精品解析：天津市第四十七中学2024届高三下学期高考模拟数学试题

天津市第四十七中学2023-2024第二学期高三年级 高考模数学试卷 第I卷 选择题（共45分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 2. 设为直线，为平面，则的一个充要条件是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 平行内无数条直线 C. 垂直于的直线都垂直于 D. 存在一个与平行的平面经过 3 已知，，，则（ ） A B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 直线过双曲线右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 9. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共105分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上） 10. 复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 11. 在的二项式展开式中，的系数为______． 12. 已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为_________. 13. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 14. 已知正项数列前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则______，的最小值为______. 15. 已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________． 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 17. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值; （3）求点到平面的距离. 18. 已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B. （1）求的方程； （2）若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值； （3）设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值. 20. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，试比较的大小关系，并说明理由； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市第四十七中学2023-2024第二学期高三年级 高考模数学试卷 第I卷 选择题（共45分） 一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分） 1. 已知全集，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 2. 设为直线，为平面，则的一个充要条件是（ ） A. 内存在一条直线与平行 B. 平行内无数条直线 C. 垂直于的直线都垂直于 D. 存在一个与平行的平面经过 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合直线与平面平行，以及平面与平面平行的判定及性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由内存在一条直线与平行，则或，所以A不正确； 对于B中，由平行内无数条直线，则或，所以B不正确； 对于C中，由垂直于的直线都垂直于，则或，所以C不正确； 对于D中，如图所示，由，在直线上任取一点作直线，使得， 因为且平面，所以，即充分性成立； 反之，若存在一个与平行的平面经过，根据面面平行的性质，可得，即必要性成立，所以D正确. 故选：D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数，指数函数，三角函数的单调性比较与1和0的大小关系，即可得出答案. 【详解】，即， ，即， ，即， 则． 故选：A. 4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由给定的函数的图象，结合函数的单调性与奇偶性性质，结合排除法，即可求解. 【详解】对于A中，函数，当时，可得， 所以，不满足图象，所以A错误； 对于C中，函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数， 此时函数的图象关于轴对称，所以C错误； 对于D中，函数，当时，可得， 由反比例函数的性质，可得函数在上为单调递减函数，所以D错误， 经检验，选项B中函数满足图中的性质，所以B正确. 故选：B. 5. 图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象确定的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据平移变换逐一验证选项即可得到结果． 【详解】函数的部分图象，可得， ，，则， 又，,则， 故． 对A, 向右平移个单位长度,得到，故A错误； 对B, 向右平移个单位长度,得到，故B错误； 对C, 向左平移个单位长度,得到，故C正确； 对D, 向左平移个单位长度,得到，故D错误. 故选：C． 6. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】A 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可判断选项A，利用正态分布的性质即可判断选项B，根据线性相关系数的性质即可判断选项C，利用线性回归方程中的基本量即可判断选项D. 【详解】对A：因为，所以第百分位数为,A错误； 对B：若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，B正确； 对C：若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确. 故选：A 7. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖．如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出示意图，根据线段数量关系即可求解. 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：D. 8. 直线过双曲线的右焦点，且与的左、右两支分别交于A，B两点，点关于坐标原点对称的点为，若，且，则的离心率为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得，，利用勾股定理计算即可得解. 【详解】如图所示，取双曲线左焦点，设，则， 由双曲线定义可得，又、关于原点对称， 故，，， 则， 由，故，故有， 化简可得，即有，， 由，则有，即， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设，从而借助双曲线定义将其它边表示出来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与、有关的齐次式，得到离心率. 9. 在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 第Ⅱ卷 非选择题（共105分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上） 10. 复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数模的定义，可得，运算可得，所以的虚部为1 【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为1. 故答案为：1 11. 在的二项式展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式为，令计算即可求解. 【详解】在的二项式展开式中，通项公式为， 令，解得，所以的系数为． 故答案为： 12. 已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆外切，圆心距离等于半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由得， 将化为标准方程，得，， 因为两圆外切，所以，即，解得. 到直线的距离，如下图： 则直线被圆所截的弦长. 故答案为：. 13. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式和条件概率，即可求出所求概率. 【详解】设A=“甲调配出绿色”，B=“乙调配出紫色”， 因为等量黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶， 所以， 因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料， 则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶， 因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以. 故答案为：， 14. 已知正项数列的前项和为，，若存在非零常数，使得对任意的正整数均成立，则______，的最小值为______. 【答案】 ①. 1 ②. ##0.5 【解析】 【分析】先代入可计算出的值，然后由与的关系再写一项做差，得到的递推式，结合可解出的值；由递推式和的值可求出数列的通项公式以及，换元法结合对勾函数或构造函数求导判断单调性都可求出最值. 【详解】当时，，即，又，所以. 由①，得：当时，②，①②得，故， 所以数列是以1为首项，为公比等比数列， 所以，则，解得； 故数列的公比为2，，则，，则. 解法一 令，则，， 由对勾函数的性质可得在区间上单调递增， 所以当，即时，取得最小值. 解法二 令，则，单调递增， 所以当时，取得最小值，即的最小值为. 故答案为：1， 15. 已知函数．若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]，分类讨论即可﹒ 【详解】的解集为恒成立，且在x≤0时的解集为[－1，0]﹒ (1)当x≤0时，， 为满足题意，其图像应该如图： ∴a≥0； (2)当x＞0时， ①a＝0时，f(x≥0恒成立，满足题意； ②a＞0时，恒成立恒成立(x＞0)， 令，则， 由得，，即时，单调递增， 由得，，即时，单调递减， 时，取得极大值， 时，， ， 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题考查已知分段函数值域求参数范围，关键在于把恒成立问题转化为求函数的最大值(最小值)问题，求函数的最值，可通过导数来研究函数的单调性﹒ 三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）求的值； （2）若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）8；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦二倍角公式及题中条件化简即可； （2）（ⅰ）利用余弦定理结合题中条件解方程即可；（ⅱ）利用两角差的余弦公式结合题中条件计算即可，也可以利用诱导公式利用二倍角公式进行计算. 【小问1详解】 因为， 且，，所以， 所以， 由正弦定理有， 所以． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 由余弦定理得， 解得或（舍），所以的值为8． （ⅱ）因为，又因为， 所以， 法（一）， 因， 所以，所以， ． 法（二）因为，所以， 则 ， 又， 所以． 17. 如图，在三棱柱中，平面，已知，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值; （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得，由勾股定理得，再根据条件及线面垂直的判断定理，即可证明结果； （2）以为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面，再利用两平面夹角的向量法即可求出结果； （3）根据（2）中结果，利用点到面的距离的向量法即可求出结果. 【小问1详解】 在中，因为， 由余弦定理知，得到， 所以，故， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 如图所示，以为轴建立空间直角坐标系， 因，， 则，，，，，, 又点是棱的中点，所以， 设平面的法向量为， ，， 由，得到，取，，得到， 设平面的法向量为， ，， 由，得到，取，，得到， 平面与平面夹角的平面角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的正弦值为 【小问3详解】 因为平面的法向量为，， 所以距离为. 18. 已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，，取值见解析. 【解析】 【分析】（1）利用的关系求得递推公式，变形可得为常数列，然后可得通项； （2）由，根据裂项相消法可得； （3）根据等差中项列式整理可得，由和都为正整数可解. 【小问1详解】 由①，当时，， 当时，②， ①-②得，即， 所以，所以， 当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，， 所以. 【小问2详解】 由，， 则， 所以的前项和为 . 【小问3详解】 由（1）知. 要使成等差数列，则， 即，整理得，  因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，； 当时，； 当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键在于将分裂为，然后根据裂项相消法即可得解. 19. 已知椭圆的长轴长为，离心率为，斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点A，B. （1）求的方程； （2）若直线l的方程为，点关于直线l的对称点N（与M不重合）在椭圆上，求t的值； （3）设，直线PA与椭圆的另一个交点为C，直线PB与椭圆的另一个交点为D，若点C，D和点三点共线，求k的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据长轴，离心率及求出椭圆方程； （2）设点关于直线l的对称点为，列出方程组，求出，代入椭圆方程，求出值，舍去不合要求的值； （3）设和直线PA的方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出，同理设，得到，根据三点共线得到方程，求出答案. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为2c， 因为椭圆的长轴长为，离心率为， 所以，，所以， 所以. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线l的对称点为， 则，解得，则， 由N在椭圆P上，可得， 整理得，解得或. 当时，点与点M重合，舍去， 当时，点，满足要求. 【小问3详解】 设，，，，则，. 又，设PA的斜率为，则，直线PA的方程为， 由消去y并整理得， 则，所以. 又，所以， 所以，则， 同理可求得.又， 则， . 由点C，D和点三点共线，所以， 则， 可得，则. 【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等或转化为向量来进行解决，进而列出方程，代入计算即可. 20. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，试比较的大小关系，并说明理由； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2）；理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导数，求得切线斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论； （3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论. 【小问1详解】 由得，， 所以在处的切线的斜率，切点， 所以所求切线方程为：，即； 【小问2详解】 结论：；理由如下： 要证，即证，只需证， 令， 则， 当时，，，故， 所以在时单调递减， 所以，即， 所以，故； 要证，即证，只需证， 令， 则，令， 则， 当时，，从而， 故， 所以在时单调递减，所以， 从而在时单调递减， 所以，即，即 所以，故， 又因为，所以. 【小问3详解】 令，则 所以在当时单调递减，所以， 所以，即， 令，则有， 即， 所以， ， ， 所以， 所以 ， 所以， 因为， 所以； 下面先证当时，， 令， ，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 从而，即， 当且仅当时，， 所以当时，， 令，则有， 即， 所以， ， ， 所以， 即， 因为 ， 所以， 因为， 所以， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$