单元学情调研(3)-【学仕邦】2024-2025学年九年级全一册数学大联考单元期末测试卷（沪科版）

２９　 (时间 １２０ 分钟　 满分 １５０ 分) 考查内容:第 ２３ 章　 解直角三角形 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、选择题(本大题共 １０ 小题ꎬ每小题 ４ 分ꎬ满分 ４０ 分) 每小题都给出 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个选项ꎬ其中只有一个是正确的. １.锐角三角函数 ｔａｎ ４５°的值为 (　 　 ) Ａ. １ ２ Ｂ. ２ ２ Ｃ. ３ ２ Ｄ.１ ２.在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ若各边长都扩大为原来的 ３ 倍ꎬ则锐角 Ａ 的正切值 (　 　 ) Ａ.扩大为原来的 ３ 倍 Ｂ.缩小为原来的 １ ３ Ｃ.不变 Ｄ.以上都不对 ３.如图所示是拦水坝的横断面ꎬ斜坡 ＡＢ 的水平宽度为 １２ ｍꎬ斜面坡度为 １􀏑２ꎬ则斜坡 ＡＢ 的长是 (　 　 ) Ａ.４ ３ ｍ Ｂ.６ ５ ｍ Ｃ.１２ ５ ｍ Ｄ.２４ ｍ 第 ３ 题图 　 　 　 第 ４ 题图 　 　 　 第 ６ 题图 ４.２０２２ 年 ２ 月 ４ 日在北京举办了第 ２４ 届冬季奥运会ꎬ很多学校都开展冰雪项目学习.如图ꎬ某滑 雪斜坡的坡角为 ２８°ꎬ一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了 １００ ｍꎬ则该同学在竖直方向上下降的 高度为 (　 　 ) Ａ.１００ｓｉｎ ２８° ｍ Ｂ.１００ｃｏｓ ２８° ｍ Ｃ. １００ ｓｉｎ ２８° ｍ Ｄ. １００ ｃｏｓ ２８° ｍ ５.在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬｓｉｎ Ａ＝ ５ １３ ꎬ则 ｔａｎ Ｂ 的值是 (　 　 ) Ａ.１２ １３ Ｂ. ５ １２ Ｃ.１３ １２ Ｄ.１２ ５ ６.如图ꎬ△ＡＢＣ 的三个顶点都在方格纸的格点上ꎬ则 ｓｉｎ Ｃ 的值是 (　 　 ) Ａ. ４ ５ Ｂ. ３ ５ Ｃ. ３ ４ Ｄ.２ ５ ５ ７.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中ꎬ∠Ｃ＝９０°ꎬＤ 是 ＡＣ 的中点ꎬＡＣ＝８ꎬｔａｎ∠ＣＡＢ＝ １ ２ ꎬ则 ｓｉｎ∠ＤＢＡ 的值是 (　 　 ) Ａ. １ ３ Ｂ. １０ １０ Ｃ. ６ － ２ ２ Ｄ. ５ ３ 第 ７ 题图 　 　 　 　 第 ８ 题图 　 　 　 　 第 ９ 题图 　 　 　 　 第 １０ 题图 ８.如图ꎬ一把 ５ ｍ 长的梯子 ＡＢ 斜靠在墙上ꎬ梯子倾斜角 α 的正切值为 ３ ４ ꎬ考虑安全问题ꎬ现要求将 梯子的倾斜角改为 ３０°ꎬ则梯子下滑的距离 ＡＡ′的长度是 (　 　 ) Ａ. ３ ４ ｍ　 Ｂ. １ ３ ｍ　 Ｃ. ２ ３ ｍ　 Ｄ. １ ２ ｍ ９.小明在学习“锐角三角函数”时发现ꎬ将如图所示的矩形纸片 ＡＢＣＤ 沿过点 Ｂ 的直线折叠ꎬ使点 Ａ 落在 ＢＣ 上的点 Ｅ 处ꎬ还原后ꎬ再沿过点 Ｅ 的直线折叠ꎬ使点 Ａ 落在 ＢＣ 上的点 Ｆ 处ꎬ这样就可以 求出 ６７.５°的正切值是 (　 　 ) Ａ. ３ ＋１ Ｂ. ２ ＋１ Ｃ.２.５ Ｄ. ５ １０.如图ꎬ要在宽 ＡＢ 为 ２２ ｍ 的道路两边安装路灯ꎬ路灯的灯臂 ＣＤ 长 ２ ｍꎬ且与灯柱 ＢＣ 成 １２０°角ꎬ 路灯采用圆锥形灯罩ꎬ灯罩的轴线 ＤＯ 与灯臂 ＣＤ 垂直ꎬ当灯罩的轴线 ＤＯ 通过公路路面的中心 线时照明效果最佳.此时ꎬ路灯的灯柱 ＢＣ 的高度应该设计为 (　 　 ) Ａ.(１１－２ ２ )ｍ Ｂ.(１１ ３ －２ ２ )ｍ Ｃ.(１１－２ ３ )ｍ Ｄ.(１１ ３ －４)ｍ 二、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分) １１.已知∠Ａ＋∠Ｂ＝ ９０°ꎬｓｉｎ Ａ＝ ３ ５ ꎬ则 ｃｏｓ Ｂ＝ 　 　 . １２.在△ＡＢＣ 中ꎬ若 ｓｉｎ Ａ－ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ ３ ２ －ｃｏｓ Ｂ ＝ ０ꎬ则∠Ｃ＝ 　 　 . １３.某古村落为方便游客泊车ꎬ准备利用矩形晒谷场长 ６０ ｍ 的一侧ꎬ规划一个停车场ꎬ已知每个停 车位需确保有如长 ５.５ ｍ、宽 ２.５ ｍ 的矩形 ＡＥＤＦ 供停车ꎬ如图所示的▱ＡＢＤＣ 是其中一个停车 位ꎬ所有停车位都平行排列ꎬ∠ＡＢＤ ＝ ６０°ꎬ则每个停车位的面积大约为　 　 ｍ２(结果保留整 数ꎬ ３≈１.７) . 第 １３ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０　 １４.如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬＡＣ 与 ＢＤ 相交于点 Ｏꎬ∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＣ＝ ９０°ꎬｔａｎ∠ＡＣＢ＝ １ ２ ꎬＢＯ ＯＤ ＝ ４ ３ . 第 １４ 题图 (１)ＣＯ ＡＯ ＝ 　 　 . (２) Ｓ△ＡＢＤ Ｓ△ＣＢＤ ＝ 　 　 . 三、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １５.已知(α＋３０°)是锐角ꎬ且 ｓｉｎ(α＋３０°)＝ ２ ２ ꎬ求 ｓｉｎ(α＋４５°)的值. １６.计算:ｓｉｎ ３０° ｃｏｓ ４５° － (１－ｔａｎ ３０°) ２ －ｔａｎ ４５°. 四、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １７.如图ꎬ在△ＡＢＥ 中ꎬ∠ＡＥＢ ＝ ９０°ꎬ∠ＢＡＥ ＝ ３０°ꎬ点 ＣꎬＤ 分别在线段 ＢＥꎬＡＥ 上ꎬ且∠ＣＤＥ ＝ ６０°.若 ＢＣ＝ ４ ｍꎬＡＤ＝ ２０ ｍꎬ试求 ＢＥ 的长(结果精确到 ０.１ ｍꎬ ３≈１.７３) . 第 １７ 题图 １８.如图ꎬ在山顶上有一个信号塔 ＡＣꎬ已知信号塔高 ＡＣ＝ １５ ｍꎬ在山脚下点 Ｂ 处测得塔底 Ｃ 的仰角 ∠ＣＢＤ＝ ３６.９°ꎬ塔顶 Ａ 的仰角∠ＡＢＤ＝ ４２°ꎬ求山高 ＣＤ(点 ＡꎬＣꎬＤ 在同一条竖直线上.参考数据: ｔａｎ ３６.９°≈０.７５ꎬｓｉｎ ３６.９°≈０.６０ꎬｔａｎ ４２°≈０.９０) . 第 １８ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１　 五、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 １０ 分ꎬ满分 ２０ 分) １９.如图 １ 所示是公共自行车的实物图ꎬ图 ２ 是公共自行车的车架示意图ꎬ点 ＡꎬＤꎬＣꎬＥ 在同一条直 线上ꎬＣＤ＝ ３５ ｃｍꎬＤＦ＝ ２４ ｃｍꎬＡＦ＝ ３０ ｃｍꎬＦＤ⊥ＡＥ 于点 Ｄꎬ座杆 ＣＥ＝ １５ ｃｍꎬ且∠ＥＡＢ＝ ７５°. (１)求 ＡＤ 的长. (２)求点 Ｅ 到 ＡＢ 的距离.(结果保留整数ꎬ参考数据:ｓｉｎ ７５°≈０.９７ꎬｃｏｓ ７５°≈０.２６ꎬｔａｎ ７５°≈ ３.７３) 　 第 １９ 题图 ２０.如图ꎬ在四边形 ＡＢＣＤ 中ꎬ∠ＡＤＣ＝ ９０°ꎬ∠Ａ＝ ４５°ꎬＡＢ＝ ２ꎬＢＤ＝ ３. (１)求 ｓｉｎ∠ＡＤＢ 的值. (２)若 ＤＣ＝ ３ꎬ求边 ＢＣ 的长. 第 ２０ 题图 六、(本题满分 １２ 分) ２１.如图ꎬ海岛 Ｂ 在海岛 Ａ 的北偏东 ３０°方向ꎬ且与海岛 Ａ 相距 ２０ ｎ ｍｉｌｅ.一艘渔船从海岛 Ｂ 出发ꎬ以 ５ ｎ ｍｉｌｅ / ｈ 的速度沿北偏东 ７５°方向航行ꎬ同时一艘快艇从海岛 Ａ 出发ꎬ向正东方向航行 ２ ｈ 后ꎬ 快艇到达 Ｃ 处ꎬ此时渔船恰好到达快艇正北方向的 Ｅ 处(参考数据:ｓｉｎ １５°≈０.２６ꎬｃｏｓ １５°≈ ０.９７ꎬｔａｎ １５°≈０.２７ꎬ ３≈１.７３) . (１)求∠ＡＢＥ 的度数. (２)求快艇的速度及 ＣꎬＥ 之间的距离. 第 ２１ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２　 七、(本题满分 １２ 分) ２２.如图ꎬ光从空气斜射入水中ꎬ入射光线 ＡＢ 射到水池的水面点 Ｂ 后折射光线 ＢＤ 射到池底点 Ｄ 处ꎬ入射角∠ＡＢＭ＝ ３０°ꎬ折射角∠ＤＢＮ＝ ２２°ꎻ入射光线 ＡＣ 射到水池的水面点 Ｃ 后折射光线 ＣＥ 射到池底点 Ｅ 处ꎬ入射角∠ＡＣＭ′＝ ６０°ꎬ折射角∠ＥＣＮ′＝ ４０.５°.ＤＥ∥ＢＣꎬＭＮꎬＭ′Ｎ′为法线.入射光 线 ＡＢꎬＡＣ 和折射光线 ＢＤꎬＣＥ 及法线 ＭＮꎬＭ′Ｎ′都在同一平面内ꎬ点 Ａ 到直线 ＢＣ 的距离为 ６ ｍ. (１)求 ＢＣ 的长(结果保留根号) . (２)若 ＤＥ＝ ８.７２ ｍꎬ求水池的深.(参考数据: ２≈１.４１ꎬ ３≈１.７３ꎬｓｉｎ ２２°≈０.３７ꎬｃｏｓ ２２°≈０.９３ꎬ ｔａｎ ２２°≈０.４ꎬｓｉｎ ４０.５°≈０.６５ꎬｃｏｓ ４０.５°≈０.７６ꎬｔａｎ ４０.５°≈０.８５) 第 ２２ 题图 八、(本题满分 １４ 分) ２３.数学老师布置了这样一道题目: 若 αꎬβ 都为锐角ꎬ且 ｔａｎ α＝ １ ３ ꎬｔａｎ β＝ １ ２ ꎬ求 α＋β 的度数. 甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题.他们分别设计了图 １ 和图 ２. (１)请你分别利用图 １ꎬ图 ２ 求出 α＋β 的度数ꎬ并说明理由. (２)请参考以上思考问题的方法ꎬ选择一种方法解决下面问题: 若 αꎬβ 都为锐角ꎬ当 ｔａｎ α＝ ５ꎬｔａｎ β ＝ ２ ３ 时ꎬ在图 ３ 的正方形网格中ꎬ利用已作出的锐角 αꎬ画出 ∠ＭＯＮꎬ使得∠ＭＯＮ＝α－β.求出 α－β 的度数ꎬ并说明理由. 图 １　 　 　 　 　 　 　 　 图 ２　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 ３ 第 ２３ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴AC=CD90 5am36.9°=CD=0.75.5CD=0.75BD sin A 0.60 =150(m). BD BD⊥AB, AC=AD-CD,..15=0.15BD,..BD=100 m, .∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形. .CD=0.75BD=75m,.山高CD为75m. BC 19.解：(1)在Rt△ADF中，AF=30cm,DF=24cm, 六CD=sin L BDC, 由勾股定理，得AD=√AF2-DF=√30-24= .BC=CD·sin∠BDC≈90x0.60=54(m), 18(cm). ∴.AB=AC-BC=150-54=96(m). (2)过点E作EH⊥AB,垂足为H 答：A,B两点间的距离为96m. 单元学情调研（三） 1.D2.C3B4.A5.D 6.A7.B8.D9.B10.D 号21201Bn 14.(1)3 2 e 图2 AE=AD+DC+CE=68 cm, 15.解：sin(a+30)= 2,且(a+30)为锐角， .EH=AE·sin75°≈68x0.97=65.96≈66(cm), ∴.点E到AB的距离约是66cm. .a+30°=45°，.a=15°， 20.解：(1)过点B作BE⊥AD于点E. sin(a+45)=sin 60 在Rt△ABE中，.∠A=45°，AB=2, .'AE=BE=1. BE 1 16.解：原式= 2 哥} 在R△BDE中，in∠ADB=BD3 3 21 1323-32 31=3+2 -2 17.解：设DE=xm. (2)过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFD= ,∠CDE=60°，∠AEB=90°， ∠BED=∠ADC=90°，.四边形BEDF是矩形， ∴.CE=DE·tan60°=√3xm, .DF BE =1,BF DE =NBD2-BE2 .BE=BC+CE=(4+3x)m. √/32-17=22 .∠BAE=30°， ,DC=3,∴.FC=2 .AE=√3BE=(43+3x)m, 则BC=√BF2+FC=√(2√2)+22=25. .∴.43+3x=20+x,解得x=10-23, 21解：(1)过点B作BD⊥AC于点D,作BF⊥CE .BE=4+√3(10-23)=105-2≈15.3(m). 于点F 故BE的长为15.3m. 18.解：在R△ABD中，tanLABD=AD 东 BD .tan 420=AD BD =0.9,.AD≈0.9BD CD C 在Rt△BCD中，tan∠CBD= BD' 由题意，得∠NAB=30°，∠GBE=75 一13 ,AN∥BD,∴.∠ABD=∠NAB=30 由题意，可知∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°， :∠DBE=180°-∠GBE=180°-75°=105， DE=8.72m,∴.DN=BN·tan22°≈0.4x(m), ∴.∠ABE=∠ABD+∠DBE=30+105°=135. N'E=CN'·an40.5°≈0.85x(m). (2)BE=5×2=10(n mile). DN+DE=BC+N'E. 在R△BEF中，∠EBF=90°-75°=15°， ,∴.0.4x+8.72=4√3+0.85x,解得x≈4，即水池的 .EF=BE×sin15°≈10×0.26=2.6(n mile), 深约为4m. BF=BE×cos15°≈10×0.97=9.7(n mile)） 23.解：(1)①如图1.在△AMC和△CNB中，AM= 在R△ABD中，AB=20 n mile,∠ABD=30°， CN,∠AMC=∠CNB=90°，MC=BN, .AD=ABxsin30°=20x。=10(n mile), ∴.△AMC≌△CNB(SAS), 2 ,∴.AC=BC,∠ACM=∠CBN. 80=A0xm30=20x5=10,5=10x1.73 .∠BCN+∠CBN=90°， ∴.∠ACM+∠BCN=90°，∴.∠ACB=90°， 17.3(n mile). ∴.∠CAB=∠CBA=45°，∴.a+B=45 .BD⊥AC,BF⊥CE,CE⊥AC. ②如图2，设正方形的边长为1，则CE=1,AE= ∴.∠BDC=∠DCF=∠BFC=90°， .四边形BDCF为矩形 25能合号-号- .DC=BF=9.7 n mile,FC=BD=17.3 n mile, ∠CEB=∠AEB,∴.△CEB∽△BEA. .AC=AD+DC=10+9.7=19.7(n mile), ,∴.∠CAB=∠CBE=a, CE=EF+CF=2.6+17.3=19.9(n mile). ∴.∠BED=∠ECB+∠CBE=a+B. 设快艇的速度为en mile/h, ,DE=DB,∠D=90°，∠BED=45°，∴.a+B=45°. 则=197 -=9.85(n mile/,h), (2)如图3，∠MOE=a,∠NOH=B,∠MON=a-B. ∴.快艇的速度为9.85 n mile./h,C,E之间的距 离为19.9 n mile. 22.解：(1)过点A作AF⊥BC,与CB的延长线交 于点F,则AF∥MN∥M'N', M 图3 (MF=NH, 空气 在△MFW和△NHO中，∠MFN=∠NHO, FN=HO. ∴.△MFN≌△NHO(SAS), ∴.∠ABM=∠BAF,∠ACM'=∠CAF ∴.MN=NO,∠MNF=∠NOH. .∠ABM=30°，∠ACM'=60°，.∠BAF=30°， ,∠NOH+∠ONI=90°，∴.∠ONH+∠MNF= ∠CAF=60° 90°，∴.∠MN0=90° ∴.∠N0M=∠NM0=45°，∴.a-B=45. ,AF=6m,∴.BF=AF·tan30°=6x =23(m), 3 周段学情调研（九）】 CF=AF·tan60°=6×3=63(m), 1.D2.C3.B4.B5.B6.D7.C8.C ∴.BC=CF-BF=63-23=43(m),即BC的 9.35°10.1211.5 w5 12.(1)5(2)52 长为43m. (2)设水池的深为xm,则BN=CN'=xm 13.解：AB=CD,.AB=CD, 14