专题2.9 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（苏科版）

专题2.9 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】 【苏科版】 【题型1 作中线构造三线合一模型】 1 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 6 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 14 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 20 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 28 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 32 【题型7 旋转构造等腰三角形】 38 方法点拨：作中线构造三线合一模型 遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。 【题型1 作中线构造三线合一模型】 【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）△DEF为等腰直角三角，证明见解析 【分析】（1）先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形； （2）还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=AD． ∴∠B=∠DAC=45°  又BE=AF， ∴△BDE≌△ADF（SAS）． ∴ED=FD，∠BDE=∠ADF． ∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°． ∴△DEF为等腰直角三角形． （2）△DEF为等腰直角三角形． 证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：连接AD， ∵AB=AC， ∴△ABC为等腰三角形， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BD，AD⊥BC（三线合一）， ∴∠DAC=∠ABD=45°． ∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE， ∴△DAF≌△DBE（SAS）． ∴FD=ED，∠FDA=∠EDB． ∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°． ∴△DEF仍为等腰直角三角形． 【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定． 【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查直角三角形斜边中线的性质，四边形内角和定理，等腰三角形的判定与性质有关知识，如图，取的中点，连接，想办法证明，推出进而可解决问题． 【解答】 解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，中，，平分，且求证：． 【答案】证明：如图，取的中点，连接，则． ，． 平分，． 在和中， ． ． ，，， ． ． 又， ． ， ．  本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出≌，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中． 如图，取的中点，连接，则根据证明，得出再根据证，推出即可得出，此题得解． 【变式1-3】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形中，，平分，，求证：． 【答案】解：如图，取中点连接， ， 是等腰三角形， 垂直且平分， ， ， ， 是角平分线， 在和中， ， ， ， 垂直， ， ．  本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的三线合一，正确做出辅助线是解题的关键． 取中点连接，得出垂直且平分，再证明，得出，进而可证明结论． 方法点拨：作垂线构造三线合一模型 遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 【例2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在中，平分，是上一点，，且．    (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， 是的一个外角， ； 故答案为： （2）证明：过点作于点，    平分，， ， 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级·四川自贡·期末）如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且． (1)若，垂足为，求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由，，得，而，，则，，即可根据“”证明，得，再证明，得，则； （2）作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则． 【详解】（1）证明：如图1，，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：如图2，作交的延长线于点，则， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD = 2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 【答案】（1）22.5°；（2）见解析；（3）BD =2OC－BC，见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A＝45°，利用等腰三角形进行解答即可； （2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （3）由BD＝AB−AD，AB＝2CO，AD＝AC＝BC，可得BD＝2CO−BC； 【详解】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB， ∴∠A =∠CBA = 45°， ∵AD = AC， ∴∠ACD = 67.5°， ∴∠BCD =90°－∠ACD = 22.5°； （2）作AH⊥CD于H，如图： ∵BE⊥直线CD于E，AD = AC， ∴CD = 2CH，∠BEC =∠AHC = 90°， ∵∠BCE +∠DCA = ∠HAC +∠DCA = 90°， ∴∠BCE =∠HAC， 在△CBE与△ACH中， ∴△CBE≌△ACH（AAS）， ∴CH = BE，即CD = 2CH = 2BE； （3）如图， 在Rt△ACB中，∵AO = OB， ∴AB = 2OC， ∵BD = AB－AD，AB = 2OC，AD = AC = BC， ∴BD =2OC－BC． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键． 【变式2-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点． (1)如图，当点为线段上的任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (2)如图，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明； (3)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)结论：．理由见解析 (2)结论：，理由见解析 (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）过作于，由“”可证≌，可得，，可得结论； （2）过作交的延长线于，由“”可证≌，可得，，可得结论． （3）过作交的延长线于，由“”可证≌，可得，，可得结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由如下：过作于， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）依题意补全图形，结论：， 理由如下： 过作交的延长线于， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）． 如图，过作交的延长线于， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 方法点拨：构造等腰（直角）三角形 在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 【例3】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：延长交于点设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：． 延长交于点设交于点根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，最大面积为． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式3-1】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积为________． 【答案】  【分析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算；证明三角形全等得出是解决问题的关键．延长交于，由证明≌，得出，得出的面积的面积，的面积的面积，即可得出结果． 【解答】 解：延长交于，如图所示： 平分，垂直于， ，， 在和中， ≌， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积， 故答案为． 【变式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为          ． 【答案】  如图，连接并延长交于点， 是等腰直角三角形，为上的高， 是的垂直平分线， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ，   ． 【变式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年级统考期末）如图，在中，，、为内的两点，平分，，若，，则的长为_______； 如图，，，则的度数为________． 【答案】； ．  【分析】 此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，求得的长是解决问题的关键． 延长交于，延长交于，作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出，，进而得出为等边三角形，为等边三角形，从而得出的长，进而求出答案． 【解答】 解：延长交于，延长交于， ， 为等边三角形， ，， 又， ， ，平分， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【分析】 本题主要考察的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质与判定：有一个角是的等腰三角形是 等边三角形，等边三角形的三个内角都等于解题的关键是熟记全等三角形的性质与判定 延长到使，从而可证明和是等边三角形，即可得到再根据证，即可得，从而得出结论． 【解答】 解：延长到，使，连接， ， ， 又， 是等边三角形， ，， 又，， ， 在和中， ≌， ． 故答案为：． 方法点拨：作平行线构造等腰三角形 作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 【例4】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（　　）    A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过作的平行线交于，通过证明，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于，如图所示：    ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， 在中和中， ， ∴， ∴， ∵于，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式4-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期中）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于 点D．    （1）证明：PD=DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长． 【答案】答案见解析. 【分析】(1）利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE= AC即可． 【详解】   证明：如图1，过点P作PF∥BC交AC于点F； ∵PF∥BC， ∴△APF∽△ABC， 又∵△ABC是等边三角形， ∴△APF是等边三角形， ∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ， ∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ， ∵在△PDF和△QDC中， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ；    （2）解：如图2，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． 由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE= AC，又∵AC=2， ∴DE=1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F． (1)当点D在线段上时，如图所示，求证：． (2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的长为1或3 【分析】（1）过点D作，交于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明，得到，进而推出，再证明，即可证明； （2）分当点D在线段上时，过点E作，交延长线于O，当点D在的延长线上时，过点E作交的延长线于点O，先证明，得到，进而求出，再证明，得到，再根据线段之间的关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：过点D作，交于点G．    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，当点D在线段上时，过点E作，交延长线于O，点D作，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 由（1）得： ∴， ∴， ∵， ∴； 当点D在的延长线上时，过点E作交的延长线于点O，过点D作，如图，      同理可证，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式4-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定，理清角度关系和线段的关系，作出正确的辅助线是解题的关键； （1）由，可得，，由F是的中点，可得，进而可证，由全等的性质即可得证； （2）由和E为边的中点，可证，再由等腰三角形性质和判定，即可得证； （3）由，，得，再由点E是的中点，可证，由全等三角形的性质可得，由平分，结合等腰三角形的判定，可证，由等腰三角形三线合一可得，由，，可得，进而可证，最后可得． 【详解】 （1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵， ∴，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∵，， ∴，，， ，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ，，， ∴， ∴． 方法点拨：倍长中线构造等腰三角形 中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 【例5】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点是的中点，点在上，且求证：． 【答案】证明：延长到，使，连接， 是的中点， ， 在和中 ， ≌． ，． ， ． ， 又， ．  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质；一般证明线段相等大多数是通过全等三角形解决问题，有时没有全等三角形时，可以利用等腰三角形的性质解决问题． 此题要证明，不能通过证明和全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等；那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把和通过作辅助线转化到一个等腰三角形中，而延长到，使，连接就可以达到要求，然后利用全等三角形的判定与性质就可以证明题目的问题． 【变式5-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，根据等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】证明：如图，延长至H，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴． 【变式5-2】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______． 【答案】  【解析】解：延长到，使得，连接，如图所示： ， 是等腰三角形， ， 过点作，交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 延长到，使得，连接，过点作交于点，则是等腰三角形，得出，再证明，，，求出、的长，最后由勾股定理求出的长与的长即可． 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键． 【变式5-3】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 【例6】（23-24春·安徽六安·八年级校考期中）在中，于点，平分，，，则______． 【答案】  解：在上截取，连接， ， ， 即， 设，则， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 在上截取，连接，于是得到，设，则，根据角平分线的性质得到，根据三角形的外角的性质得到，推出，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线构造等腰三角形是解题的关键． 【变式6-1】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）如图，已知平分的外角，为上一点，． 如图，求证：； 判断的形状并证明； 如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【答案】解：证明：如图，设交于点． ，， 又，， 结论：是等腰三角形． 理由：在射线上截取，连接． 平分， ． 在和中， BA=BH,∠ABD=∠HBD,BD=BD, ≌， ，． ， ， ，即为等腰三角形； 如图，作于点． 平分，，， ． 在和中， ≌， ． 在和中， ≌， ， ．  本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题； 在射线上截取，连接，证明≌，得到，再证明即可； 作于点证明，即可． 【变式6-2】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）已知在中，，平分交于点，点在线段上点不与点，重合，且． 如图，若，且，则          ，          ． 如图，求证：；若，且，求的度数． 【答案】(1)54°;99°  (2)①如图，在CB上截取CF，使得FC＝AC，连接EF． 因为CD平分∠ACB， 所以∠1＝∠2． 在△ACE和△FCE中，因为AC＝FC，∠1＝∠2，EC＝EC， 所以△ACE≌△FCE， 所以∠3＝∠4，AE＝FE． 因为∠4＝∠5+∠6， 所以∠3＝∠5+∠6． 因为∠3＝2∠6， 所以∠5＝∠6， 所以FB＝FE． 所以AE＝FB， 所以AE+AC＝FB+FC＝BC． ②如图，连接AF． 因为∠1＝∠2＝30°， 所以∠ACF＝∠1+∠2＝60°． 因为AC＝FC， 所以△ACF是等边三角形， 所以AF＝AC，∠FAC＝60°． 因为AC＝BE， 所以BE＝AF． 在△BFE和△AEF中，因为BF＝AE，FE＝EF，BE＝AF， 所以△BFE≌△AEF， 所以∠6＝∠7． 因为∠7+∠3＝60°， 所以∠6+∠3＝60°． 因为∠3＝2∠6， 所以∠6+2∠6＝60°， 所以∠6＝20°，即∠EBC＝20°.  根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行求解．  利用截取法，构造一个三角形与全等，然后通过长度或角度之间的关系进行求解． 【变式6-3】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明． 【答案】解：、、之间的数量关系是， 证明：在上截取，使得，连接， ，， 且， ； 在和中， ， ，， ， ， ， ， ．  本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．在上截取，使得，连接，证明，得到，，根据，得到，从而得到，则可得． 【题型7 旋转构造等腰三角形】 【例7】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，在等腰直角中，，，、为斜边上的点，，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，， ， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 由旋转的性质得，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ； 故选：． 首先求出，然后将绕点逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，，，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后勾股定理得出，由此即可解决问题． 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键． 【变式7-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，中，，是内一点，连接、、，，求证． 【答案】解：将顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接 ， ，， ， ， ， ， ， ．  【解析】本题主要考查了旋转的性质和等腰三角形判定和性质，解答此题可将顺时针旋转到的位置，使和重合，变为，连接，可得，从而可得，然后再结合已知代换可得，从而可得． 【变式7-2】（23-24春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 【答案】解：如图，逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， 在中，，即， 则当点、三点共线时，，即， 即的最大值是． 【解析】本题综合考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等根据旋转的性质知，，所以在中，利用三角形三边关系来求即的长度． 【变式7-3】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则_______________                   【答案】  【解析】【分析】 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．将绕点逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质可得，，，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出是直角三角形，然后由勾股定理得出，求出、的长度，即可解决问题． 【解答】 解：如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接． 由旋转的性质得，，，，， ，， ， ， 在和中， ≌， ， ， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.9 等腰三角形常用作辅助线方法【七大题型】 【苏科版】 【题型1 作中线构造三线合一模型】 1 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 2 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 4 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 5 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 6 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 8 【题型7 旋转构造等腰三角形】 9 方法点拨：作中线构造三线合一模型 遇等腰三角形底边的中点，常连接底边上的中线，构造三线合一的模型解题。 【题型1 作中线构造三线合一模型】 【例1】（23-24八年级·河南三门峡·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC边的中点， （1）如图①，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）如图②，若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论． 【变式1-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，点在上，且连接，，若，，则的大小是(    ) A. B. C. D. 【变式1-2】（23-24春·山东泰安·八年级统考期末）如图，中，，平分，且求证：． 【变式1-3】（23-24春·河南南阳·八年级统考期末）如图，四边形中，，平分，，求证：． 方法点拨：作垂线构造三线合一模型 遇等腰三角形，常作底边上的高，构造三线合一的模型解题。 【题型2 作垂线构造等腰三角形】 【例2】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，在中，平分，是上一点，，且．    (1)如果，则的度数为 (2)求证：． 【变式2-1】（23-24八年级·四川自贡·期末）如图1所示，在中，，点是线段延长线上一点，且．点是线段上一点，连接，以为斜边作等腰，连接，且． (1)若，垂足为，求证：； (2)如图2，若点是线段延长线上一点，其他条件不变，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-2】（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，点D在AB上，AD = AC，BE⊥直线CD于E． （1）求∠BCD的度数； （2）求证：CD = 2BE； （3）若点O是AB的中点，请直接写出三条线段CB、BD、CO之间的数量关系． 【变式2-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，是直线上一点（点不与点、重合），连接并延长到，使得，过点作直线，交直线于点． (1)如图，当点为线段上的任意一点时，用等式表示线段、、的数量关系，并证明； (2)如图，当点为线段的延长线上一点时，依题意补全图，猜想线段、、的数量关系是否发生改变，并证明； (3)如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、之间的数量关系． 方法点拨：构造等腰（直角）三角形 在同一个三角形中证明两线段相等或垂直时，往往构造等腰（直角）三角形，运用三线合一来解决问题。 【题型3 构造等腰（直角）三角形】 【例3】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    ) A. B. C. D. 【变式3-1】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在中，平分，，的面积为，的面积为，则的面积为________． 【变式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，是等腰直角三角形，是其底边上的高，是上的一点，以为边向上作等边三角形，连接，则的度数为          ． 【变式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年级统考期末）如图，在中，，、为内的两点，平分，，若，，则的长为_______； 如图，，，则的度数为________． 方法点拨：作平行线构造等腰三角形 作腰或底的平行线构造等腰三角形，作角平分线的平行线也可得等腰三角形。 【题型4 作平行线构造等腰三角形】 【例4】（23-24八年级·河南开封·期中）如图，是边长为2的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（　　）    A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25 【变式4-1】（23-24八年级·湖北宜昌·期中）如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于 点D．    （1）证明：PD=DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长． 【变式4-2】（23-24八年级·全国·专题练习）在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且．连接，与边所在的直线交于点F． (1)当点D在线段上时，如图所示，求证：． (2)过点D作交直线于点H．若，求的长是多少？ 【变式4-3】（23-24八年级·广东珠海·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种植果树，已知，恰好平分，，，求的长． 方法点拨：倍长中线构造等腰三角形 中线倍长，将相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形。 【题型5 倍长中线构造等腰三角形】 【例5】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，点是的中点，点在上，且求证：． 【变式5-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 【变式5-2】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为______． 【变式5-3】（23-24春·山东威海·八年级统考期末）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则(    ) A. B. C. D. 【题型6 截长补短构造等腰三角形】 【例6】（23-24春·安徽六安·八年级校考期中）在中，于点，平分，，，则______． 【变式6-1】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）如图，已知平分的外角，为上一点，． 如图，求证：； 判断的形状并证明； 如图，过点作于点，若，，求线段的长． 【变式6-2】（23-24春·广东深圳·八年级校考期中）已知在中，，平分交于点，点在线段上点不与点，重合，且． 如图，若，且，则          ，          ． 如图，求证：；若，且，求的度数． 【变式6-3】（23-24春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，四边形中，是上一点，，，，探究、、之间的数量关系，并证明． 【题型7 旋转构造等腰三角形】 【例7】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，在等腰直角中，，，、为斜边上的点，，若，，则的长是(    ) A. B. C. D. 【变式7-1】（23-24春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，中，，是内一点，连接、、，，求证． 【变式7-2】（23-24春·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，以为边在的下方作等边，求的最大值． 【变式7-3】（23-24春·浙江杭州·八年级开学考试）如图，已知在等腰中，，点、是斜边上的两点不包括端点，且，若，，则_______________                   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$