月段学情调研(1)-【学仕邦】2024-2025学年九年级全一册数学大联考单元期末测试卷（沪科版）

３５　 (时间 １２０ 分钟　 满分 １５０ 分) 考查内容:第 ２１ 章　 二次函数与反比例函数~２４.２ 圆的基本性质 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ每小题 ４ 分ꎬ满分 ４０ 分) 每小题都给出 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个选项ꎬ其中只有一个是正确的. １.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是 (　 　 ) Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２.若 ３ ａ ＝ ４ ｂ ꎬ则 ２ａ ａ－ｂ 的值是 (　 　 ) Ａ.６ Ｂ.－６ Ｃ.２ Ｄ.－２ ３.下列对二次函数 ｙ＝ １ ２ ｘ２＋２ｘ＋３ 的性质的描述中正确的是 (　 　 ) Ａ.该函数图象的对称轴在 ｙ 轴左侧 Ｂ.当 ｘ<０ 时ꎬｙ 随 ｘ 的增大而减小 Ｃ.函数图象开口向下 Ｄ.该函数图象与 ｙ 轴的交点位于 ｙ 轴负半轴 ４.如图ꎬ一艘海轮位于灯塔 Ｐ 的北偏东 ５５°方向ꎬ距离灯塔 ２ ｎ ｍｉｌｅ 的点 Ａ 处.若海轮沿正南方向航 行到灯塔的正东方向的点 Ｂ 处ꎬ则海轮航行的距离 ＡＢ 的长是 (　 　 ) Ａ.２ ｎ ｍｉｌｅ Ｂ.２ｓｉｎ ５５° ｎ ｍｉｌｅ Ｃ.２ｃｏｓ ５５° ｎ ｍｉｌｅ Ｄ.２ｔａｎ ５５° ｎ ｍｉｌｅ 第 ４ 题图 　 　 　 第 ５ 题图 　 　 　 A C P B 第 ６ 题图 　 　 　 第 ７ 题图 ５.如图ꎬ两个反比例函数 ｙ＝ ４ ｘ 和 ｙ＝ ２ ｘ 在第一象限内的图象分别是 Ｃ１ 和 Ｃ２ .设点 Ｐ 在 Ｃ１ 上ꎬＰＡ⊥ｘ 轴于点 Ａꎬ交 Ｃ２于点 Ｂꎬ则△ＰＯＢ 的面积为 (　 　 ) Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.４ Ｄ.无法计算 ６.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ点 Ｐ 是边 ＡＢ 上一点ꎬ连接 ＣＰ.下列条件中不能判定△ＡＣＰ∽△ＡＢＣ 的是 (　 　 ) Ａ.∠ＡＣＰ＝∠Ｂ Ｂ.∠ＡＰＣ＝∠ＡＣＢ Ｃ.ＡＣ２ ＝ＡＰ􀅰ＡＢ Ｄ.ＡＣ ＣＰ ＝ ＡＢ ＢＣ ７.凸透镜成像的原理如图所示ꎬＡＤ∥ｌ∥ＢＣ.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线 ＤＢ 的距 离之比为 ５ ∶ ４ꎬ则物体被缩小到原来的 (　 　 ) Ａ. ４ ５ Ｂ. ２ ５ Ｃ. ４ ９ Ｄ. ５ ９ ８.如图ꎬＡＢ 是☉Ｏ 的直径ꎬＯＤ 垂直于弦 ＡＣ 于点 ＤꎬＤＯ 的延长线交☉Ｏ 于点 Ｅ.若 ＡＣ＝ ４ ２ ꎬＤＥ＝ ４ꎬ 则 ＢＣ 的长是 (　 　 ) Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ.２ Ｄ.４ 第 ８ 题图 　 　 　 　 第 ９ 题图 　 　 　 　 第 １０ 题图 ９.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＢＡＣ＝ ９０°ꎬＡＢ＝ １５ꎬＡＣ＝ ２０ꎬ点 Ｄ 在边 ＡＣ 上ꎬＡＤ＝ ５ꎬＤＥ⊥ＢＣ 于点 Ｅꎬ连接 ＡＥꎬ则△ＡＢＥ 的面积为 (　 　 ) Ａ.５４ Ｂ.７２ Ｃ.７５ Ｄ.７８ １０.如图ꎬ一次函数 ｙ１ ＝ ｘ 与二次函数 ｙ２ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ＋ ｃ 的图象相交于 ＰꎬＱ 两点ꎬ则函数 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ (ｂ－１)ｘ＋ｃ 的图象可能是 (　 　 ) Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 二、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分) １１.若点 Ｐ(１ꎬ１)向左平移 ２ 个单位后恰好位于反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ 的图象上ꎬ则 ｋ＝ 　 　 . １２.如图ꎬ将矩形 ＡＢＣＤ 绕点 Ａ 顺时针旋转到矩形 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′的位置ꎬ旋转角为 α(０°<α<９０°) .若∠１＝ １１０°ꎬ则 α＝ 　 　 . 第 １２ 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 １４ 题图 １３.设方程 ｘ２－１７ｘ＋６０ ＝ ０ 的两根分别为 Ｒｔ△ＡＢＣ 的两条直角边的长ꎬ则 Ｒｔ△ＡＢＣ 外接圆的半径 是　 　 . １４.如图ꎬ点 Ｅ 是边长为 ２ 的正方形 ＡＢＣＤ 的边 ＢＣ 上一动点(点 Ｅ 不与端点重合)ꎬ将△ＡＢＥ 沿 ＡＥ 翻折至△ＡＦＥ 的位置ꎬ连接 ＤＦꎬＣＦ. (１)若△ＡＤＦ 是等边三角形ꎬ则 ＢＥ＝ 　 　 . (２)若 ＦＤ＝ＦＣꎬ则∠ＢＡＥ 的度数是　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６　 三、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １５.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ＝ ２ꎬＡＣ＝ ５ꎬ点 Ｄ 在边 ＡＣ 上.若∠ＡＢＤ＝∠Ｃꎬ求 ＡＤ 的长. 第 １５ 题图 １６.如图ꎬ在方格网中已知格点△ＡＢＣ 和点 Ｏ. (１)以点 Ｏ 为位似中心ꎬ在△ＡＢＣ 同侧画出放大的位似△Ａ１Ｂ１Ｃ１ꎬ△ＡＢＣ 与△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 的相似比为 １ ∶ ２. (２)以点 Ｏ 为旋转中心ꎬ将△ＡＢＣ 逆时针旋转 ９０°得到△Ａ２Ｂ２Ｃ２ꎬ请画出△Ａ２Ｂ２Ｃ２ . 第 １６ 题图 四、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １７.如图ꎬ在 ４×４ 的正方形网格中ꎬ△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 的顶点都在边长为 １ 的小正方形顶点上. (１)填空:∠ＡＢＣ＝ 　 　 ꎬＢＣ＝ 　 　 . (２)判定△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ 是否相似ꎬ并说明理由. 第 １７ 题图 １８.如图ꎬ地面上小山的两侧有 ＡꎬＢ 两地ꎬ为了测量 ＡꎬＢ 两地间的距离ꎬ让一热气球从小山西侧 Ａ 地 出发沿与 ＡＢ 成 ３０°角的方向ꎬ以 ５０ ｍ / ｍｉｎ 的速度直线飞行ꎬ８ ｍｉｎ 后到达 Ｃ 处ꎬ此时热气球上的 人测得 ＣＢ 与地面成 ７０°角.请用测得的数据求 ＡꎬＢ 两地之间的距离.(参考数据: ３ ≈１.７ꎬ ｓｉｎ ２０°≈０.３ꎬｃｏｓ ２０°≈０.９ꎬｔａｎ ２０°≈０.４ꎬｓｉｎ ７０°≈０.９ꎬｃｏｓ ７０°≈０.３ꎬｔａｎ ７０°≈２.７) 第 １８ 题图 五、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 １０ 分ꎬ满分 ２０ 分) １９.诗句“君到姑苏见ꎬ人家尽枕河”所描绘的就是有“东方威尼斯”之称的水城苏州.小勇要帮忙船 夫计算一艘货船能否安全通过一座圆弧形的拱桥ꎬ现测得桥下水面 ＡＢ 宽度为 １６ ｍ 时ꎬ拱顶高 出水平面 ４ ｍꎬ货船宽 １２ ｍꎬ船舱顶部为矩形并高出水面 ３ ｍ. (１)请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径. (２)请你判断一下ꎬ此货船能顺利通过这座拱桥吗? 说说你的理由. 第 １９ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３７　 ２０.如图ꎬ矩形 ＯＡＢＣ 的顶点 ＡꎬＣ 分别在 ｘ 轴和 ｙ 轴上ꎬ点 Ｂ 的坐标为(２ꎬ３) .反比例函数 ｙ ＝ ｋ ｘ (ｘ> ０)的图象经过 ＢＣ 的中点 Ｄꎬ且与 ＡＢ 交于点 Ｅꎬ连接 ＤＥ. (１)求 ｋ 的值及点 Ｅ 的坐标. (２)若点 Ｆ 是边 ＯＣ 上一点ꎬ且△ＦＢＣ∽△ＤＥＢꎬ求点 Ｆ 的坐标. 第 ２０ 题图 六、(本题满分 １２ 分) ２１.如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥ 是 ＢＣ 的中点ꎬ点 Ｐ 在 ＢＣ 的延长线上ꎬＡＰꎬＤＥ 相交于点 ＧꎬＡＰꎬＣＤ 相交于点 Ｆ. (１)求证:ＡＤ􀅰ＣＦ＝ＣＰ􀅰ＤＦ. (２)若 ＤＦ＝ ２ＣＦꎬＡＢ＝ ６ꎬ求 ＤＧ 的长. 第 ２１ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３８　 七、(本题满分 １２ 分) ２２.如图ꎬ抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３ 与 ｘ 轴的两个交点坐标分别为 Ａ(－１ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０) . (１)求抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋３ 的函数表达式. (２)已知矩形 ＰＱＭＮ 的顶点 ＰꎬＱ 在 ｘ 轴上(点 ＰꎬＱ 不与点 ＡꎬＢ 重合)ꎬ另两个顶点 ＭꎬＮ 在抛物 线上(如图) . ①当点 Ｐ 在什么位置时ꎬ矩形 ＰＱＭＮ 的周长最大? 求这个最大值并写出点 Ｐ 的坐标ꎻ ②判断命题“当矩形 ＰＱＭＮ 周长最大时ꎬ其面积最大”的真假ꎬ并说明理由. 第 ２２ 题图 八、(本题满分 １４ 分) ２３.如图ꎬ点 Ｄ 为锐角三角形 ＡＢＣ 内一点ꎬ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＣＢ＋９０°ꎬ过点 Ｂ 作 ＢＥ⊥ＢＤꎬＢＥ ＝ ＢＤꎬ连 接 ＥＣ. 第 ２３ 题图 (１)求∠ＣＡＤ＋∠ＣＢＤ 的度数. (２)若 ＡＣ􀅰ＢＤ＝ＡＤ􀅰ＢＣꎬ则: ①求证:△ＡＣＤ∽△ＢＣＥꎻ ②求ＡＢ􀅰ＣＤ ＡＣ􀅰ＢＤ 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ ＡＢ ( －ＡＤ ( ＝ＣＤ ( －ＡＤ ( ꎬ即ＡＣ ( ＝ＢＤ ( ꎬ ∴ ∠Ｂ＝∠Ａꎬ∴ ＡＤ∥ＢＣ. １４.解:(１)∵ 在矩形 ＡＢＣＤ 中ꎬＡＢ＝ ３ꎬＡＤ＝ ４ꎬ ∴ ＡＣ＝ ３２＋４２ ＝ ５. ∵ １ ２ ＡＣ􀅰ＤＥ＝ １ ２ ＤＣ􀅰ＡＤꎬ∴ ＤＥ＝ ３ ×４ ５ ＝ １２ ５ . (２)∵ ＡＢ<ＡＥ<ＡＤ<ＡＣꎬ ∴ 若以点 Ａ 为圆心作圆ꎬＢꎬＣꎬＤꎬＥ 四点中至少 有 １ 个点在圆内ꎬ且至少有 １ 个点在圆外ꎬ 即点 Ｂ 在圆内ꎬ点 Ｃ 在圆外ꎬ ∴ ☉Ａ 的半径 ｒ 的取值范围为 ３<ｒ<５. １５.解:(１)如图所示ꎬ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 即为所求.点 Ｂ１ 的 坐标为(－３ꎬ－３) . (２)如图所示ꎬ△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 即为所求.点 Ｃ２ 的坐 标为(３ꎬ－１) . １６.解:如图ꎬ连接 ＯＣ. ∵ ＣＥ＝ＡＯꎬＯＡ＝ＯＣꎬ∴ ＯＣ＝ＥＣꎬ ∴ ∠Ｅ＝∠１ꎬ∴ ∠２＝∠Ｅ＋∠１＝ ２∠Ｅ. ∵ ＯＣ＝ＯＤꎬ∴ ∠Ｄ＝∠２＝ ２∠Ｅ. ∵ ∠ＢＯＤ＝∠Ｅ＋∠Ｄꎬ∴ ∠Ｅ＋２∠Ｅ＝ ７５°ꎬ ∴ ∠Ｅ＝ ２５°. １７.解:(１)证明:∵ 将 ＣＯ 绕点 Ｃ 顺时针旋转 ６０° 得到 ＣＤꎬ ∴ ＣＯ＝ＣＤꎬ∠ＯＣＤ＝ ６０°. ∵ △ＡＢＣ 是等边三角形ꎬ ∴ ＣＡ＝ＣＢꎬ∠ＢＣＡ＝ ６０°ꎬ ∴ ∠ＢＣＡ ＝ ∠ＯＣＤꎬ∠ＢＣＯ ＋∠ＯＣＡ ＝ ∠ＯＣＡ ＋ ∠ＡＣＤꎬ∴ ∠ＢＣＯ＝∠ＡＣＤ. 在△ＢＣＯ 和△ＡＣＤ 中ꎬ ＣＢ＝ＣＡꎬ ∠ＢＣＯ＝∠ＡＣＤꎬ ＣＯ＝ＣＤꎬ ì î í ïï ïï ∴ △ＢＣＯ≌△ＡＣＤ(ＳＡＳ) . (２)∵ ＣＯ＝ＣＤꎬ∠ＯＣＤ＝ ６０°ꎬ ∴ △ＯＣＤ 是等边三角形ꎬ ∴ ＯＤ＝ＯＣ＝ ６ꎬ∠ＯＤＣ＝ ６０°. ∵ △ＢＣＯ≌△ＡＣＤꎬ ∴ ＯＢ＝ＡＤ＝ ８ꎬ∠ＢＯＣ＝∠ＡＤＣ. ∵ ＯＡ＝ １０ꎬ∴ ＯＡ２ ＝ＡＤ２＋ＯＤ２ꎬ∴ ∠ＡＤＯ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＯ＋∠ＣＤＯ＝ １５０°ꎬ ∴ ∠ＢＯＣ＝∠ＡＤＣ＝ １５０°. １８.解:(１)如图ꎬ设 ＡＢ ( 所在的圆心为点 ＯꎬＣ 为 ＡＢ 的中点ꎬＣＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄꎬ延长 ＤＣ 经过 Ｏ 点ꎬ连接 ＯＢ.设☉Ｏ 的半径为 Ｒ. 在 Ｒｔ△ＯＢＣ 中ꎬＯＢ２ ＝ＯＣ２＋ＣＢ２ꎬ ∴ Ｒ２ ＝(Ｒ－８) ２＋１６２ꎬ解得 Ｒ＝ ２０. (２)在圆弧形中ꎬ设点 Ｆ 在 ＡＢ ( 上ꎬ作 ＦＥ⊥ＡＢ 于点 Ｅꎬ ＯＨ⊥ＦＥ 于点 Ｈꎬ则 ＯＨ ＝ ＣＥ ＝ １６－４ ＝ １２(ｍ)ꎬ ＯＦ＝Ｒ＝ ２０ ｍ. 在 Ｒｔ△ＯＨＦ 中ꎬＨＦ＝ ２０２－１２２ ＝ １６(ｍ) . ∵ ＨＥ＝ＯＣ＝ＯＤ－ＣＤ＝ ２０－８＝ １２(ｍ)ꎬ ＥＦ＝ＨＦ－ＨＥ＝ １６－１２＝ ４(ｍ)ꎬ ∴ 在距离桥的一端 ４ ｍ 处ꎬ圆弧形桥墩的高度 为 ４ ｍ. 月段学情调研(一) １.Ｄ　 ２.Ｂ　 ３.Ａ　 ４.Ｃ　 ５.Ａ ６.Ｄ　 ７.Ａ　 ８.Ｃ　 ９.Ｄ　 １０.Ａ １１.－１　 １２.２０°　 １３.１３ ２ 　 １４.(１)４－２ ３ 　 (２)３０° １５.解:∵ ∠ＡＢＤ＝∠Ｃꎬ∠Ａ＝∠Ａꎬ ∴ △ＡＢＤ∽△ＡＣＢꎬ∴ ＡＢ ＡＣ ＝ＡＤ ＡＢ . —５１— ∵ ＡＢ＝ ２ꎬＡＣ＝ ５ ꎬ∴ ２ ５ ＝ＡＤ ２ ꎬ∴ ＡＤ＝ ４ ５ ５ . １６.解:(１)如图所示ꎬ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 即为所求. (２)如图所示ꎬ△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 即为所求. １７.解:(１)１３５°　 ２ ２ (２)△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ 相似.理由如下: ∵ ∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ＝ １３５°ꎬＡＢ ＤＥ ＝ＢＣ ＥＦ ＝ ２ ꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△ＤＥＦ. １８.解:如图ꎬ过点Ｃ 作ＣＭ⊥ＡＢ 交 ＡＢ 延长线于点Ｍ. 由题意ꎬ得 ＡＣ＝ ５０×８＝ ４００(ｍ)ꎬ 在Ｒｔ△ＡＣＭ中ꎬ∠Ａ＝３０°ꎬ∴ ＣＭ＝ １ ２ ＡＣ＝２００(ｍ)ꎬ ＡＭ＝ＡＣ􀅰ｃｏｓ Ａ＝ ４００× ３ ２ ＝ ２００ ３ (ｍ) . 在 Ｒｔ△ＢＣＭ 中ꎬ∠ＣＢＭ＝ ７０°ꎬ∴ ∠ＢＣＭ＝ ２０°. ∵ ｔａｎ ２０° ＝ＢＭ ＣＭ ꎬ∴ ＢＭ＝ ２００ ｔａｎ ２０°ꎬ ∴ ＡＢ＝ＡＭ－ＢＭ＝ ２００ ３ －２００ ｔａｎ ２０° ＝ ２００( ３ － ｔａｎ ２０°)≈２００×(１.７－０.４)＝ ２６０(ｍ)ꎬ 故 ＡꎬＢ 两地之间的距离为 ２６０ ｍ. １９.解:(１)如图ꎬ连接 ＯＢ. ∵ ＯＣ⊥ＡＢꎬ∴ Ｄ 为 ＡＢ 中点. ∵ ＡＢ＝ １６ ｍꎬ∴ ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ＝ ８(ｍ) . 设 ＯＢ＝ＯＣ＝ ｒꎬ则 ＯＤ＝( ｒ－４) ｍ. 在 Ｒｔ△ＢＯＤ 中ꎬ根据勾股定理ꎬ得 ｒ２ ＝ ( ｒ－４) ２＋ ８２ꎬ解得 ｒ＝ １０. 答:此圆弧形拱桥的半径为 １０ ｍ. (２)此货船不能顺利通过这座拱桥.理由如下: 如图ꎬ连接 ＯＮ.∵ ＣＤ＝ ４ ｍꎬ船舱顶部为矩形并 高出水面 ３ ｍꎬ ∴ ＣＥ＝４－３＝１(ｍ)ꎬ∴ ＯＥ＝ ｒ－ＣＥ＝１０－１＝９(ｍ) . 在 Ｒｔ△ＯＥＮ 中ꎬ由勾股定理ꎬ 得 ＥＮ＝ ＯＮ２－ＯＥ２ ＝ １０２－９２ ＝ １９ ꎬ ∴ ＭＮ＝ ２ＥＮ＝ ２ １９ ｍ<１２ ｍꎬ ∴ 此货船不能顺利通过这座拱桥. ２０.解:(１)在矩形 ＯＡＢＣ 中ꎬ ∵ 点 Ｂ 的坐标为(２ꎬ３)ꎬ ∴ ＢＣ 的中点 Ｄ 的坐标为(１ꎬ３) . 又∵ 反比例函数 ｙ＝ ｋ ｘ 经过点 Ｄ(１ꎬ３)ꎬ ∴ ３＝ ｋ １ ꎬ∴ ｋ＝ ３. 又∵ 点 Ｅ 在边 ＡＢ 上ꎬ∴ 点 Ｅ 的横坐标为 ２. 又∵ 反比例函数 ｙ＝ ３ ｘ 经过点 Ｅꎬ ∴ 点 Ｅ 的纵坐标为 ３ ２ ꎬ ∴ 点 Ｅ 的坐标为 ２ꎬ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ . (２)由(１)ꎬ得 ＢＤ＝ １ꎬＢＥ＝ ３ ２ ꎬＯＣ＝ ３ꎬＢＣ＝ ２. ∵ △ＦＢＣ∽△ＤＥＢꎬ∴ ＣＦ ＢＤ ＝ＢＣ ＢＥ ꎬ即ＣＦ １ ＝ ２ ３ ２ ꎬ ∴ ＣＦ＝ ４ ３ ꎬ∴ ＯＦ ＝ ＯＣ－ＣＦ ＝ ３－ ４ ３ ＝ ５ ３ ꎬ即点 Ｆ 的坐标为 ０ꎬ ５ ３ æ è ç ö ø ÷ . ２１.解:(１)证明:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ ∴ ＡＤ∥ＢＰꎬ∴ △ＡＤＦ∽△ＰＣＦꎬ ∴ ＡＤ ＣＰ ＝ＤＦ ＣＦ ꎬ即 ＡＤ􀅰ＣＦ＝ＣＰ􀅰ＤＦ. (２)由(１)ꎬ得ＡＤ ＣＰ ＝ＤＦ ＣＦ . —６１— ∵ ＤＦ＝ ２ＣＦꎬＡＢ＝ ６ꎬ∴ ＣＰ＝ ３. 又∵ Ｅ 是 ＢＣ 的中点ꎬ ∴ ＥＣ＝ １ ２ ＢＣ＝ ３ꎬ∴ ＥＰ＝ＡＤ＝ ６. ∵ ＡＤ∥ＥＰꎬ∴ ∠ＡＤＧ＝∠ＰＥＧꎬ∠ＤＡＧ＝∠Ｐꎬ ∴ △ＰＧＥ≌△ＡＧＤ(ＳＡＳ)ꎬ∴ ＧＥ ＤＧ ＝ＰＥ ＡＤ ＝ １ꎬ ∴ ＤＧ＝ＧＥ. ∵ ＤＥ＝ ３２＋６２ ＝ ３ ５ ꎬ∴ ＤＧ＝ ３ ５ ２ . ２２.解:(１)根据题意ꎬ设抛物线的函数表达式为 ｙ＝ａ(ｘ＋１)(ｘ－３)＝ ａ(ｘ２－２ｘ－３)ꎬ 则－３ａ＝ ３ꎬ解得 ａ＝ －１ꎬ 故抛物线的函数表达式为 ｙ＝ －ｘ２＋２ｘ＋３. (２)抛物线 ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３ 的对称轴为直线 ｘ＝１ꎬ 设点 Ｐ(ｘꎬ０)ꎬ则 Ｎ(ｘꎬ－ｘ２＋２ｘ＋３) . ①点 ＰꎬＱ 关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ∴ Ｑ(２－ｘꎬ０)ꎬ 则 Ｍ(２－ｘꎬ－ｘ２＋２ｘ＋３)ꎬ 矩形 ＰＱＭＮ 的周长为 ｌ ＝ ２(２ － ｘ － ｘ － ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ３)＝ －２ｘ２＋１０ꎬ 当 ｘ＝ ０ 时ꎬｌ 的值最大ꎬ最大值为 １０ꎬ 即点 Ｐ 的坐标为(０ꎬ０)时ꎬ矩形 ＰＱＭＮ 的周长 最大ꎬ最大值为 １０. ②假命题.理由如下: 由①可知ꎬ当矩形周长最大时ꎬ长为 ３ꎬ宽为 ２ꎬ 面积为 ６. 当 ＰＱＭＮ 为正方形时ꎬＰＱ ＝ ２－ｘ－ｘ ＝ＰＮ ＝ －ｘ２ ＋ ２ｘ＋３ꎬ解得 ｘ＝ ２± ５ ꎬ ∴ 点 Ｐ 的坐标为(２ － ５ ꎬ０)ꎬ点 Ｑ 的坐标为 ( ５ ꎬ０)ꎬ 则 ＰＱ＝ ５ －２＋ ５ ＝ ２ ５ －２ꎬ正方形 ＰＱＭＮ 的面 积＝(２ ５ －２) ２ ＝ ２４－８ ５ >６ꎬ 故命题是假命题. ２３.解:(１)如图ꎬ延长 ＣＤ 交 ＡＢ 于点 Ｆ. ∵ ∠ＡＤＦ ＝ ∠ＣＡＤ ＋∠ＡＣＤꎬ∠ＢＤＦ ＝ ∠ＣＢＤ ＋ ∠ＢＣＤꎬ∴ ∠ＡＤＢ ＝ ∠ＡＤＦ ＋∠ＢＤＦ ＝ ∠ＣＡＤ ＋ ∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＢ. ∵ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ＋９０°ꎬ∴ ∠ＣＡＤ＋∠ＣＢＤ＝ ９０°. (２)①证明:∵ ∠ＣＡＤ＋∠ＣＢＤ ＝ ９０°ꎬ∠ＣＢＤ＋ ∠ＣＢＥ＝ ９０°ꎬ∴ ∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ. ∵ ＡＣ􀅰ＢＤ＝ＡＤ􀅰ＢＣꎬＢＤ＝ＢＥꎬ ∴ ＡＣ ＡＤ ＝ＢＣ ＢＥ ꎬ∴ △ＡＣＤ∽△ＢＣＥꎻ ②如图ꎬ连接 ＤＥ. ∵ ＢＥ⊥ＢＤꎬＢＥ ＝ ＢＤꎬ∴ △ＢＤＥ 是等腰直角三 角形ꎬ∴ ＤＥ ＢＤ ＝ ２ .∵ △ＡＣＤ∽△ＢＣＥꎬ ∴ ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥꎬ∴ ∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ. ∵ ＡＣ ＢＣ ＝ＣＤ ＣＥ ꎬ∴ △ＡＣＢ∽△ＤＣＥꎬ∴ ＡＣ ＡＢ ＝ＤＣ ＤＥ ꎬ ∴ ＡＢ􀅰ＣＤ ＡＣ􀅰ＢＤ ＝ＡＢ ＡＣ 􀅰ＣＤ ＢＤ ＝ＤＥ ＤＣ 􀅰ＣＤ ＢＤ ＝ＤＥ ＢＤ ＝ ２ . 周段学情调研(十) １.Ｃ　 ２.Ａ　 ３.Ｃ　 ４.Ｃ　 ５.Ｄ　 ６.Ｄ　 ７.Ａ　 ８.Ｂ ９.２９°　 １０. ２ 　 １１.４９°　 １２.(１)１６　 (２)７０° １３.解:∵ Ｐ 是 ＡＢ ( 的中点ꎬ∴ ＡＰ ( ＝ＢＰ ( ꎬ∴ ＡＰ＝ＢＰ. ∴ ∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＡ＝ １ ２ (１８０°－１１８°)＝ ３１°. 如图ꎬ过点 Ｐ 作 ＰＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄ. 在 Ｒｔ△ＡＰＤ 中ꎬ∠ＰＡＤ＝ ３１°ꎬＡＤ＝ １ ２ ＡＢ＝ ５ꎬ ∴ ＰＤ＝ＡＤ􀅰ｔａｎ ３１°≈５×０.６０＝ ３. １４.解:如图ꎬ过点 Ｏ 作 ＯＤ⊥ＡＣ 于点 Ｄꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ ∠Ｂ＝ ３０°. ∵ ＡＯ＝ ｋꎬ∴ ＯＤ＝ ３ ２ ｋ. —７１—