 八年级名学生的成绩在C组中的数据是： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 b 八年级 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次比赛中______年级成绩更稳定； （2）直接写出上述a，b，c的值：______，______， ______； （3）该校八年级共人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（ ）的八年级学生人数是多少？ 【答案】（1）八 （2），， （3）人 【解析】 【分析】（1）由，可知八年级成绩更稳定； （2）由题意知，C组所占百分比为，根据，求解即可；由题意知，，由八年级组有4人，可知中位数落在组为，求解作答即可； （3）根据，求解作答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴八年级成绩更稳定， 故答案为：八； 【小问2详解】 解：由题意知，C组所占百分比为， ∴，即 ； 由题意知，， ∵八年级组有4人， ∴中位数落在组为， 故答案为：，， ； 【小问3详解】 解：∵， ∴估计参加此次活动成绩优秀（ ）的八年级学生人数是人． 【点睛】本题考查了扇形统计图，方差与稳定性，中位数，众数，用样本估计总体等知识．熟练掌握扇形统计图，方差与稳定性，中位数，众数，用样本估计总体是解题的关键． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从的高空落到地面的时间______s； （2）若物体从高空落到地面的时间为，则从高空落到地面的高度 ______m； （3）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量高度，某质量为的鸡蛋经过落在地上，这个鸡蛋在下落过程中会伤害到楼下的行人吗?（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1） （2）45 （3）会伤害到楼下的行人 【解析】 【分析】（1）把代入公式即可， （2）把 代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论． （3）求出，代入能量计算公式即可求出． 本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当 时，， ； 故答案为：45； 【小问3详解】 解：当 时，，， 鸡蛋产生的能量． 故此时鸡蛋都能砸伤人，会伤害到楼下的行人． 22. [教材呈现]如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容． 平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分． 我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图的对角线和相交于点O． 求证：． 请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程． [性质应用]如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边 分别相交于点E、F．则线段与的数量关系是______． [拓展提升]在[性质应用]的条件下，连接，若的周长是13，则的周长是______． 【答案】[教材呈现]见详解；[性质应用]；[拓展提升] 26 【解析】 【分析】教材呈现由平行四边形的性质得出， ，则，，再由证得，即可得出结论（证明方法不唯一）； 性质应用由平行四边形的性质得出，，则 ，，再由证得，即可得出结论； 拓展提升由，得出 ，，易证是等腰三角形，得出，则，推出的周长，再由平行四边形的性质即可得出结果． 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】教材呈现证明： 四边形是平行四边形， ， ， ，， 在和中， ， ， ，（证明方法不唯一）； 性质应用 证明：，过程如下： 四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； 拓展提升解：如图2，， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 的周长， 四边形是平行四边形， ，， 的周长， 故答案为：26． 23. 如图，在中， ，，，点 为的中点．点为边上一动点，点与点不重合，连接 ，以 ，为邻边作．设． （1）中边的高为______； （2）当点M落在边上时．求x的值； （3）点 到直线的距离为 　　；连接，求线段的最小值； （4）当是轴对称四边形时，直接写出x的值． 【答案】（1）8 （2） （3）4，的最小值是4 （4）或 【解析】 【分析】（1）作出边上的高，在直角三角形中解决问题． （2）先求出边长，当点 落在边上时，为的中点，问题可以就此得到解决． （3）过点 向作垂线，垂足为 ，利用证明三角形全等解决问题． （4）当是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，分两种情况来分析，解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点向作垂线，垂足为． 在直角三角形 中，， ∴， ∴． 故答案为8． 【小问2详解】 解：如图1，在直角三角形 中， ，， ∴． ∴． 当 落在边上时的情况如图2． 四边形是平行四边形， ．， ∴， 是的中点， ∴， ∴， ∴， ． 【小问3详解】 解：如图，过点 向作垂线，垂足为 ，过点P作于G，过点P作于H，连接． ∴， ， 是的中点， ． 四边形是平行四边形， ，． ． ∵点 为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴； 连接后，在点 的运动过程中， 若、 、 三点能够组成三角形，始终是直角三角形 的斜边，． 只有、 两点重合时，的值最小，即． 【小问4详解】 解：当是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． 当四边形是菱形时，如图3，过点 作的垂线，垂足为，过P作于K． ， ， ，四边形是矩形． ； 由（3）知，， ∴， ∴ ； 是的中点． ． 四边形是菱形， 是的中点， ． 则三角形 为等腰三角形，是底边上的高，也是底边上的中线． ∴． 如图3，当四边形是矩形时，可得，于是． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，要注意运用题目中的平行、垂直等条件，通过构造直角三角形解决问题． 24. 如图，已知一次函数的图象经过点与，点 为直线上一点，横坐标为，点为平面内一动点，当点不在直线上时，以 为边向左作正方形． （1）直接写出直线的函数关系式为______； （2）当时，求线段 的长； （3）求正方形的边长 长（用含的代数式表示）； （4）当正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）设直线的解析式为： ，将点和点坐标代入得出方程组，进一步得出结果； （2）求得当时，点 和点坐标，进而得出结果； （3）表示出点 和点坐标，进而得出结果； （4）分两种情形：当时，设交于，交于时，满足条件，即当在上时，可表示出，从而得出，，根据得出结果，同样得出当的结果． 本题考查了求一次函数的解析式，不等式组以及坐标与图形，根据一次函数的解析式求值，正方形的性质等知识，解决问题的关键是数形结合，直观观察． 【小问1详解】 设直线的解析式为： ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 当时，， ， ， ； 【小问3详解】 ，， ； ∴或 【小问4详解】 如图1， 当时，， ， ，， 设直线的解析式为：， 把代入，得出 ∴ 直线的解析式为： ， 当时， 设交于，交于时，满足条件，即当在上时， ， ， ， ， ，， ， ， 如图2， ，， ， ， ，， ， ， 又 ， ， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $