周段学情调研(4)-【学仕邦】2024-2025学年九年级全一册数学大联考单元期末测试卷（沪科版）

１１　 (时间 ６０ 分钟　 满分 １００ 分) 考查内容:２２.１ 比例线段 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、选择题(本大题共 ８ 小题ꎬ每小题 ４ 分ꎬ满分 ３２ 分) 每小题都给出 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个选项ꎬ其中只有一个是正确的. １.下列图形中一定是相似形的是 (　 　 ) Ａ.两个等边三角形 Ｂ.两个菱形 Ｃ.两个矩形 Ｄ.两个直角三角形 ２.若 ｂ ａ ＝ １ ４ ꎬ则ａ ＋ｂ ａ 的值是 (　 　 ) Ａ. ５ ４ Ｂ. ４ ５ Ｃ. ３ ４ Ｄ. ４ ３ ３.已知线段 ｂ 是线段 ａ 和线段 ｃ 的比例中项ꎬ且 ａ＝ ３ꎬｃ＝ ４ꎬ则 ｂ 的值是 ( ) Ａ.３.５ Ｂ.６ Ｃ.２ ３ Ｄ.３ ２ ４.某零件的长是 ４０ ｃｍꎬ若该零件在设计图上的长是 ２ ｍｍꎬ则这幅设计图的比例尺是 (　 　 ) Ａ.１ ∶２ ０００ Ｂ.１ ∶２００ Ｃ.２００ ∶１ Ｄ.２ ０００ ∶１ ５.如图ꎬＡＢ∥ＣＤꎬＡＤ 与 ＢＣ 相交于点 Ｏ.若 ＡＯ＝ ２ꎬＤＯ＝ ４ꎬＢＯ＝ ３ꎬ则 ＯＣ 的长为 (　 　 ) Ａ.６ Ｂ.９ Ｃ.１２ Ｄ.１５ 第 ５ 题图 　 　 　 　 　 第 ６ 题图 　 　 　 　 　 第 ８ 题图 ６.如图ꎬ直线 ｌ１ꎬｌ２ 被一组平行线所截ꎬ交点分别为点 ＡꎬＢꎬＣ 及 ＤꎬＥꎬＦ.若 ＤＥ ＝ ２ꎬＤＦ ＝ ５ꎬＢＣ ＝ ４ꎬ则 ＡＢ 的长是 (　 　 ) Ａ. ４ ３ Ｂ. ８ ３ Ｃ.２ Ｄ.６ ７.已知点 Ｐ 是线段 ＡＢ 的黄金分割点ꎬ且 ＡＰ>ＢＰꎬ则下列比例式中成立的是 (　 　 ) Ａ.ＡＢ ＡＰ ＝ ＡＰ ＢＰ Ｂ.ＡＢ ＡＰ ＝ＢＰ ＡＢ Ｃ.ＢＰ ＡＰ ＝ ＡＢ ＢＰ Ｄ.ＡＢ ＡＰ ＝ ５ －１ ２ ８.如图ꎬＡＣ∥ＢＤꎬＡＤ 与 ＢＣ 相交于点 Ｅꎬ过点 Ｅ 作 ＥＦ∥ＢＤꎬ交线段 ＡＢ 于点 Ｆꎬ则下列各式中 错误的是 (　 　 ) Ａ.ＡＦ ＢＦ ＝ ＡＥ ＤＥ Ｂ.ＢＦ ＡＦ ＝ＢＥ ＣＥ Ｃ.ＡＥ ＡＤ ＋ＢＥ ＢＣ ＝ １ Ｄ.ＡＦ ＢＦ ＝ＣＥ ＤＥ 二、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分) ９.已知 ａꎬｂꎬｃꎬｄ 是成比例线段ꎬ且 ａ＝ ２ꎬｂ＝ ６ꎬｃ＝ ３ꎬ则 ｄ＝ 　 　 . １０.若 ｂ ａ ＝ ｄ ｃ ＝ １ ２ (ａ≠ｃ)ꎬ则ｂ －ｄ ａ－ｃ ＝ 　 　 . １１.大自然巧夺天工ꎬ一片树叶也蕴含着“黄金分割” .如图ꎬＰ 为线段 ＡＢ 的黄金分割点(ＡＰ>ＰＢ) .如 果 ＡＢ 的长度为 ８ ｃｍꎬ那么叶片部分 ＡＰ 的长度是　 　 ｃｍ. 第 １１ 题图 　 　 　 　 　 　 第 １２ 题图 １２.如图ꎬｌ１∥ｌ２∥ｌ３ꎬＡＤ＝ ２ꎬＤＥ＝ ４. (１)若 ＡＢ＝ ３ꎬ则 ＢＣ＝ . (２)若 ＥＦ＝ ７.５ꎬ则 ＢＥ＝ . 三、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ６ 分ꎬ满分 １２ 分) １３.已知 ａ ∶ ｂ ∶ ｃ＝ ３ ∶ ５ ∶ ６ꎬ且 ２ａ＋ｂ－ｃ＝ １０ꎬ求 ａｂ－ｃ 的值. １４.如图ꎬ矩形草坪长 ３０ ｍ、宽 ２０ ｍꎬ沿草坪四周有 １ ｍ 宽的环形小路ꎬ小路内外边缘形成的两个 矩形相似吗? 说出你的理由. 　 第 １４ 题图 四、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １５.如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬ点 Ｅ 是 ＡＣ 上的一点ꎬＥＦ⊥ＡＢꎬＥＧ⊥ＡＤꎬＡＢ＝ ６ꎬＡＥ ∶ ＥＣ＝ ２ ∶ １.求四边 形 ＡＦＥＧ 的面积. 　 　 第 １５ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２　 １６.如图ꎬ已知直线 ｌ１ꎬｌ２ꎬｌ３分别截直线 ｌ４于点 ＡꎬＢꎬＣꎬ截直线 ｌ５于点 ＤꎬＥꎬＦꎬ且 ｌ１∥ｌ２∥ｌ３ . (１)若 ＡＢ＝ ３ꎬＢＣ＝ ６ꎬＤＥ＝ ４ꎬ求 ＥＦ 的长. (２)若 ＤＥ ∶ ＥＦ＝ ２ ∶ ３ꎬＡＣ＝ ２５ꎬ求 ＡＢ 的长. 第 １６ 题图 五、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 １０ 分ꎬ满分 ２０ 分) １７.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＤＦ∥ＡＣꎬＤＥ∥ＢＣ. (１)求证:ＢＦ ＦＣ ＝ＣＥ ＡＥ . (２)若 ＡＥ＝ ４ꎬＥＣ＝ ２ꎬＢＣ＝ １０ꎬ求 ＢＦ 和 ＣＦ 的长. 第 １７ 题图 １８.请阅读以下材料ꎬ并回答相应的问题: 角平分线分线段成比例定理:如图 １ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＡＤ 平分∠ＢＡＣꎬ则ＡＢ ＡＣ ＝ＢＤ ＣＤ .下面是这个定理的 部分证明过程. 证明:如图 １ꎬ过点 Ｃ 作 ＣＥ∥ＤＡꎬ交 ＢＡ 的延长线于点 Ｅ. 　 　 　 图 １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 图 ２ 第 １８ 题图 (１)请按照上面的证明思路ꎬ写出该证明的剩余部分. (２)填空:如图 ２ꎬ已知在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬＡＢ＝ ３ꎬＢＣ＝ ４ꎬ∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬＡＤ 平分∠ＢＡＣꎬ则△ＡＢＤ 的周 长是　 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 把(１２ꎬ５００)ꎬ(１４ꎬ４００)代入ꎬ 得 １２ｋ＋ｂ＝ ５００ꎬ １４ｋ＋ｂ＝ ４００ꎬ{ 解得 ｋ＝ －５０ꎬ ｂ＝ １ １００ꎬ{ ∴ ｙ 与 ｘ 之间的函数表达式为 ｙ＝ －５０ｘ＋１ １００. (２)ｗ ＝ ( ｘ－ １０) ｙ ＝ ( ｘ － １０) ( － ５０ｘ ＋ １ １００) ＝ －５０(ｘ－１６) ２＋１ ８００. ∵ ａ＝ －５０<０ꎬ∴ ｗ 有最大值ꎬ∴ 当 ｘ<１６ 时ꎬｗ 随 ｘ 的增大而增大. ∵ １２≤ｘ≤１５ꎬ且 ｘ 为整数ꎬ ∴ 当 ｘ ＝ １５ 时ꎬｗ 有最大值ꎬ此时 ｗ ＝ －５０(１５－ １６) ２＋１ ８００＝ １ ７５０. 答:当销售单价定为 １５ 元时ꎬ每周所获利润最 大ꎬ最大利润是 １ ７５０ 元. ２３.解:(１)点 Ｂ 在直线 ｙ＝ ｘ＋ｍ 上.理由如下: ∵ 直线 ｙ＝ ｘ＋ｍ 经过点 Ａ(１ꎬ２)ꎬ ∴ ２＝ １＋ｍꎬ解得 ｍ＝ １ꎬ∴ 直线为 ｙ＝ ｘ＋１. 把 ｘ＝ ２ 代入 ｙ＝ ｘ＋１ꎬ得 ｙ＝ ３ꎬ ∴ 点 Ｂ(２ꎬ３)在直线 ｙ＝ ｘ＋ｍ 上. (２)∵ 直线 ｙ＝ ｘ＋１ 与抛物线 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋１ 都经 过点(０ꎬ１)ꎬ且 ＢꎬＣ 两点的横坐标相同ꎬ ∴ 抛物线只能经过 ＡꎬＣ 两点. 把点 Ａ(１ꎬ２)ꎬＣ(２ꎬ１)代入 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ｂｘ＋ １ꎬ得 ａ＋ｂ＋１＝ ２ꎬ ４ａ＋２ｂ＋１＝ １ꎬ{ 解得 ａ＝ －１ꎬ ｂ＝ ２.{ (３)由(２)知ꎬ抛物线为 ｙ＝ －ｘ２＋２ｘ＋１. 设平移后的抛物线为 ｙ ＝ －ｘ２ ＋ｐｘ＋ｑꎬ其顶点坐 标为 ｐ ２ ꎬｐ ２ ４ ＋ｑæ è ç ö ø ÷ . ∵ 顶点仍在直线 ｙ＝ ｘ＋１ 上ꎬ∴ ｐ ２ ４ ＋ｑ＝ ｐ ２ ＋１ꎬ ∴ ｑ＝ － ｐ ２ ４ ＋ ｐ ２ ＋１. ∵ 抛物线 ｙ＝ －ｘ２＋ｐｘ＋ｑ 与 ｙ 轴的交点的纵坐标 为 ｑꎬ ∴ ｑ＝ －ｐ ２ ４ ＋ ｐ ２ ＋１＝ － １ ４ (ｐ－１) ２＋ ５ ４ . ∵ － １ ４ <０ꎬ ∴ 当 ｐ＝ １ 时ꎬｑ 有最大值ꎬ最大值为 ５ ４ ꎬ ∴ 平移后所得抛物线与 ｙ 轴交点的纵坐标的 最大值为 ５ ４ . 周段学情调研(四) １.Ａ　 ２.Ａ　 ３.Ｃ　 ４.Ｂ　 ５.Ａ　 ６.Ｂ　 ７.Ａ　 ８.Ｄ ９.９　 １０. １ ２ 　 １１.(４ ５ －４)　 １２.(１)６　 (２)５ １３.解:由题可设 ａ＝ ３ｘꎬ则 ｂ＝ ５ｘꎬｃ＝ ６ｘ. 又∵ ２ａ＋ｂ－ｃ＝ １０ꎬ∴ ６ｘ＋５ｘ－６ｘ＝ １０ꎬ 解得 ｘ＝ ２ꎬ∴ ａ＝ ６ꎬｂ＝ １０ꎬｃ＝ １２ꎬ ∴ ａｂ－ｃ＝ ６×１０－１２＝ ４８. １４.解:不相似.理由如下: ∵ 草坪四周有 １ ｍ 宽的环行小路ꎬ ∴ 小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别 为 ３０ ｍꎬ２０ ｍ 和 ２８ ｍꎬ１８ ｍ. ∵ ３０ ２８ ≠２０ １８ ꎬ３０ １８ ≠２０ ２８ ꎬ ∴ 这两个矩形的边不成比例ꎬ它们不相似. １５.解:∵ 四边形 ＡＢＣＤ 为正方形ꎬ ∴ ∠ＤＡＢ＝ ９０°ꎬ∠ＤＡＣ＝ ４５°. 又∵ ＥＦ⊥ＡＢꎬＥＧ⊥ＡＤꎬ ∴ ＥＦ∥ＢＣꎬ∠ＡＦＥ＝∠ＡＧＥ＝ ９０°ꎬ ∴ 四边形 ＡＦＥＧ 是矩形ꎬ ∠ＡＥＧ＝ ９０°－∠ＤＡＣ＝ ４５°ꎬ ∴ ∠ＧＡＥ＝∠ＡＥＧ＝ ４５°ꎬ∴ ＧＥ＝ＡＧꎬ ∴ 矩形 ＡＦＥＧ 是正方形. ∵ ＥＦ∥ＢＣꎬＡＥ ∶ ＥＣ＝ ２ ∶ １ꎬ∴ ＡＥ ＥＣ ＝ ＡＦ ＦＢ ＝ ２ꎬ ∴ ＡＦ＝ ２ＦＢ. ∵ ＡＢ＝ ６ꎬＡＢ＝ＡＦ＋ＦＢꎬ∴ ＡＦ＝ ４ꎬ ∴ 正方形 ＡＦＥＧ 的面积为 １６. １６.解(１)∵ ｌ１∥ｌ２∥ｌ３ꎬ∴ ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥ ＥＦ . ∵ ＡＢ＝ ３ꎬＢＣ＝ ６ꎬＤＥ＝ ４ꎬ ∴ ３ ６ ＝ ４ ＥＦ ꎬ ∴ ＥＦ＝ ８. (２)∵ ｌ１∥ｌ２∥ｌ３ꎬ∴ ＡＢ ＢＣ ＝ＤＥ ＥＦ ＝ ２ ３ ꎬ∴ ＢＣ＝ ３ ２ ＡＢ. ∵ ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝ ２５ꎬ ∴ ＡＢ＝ ２ ５ ×２５＝ １０. １７.解:(１)证明:∵ ＤＦ∥ＡＣꎬ ∴ ＢＦ ＦＣ ＝ＢＤ ＡＤ . —５— ∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ∴ ＢＤ ＡＤ ＝ＣＥ ＡＥ ꎬ∴ ＢＦ ＦＣ ＝ＣＥ ＡＥ . (２)设 ＢＦ＝ ｘ. ∵ ＢＣ＝ １０ꎬ∴ ＣＦ＝ １０－ｘ. 由(１)可知ꎬＢＦ ＦＣ ＝ＣＥ ＡＥ ꎬ且 ＡＥ＝ ４ꎬＥＣ＝ ２ꎬ ∴ ｘ １０－ｘ ＝ ２ ４ ꎬ解得 ｘ＝ １０ ３ ꎬ∴ ＢＦ＝ １０ ３ ꎬ ∴ ＣＦ＝ １０－１０ ３ ＝ ２０ ３ . １８.解:(１)证明:∵ ＣＥ∥ＡＤꎬ ∴ ＡＢ ＡＥ ＝ＢＤ ＣＤ ꎬ∠２＝∠ＡＣＥꎬ∠１＝∠Ｅ. ∵ ＡＤ 平分∠ＢＡＣꎬ∴ ∠１＝∠２ꎬ ∴ ∠ＡＣＥ＝∠Ｅꎬ∴ ＡＥ＝ＡＣꎬ ∴ ＡＢ ＡＣ ＝ＢＤ ＣＤ . (２)∵ ＡＢ＝ ３ꎬＢＣ＝ ４ꎬ∠ＡＢＣ＝ ９０°ꎬ ∴ ＡＣ＝ ５. ∵ ＡＤ 平分∠ＢＡＣꎬ∴ ＡＣ ＡＢ ＝ＣＤ ＢＤ ꎬ即 ５ ３ ＝ＣＤ ＢＤ . ∵ ＢＣ＝ＣＤ＋ＢＤꎬ ∴ ＢＤ＝ ３ ２ ꎬＣＤ＝ ５ ２ ꎬ ∴ ＡＤ＝ ＢＤ２＋ＡＢ２ ＝ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋３２ ＝ ３ ５ ２ ꎬ ∴ △ＡＢＤ 的周长为 ３ ２ ＋３＋３ ５ ２ ＝ ９＋３ ５ ２ . 周段学情调研(五) １.Ａ　 ２.Ａ　 ３.Ｃ　 ４.Ｄ　 ５.Ｂ　 ６.Ｃ　 ７.Ｄ　 ８.Ｂ ９.∠Ｂ＝∠ＤＥＣ　 １０.１６ ５ 　 １１.３ １２.(１)１５　 (２)７４° １３.证明:∵ ＡＢ＝ＡＣꎬＤ 是 ＢＣ 边的中点ꎬ ∴ ＡＤ⊥ＢＣ. ∵ ＣＥ⊥ＡＢꎬ∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＢ＝ ９０°. ∵ ∠Ｂ＝∠Ｂꎬ∴ △ＡＢＤ∽△ＣＢＥ. １４.解:∵ ＡＤ＝ ２ꎬＤＢ＝ ７ꎬＡＥ＝ ３ꎬＥＣ＝ ３ꎬ ∴ ＡＢ＝ＡＤ＋ＤＢ＝ ９ꎬＡＣ＝ＡＥ＋ＥＣ＝ ６. ∵ ＡＥ ＡＢ ＝ ３ ９ ＝ １ ３ ꎬＡＤ ＡＣ ＝ ２ ６ ＝ １ ３ ꎬ ∴ ＡＥ ＡＢ ＝ＡＤ ＡＣ ꎬ且∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△ＡＥＤꎬ∴ ＤＥ ＢＣ ＝ＡＤ ＡＣ ＝ １ ３ . １５.证明:(１)∵ ＡＤ ＡＢ ＝Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′ ꎬ∴ ＡＤ Ａ′Ｄ′ ＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ . ∵ ＣＤ Ｃ′Ｄ′ ＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ ꎬ ∴ ＣＤ Ｃ′Ｄ′ ＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ ＡＤ Ａ′Ｄ′ ꎬ∴ △ＡＤＣ∽△Ａ′Ｄ′Ｃ′. (２)由(１)ꎬ得∠Ａ＝∠Ａ′. 又∵ ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ ꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′. １６.解:过点 Ｄ 作 ＤＧ∥ＡＣ 交 ＢＥ 于点 Ｇ. ∵ ＡＤ 是△ＡＢＣ 的中线ꎬ∴ ＢＤ＝ＣＤ. ∵ ＡＣ＝ ４ＡＥꎬ∴ ＣＥ＝ ３ＡＥ. ∵ ＤＧ∥ＣＥꎬ∴ ＤＧ ＣＥ ＝ＢＤ ＢＣ ＝ １ ２ ꎬ即 ＤＧ＝ １ ２ ＣＥꎬ ∴ ＤＧ＝ ３ ２ ＡＥ. ∵ ＤＧ∥ＡＥꎬ∴ ＡＦ ＤＦ ＝ ＡＥ ＤＧ ＝ ＡＥ ３ ２ ＡＥ ＝ ２ ３ ꎬ∴ ＡＦ ＡＤ ＝ ２ ５ ꎬ ∴ ＡＦ＝ ２ ５ ＡＤ＝ ２ ５ ×３＝ １.２. １７.证明:(１)∵ ＧＦ＝ＡＦꎬ∴ ∠ＦＡＧ＝∠ＦＧＡ. ∵ ＦＧ∥ＢＥꎬ∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＦＧＡꎬ ∴ ∠ＦＡＧ＝∠ＢＡＤꎬ即 ＡＤ 平分∠ＢＡＣ. (２)∵ ＢＥ＝ＧＦ＝ＡＦꎬ∴ ＡＦ＝ ９ ４ . ∵ ＡＢ＝ ４ꎬＡＧ＝ ３ꎬＢＥ＝ ９ ４ ꎬ ∴ ＡＦ ＡＧ ＝ＦＧ ＡＧ ＝ＢＥ ＡＧ ＝ＡＧ ＡＢ ＝ ３ ４ . 又∵ ∠ＦＡＧ＝∠ＢＡＤꎬ∴ △ＡＢＧ∽△ＡＧＦ. １８.解:(１)∵ ＡＣ＝ ６ ｃｍꎬＢＣ＝ ８ ｃｍꎬ∠ＡＣＢ＝ ９０°ꎬ —６—