专题4.3 三角形中角度计算七大几何模型（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（人教版）

专题4.3 三角形中角度计算七大几何模型 【人教版】 【模型1 8字模型】 1 【模型2 飞镖模型】 3 【模型3 A字模型】 6 【模型4 老鹰抓小鸡模型】 7 【模型5 双内角平分线模型】 9 【模型6 双外角平分线模型】 12 【模型7 内外角平分线模型】 14 【模型1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°. 在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【练习】 1．如图，∠C＝∠D＝90°，∠A＝20°，则∠COA＝　 　，∠B＝　 　． 2．如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　． 3．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为　　． 4．如图所示，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． 5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．240° B．300° C．360° D．540° 6．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 7．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC． （1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系； （3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ∠ABC，∠EDP∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系． 【模型2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角， ∵∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【练习】 1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，则∠A的度数是（　　） A．37° B．61° C．60° D．39° 2．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 3．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（　　） A．90° B．180° C．360° D．无法确定 4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　°． 5．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　°． 6．如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC＝50°，则∠BHC的度数是　 　． 7．【探究】如图①，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C． 【应用】（1）如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A＝28°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； （2）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【模型3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角， ∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【练习】 1．如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为（　　） A．180° B．215° C．235° D．245° 2．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2＝214°，则∠A的度数为（　　） A．17° B．34° C．68° D．无法确定 3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．140° B．180° C．250° D．360° 4．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　61°　． 5．如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【模型4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角， ∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【练习】 1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（　　） A．40° B．60° C．80° D．140° 2．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 4．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　． 5．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部） （1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝　 　°． （2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数． 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：　 　．（不需说明理由）． 【模型5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【练习】 1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC＝80°，则∠BOC的度数是（　　） A．130° B．120° C．100° D．90° 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 3．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　 　． 4．已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数． 5．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O （1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝a，求∠BOC的度数； （3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数． 6．已知△ABC中，∠A＝60°，在图（1）中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，则计算可得∠BO1C＝120°： （1）在图（2）中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，得到∠BO2C．则∠BO2C＝　　； （2）在图（3）中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2⋯On﹣1，则∠BOn﹣1C＝　　（用含n的代数式表示）． 【模型6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【练习】 1．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　 　． 2．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，当∠Q＝65°，则∠BPC＝　 °． 3．如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点G．若∠G＝67°，那么∠P＝　 　°． 4．如图，△ABC中，∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，∠FCB与∠CBG的平分线将于点E，若BE∥AC，则 　 　． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　） A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC 6．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（　　）时，AM∥BN． A．45° B．50° C．60° D．120° 【模型7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【练习】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 2．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝100°，则∠A+∠E＝（　　） A．40° B．90° C．100° D．140° 3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 4．如图，在△ABC中，∠ACB＜∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD＝∠CBD；②∠ABE+∠A＝90°；③；④∠A﹣∠ACB＝2∠EBD．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，⋯，∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】 如图（1），若∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D＝　 　°； （2）【问题推广】 ①如图（2），若∠MON＝α（0°＜α＜180°），（1）中的其余条件不变，则∠D＝ °（用含α的代数式表示）； ②如图（2），∠MON＝α（0°＜α＜180°），点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠Dα，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由； （3）【拓展提升】 如图（3），若∠NBC∠ABN，∠DAO∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数式表示），并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 三角形中角度计算七大几何模型 【人教版】 【模型1 8字模型】 1 【模型2 飞镖模型】 6 【模型3 A字模型】 14 【模型4 老鹰抓小鸡模型】 17 【模型5 双内角平分线模型】 23 【模型6 双外角平分线模型】 29 【模型7 内外角平分线模型】 36 【模型1 8字模型】 【结论】如图，AC与BD相交于点O，则∠A+∠B=∠C+∠D. 【证明】在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°. 在△CDO中，∠C+∠D＋∠COD=180°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A＋∠B=∠C+∠D. 【练习】 1．如图，∠C＝∠D＝90°，∠A＝20°，则∠COA＝　 　，∠B＝　 　． 【分析】依据三角形内角和定理，以及对顶角相等，即可得到∠AOC和∠B的度数． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝20°， ∴∠AOC＝∠BOD＝70°， 又∵∠D＝90°， ∴∠B＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：70°，20°． 2．如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，再根据三角形的内角和等于180°求解即可． 【解答】解：如图，∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2， ∵∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 故答案为：180°． 3．如图，是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为　　． 【分析】首先求出∠F+∠B＝∠D+∠EGD，然后证明出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，最后结合题干∠D＝28°求出∠A+∠B+∠C+∠F的度数． 【解答】解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A， 又∵∠BED＝∠D+∠EGD， ∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD， 又∵∠CGE+∠EGD＝180°， ∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°， 又∵∠D＝28°， ∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°． 故答案为：208°． 4．如图所示，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　 　． 【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可． 【解答】解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D， ∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°， ∴∠2+∠3＝120°， 即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°， ∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°． 故答案为：240°． 5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（　　） A．240° B．300° C．360° D．540° 【分析】连接BD，根据三角形内角和定理与对顶角的性质得出∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案． 【解答】解：连接BD， ∵∠E+∠F＝∠GDB+∠GBD， 又∵∠A+∠C+∠CDB+∠DBA＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠GDB+∠GBD＝360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 故选：C． 6．如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD）． ∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90° ∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°． 综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°． 7．我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，AD，BC相交于点O，连接AB，CD得到“8”字图形ABDC． （1）如图1，试说明∠A+∠B＝∠C+∠D的理由； （2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索∠E与∠A、∠C间的关系； （3）如图3，点E为CD延长线上一点，BQ、DP分别是∠ABC、∠ADE的四等分线，且∠CBQ∠ABC，∠EDP∠ADE，QB的延长线与DP交于点P，请探索∠P与∠A、∠C的关系． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠CBE，∠CDE＝∠ADE，结合（1）的结论可得2∠E＝∠A+∠C； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【解答】解：（1）如图1， ∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）如图2， ∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E， ∴∠ABE＝∠CBE，∠CDE＝∠ADE， 由（1）可得：∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠A+∠ABE+∠C+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴2∠E＝∠A+∠C． （3）由（1）得：∠A+∠ABC＝∠C+∠CDA， ∴， 又，，∠CDA＝180°﹣∠ADE， ∴， 设AD与PQ的交点为点O， 则∠CBQ+∠BOD＝∠C+∠ADC， 两式相减可得：， ∴， ∴， ∵∠P＝180°﹣∠BOD﹣∠ADP， ∴， 即∠A+3∠C+4∠P＝180°． 【模型2 飞镖模型】 【结论】如图所示，已知四边形ABDC，则∠BDC=∠A+∠B+∠C. 【证明】如图,延长BD交AC于点E. ∠BEC是△ABE的外角， ∵∠BEC=∠A+∠B. 又∵∠BDC是△CDE的外角， ∴∠BDC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C. 【练习】 1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，则∠A的度数是（　　） A．37° B．61° C．60° D．39° 【分析】首先连接AD，并延长到E，根据三角形外角的性质，易得∠BDC＝∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠BAC，继而求得答案． 【解答】解：连接AD，并延长到E， ∵∠1＝∠B+∠BAD，∠2＝∠C+∠CAD， ∴∠BDC＝∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠BAC， ∵∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°， ∴∠BAC＝∠BDC﹣∠B﹣∠C＝37°． 故选：A． 2．如图，已知在△ABC中，∠A＝40°，将一块直角三角板放在△ABC上，使三角板的两条直角边分别经过B，C，直角顶点D落在△ABC的内部，则∠ABD+∠ACD＝（　　）度． A．90 B．60 C．50 D．40 【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数． 【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°， 在△DBC中，∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°； 故选：C． 3．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（　　） A．90° B．180° C．360° D．无法确定 【分析】根据三角形内角与外角的关系可得∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1，再根据三角形内角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，进而可得答案． 【解答】解：延长BE交AC于F， ∵∠A+∠B＝∠2，∠D+∠E＝∠1， ∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°， 故选：B． 4．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝　 　°． 【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论． 【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示． ∵∠BEM是△ABE的外角， ∴∠BEM＝∠BAE+∠B． 同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C， ∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C， 即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C， ∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°， ∴∠CFD＝70°． 故答案为：70． 5．如图，若∠EOC＝115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　°． 【分析】由三角形的外角的性质，可以推出∠EOC＝∠E+∠C+∠D，∠BOF＝∠A+∠B+∠F，于是可以解决问题． 【解答】解： ∵∠EOC＝∠E+∠EMO， ∠EMO＝∠C+∠D， ∴∠EOC＝∠E+∠C+∠D， 同理：∠BOF＝∠A+∠B+∠F， ∵∠BOF＝∠EOC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2∠EOC＝2×115°＝230°． 故答案为：230． 6．如图，已知BE、CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC＝50°，则∠BHC的度数是　 　． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABE，再根据三角形外角性质即可求出∠BHC的度数． 【解答】解：∵BE为△ABC的高，∠BAC＝50°， ∴∠ABE＝90°﹣50°＝40°， ∵CF为△ABC的高， ∴∠BFC＝90°， ∴∠BHC＝∠ABE+∠BFC＝40°+90°＝130°． 故答案为：130°． 7．【探究】如图①，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C． 【应用】（1）如图②，我们设计了一张帆布折椅，它的侧面如图所示，∠A＝28°，∠D＝12°，∠ABC＝64°，∠BCD＝46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数； （2）如图③，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数． 【分析】∠BOC＝∠BOM+∠COM，其中∠BOM与∠COM分别是△ABO与△AOC的外角．∠ABC+∠BCD+∠CAO＝180°． 【解答】证明：【探究】 连接OA，并延长，如图①所示： ∵∠BOM是△ABO的外角， ∴∠BAO+∠B＝∠BOM．① ∵∠COM是△AOC的外角， ∴∠CAO+∠C＝∠COM．② ①+②得，∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝∠BOM+∠COM， 即∠BOC＝∠A+∠B+∠C． 【应用】 （1）∵∠ABC＝64°，∠BCD＝46°， ∴∠CAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD＝180°﹣64°﹣46°＝70°， ∴∠BAO＝∠CAO＝70°． 由【探究】可知∠AED＝∠A+∠D+∠BAO＝28°+12°+70°＝110°； （2）连接AD，如图③所示： 由【探究】可知∠F+∠FAD+∠EDA＝∠DEF③，∠BAD+∠ADC+∠C＝∠ABC④， ③+④，得∠F+∠FAD+∠EDA+∠BAD+∠ADC+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°， ∴原图中∠A+∠C+∠D+∠F＝230°． 8．已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD． （1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC； （2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明． 【分析】（1）如图1，延长AD交BC于E．利用三角形的外角的性质即可解决问题； （2）∠A﹣∠C＝2∠P，利用三角形的外角的性质可以推出：∠A+∠1＝∠P+∠3，由∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠A+∠2＝∠P+∠4，由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C，可得∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1，延长AD交BC于E． 在△ABE中，∠AEC＝∠A+∠B＝28°+72°＝100°， 在△DEC中，∠ADC＝∠AEC+∠C＝100°+11°＝111°． （2）∠A﹣∠C＝2∠P，理由如下： 如图2，∠5＝∠A+∠1，∠5＝∠P+∠3， ∴∠A+∠1＝∠P+∠3， ∵PB平分∠ABC，PD平分∠ADC， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠A+∠2＝∠P+∠4， 由（1）知∠4＝∠2+∠P+∠C， ∴∠A+∠2＝∠P+∠2+∠P+∠C， ∴∠A﹣∠C＝2∠P． 【模型3 A字模型】 【结论】如图所示，∠DAE的两边上各有一点B，C，连接BC，则∠DBC+∠ECB=180°+∠A. 【证明】∴∠DBC和∠ECB是△ABC的外角， ∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC. 又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBC＋∠ECB=∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A=180°＋∠A. 【练习】 1．如图，△ABC中，∠A＝65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，∠BDE+∠CED的值为（　　） A．180° B．215° C．235° D．245° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可． 【解答】解：∵∠A＝65°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣65°＝115°， ∴∠BDE+∠CED＝360°﹣115°＝245°， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，∠1+∠2＝214°，则∠A的度数为（　　） A．17° B．34° C．68° D．无法确定 【分析】根据三角形内角和定理可知，要求∠A只要求出∠AEF+∠AFE的度数或者∠B+∠C的度数即可，结合补角的性质和四边形内角和为360°可以解决问题． 【解答】解：方法一： ∵∠1+∠AEF＝180°，∠2+∠AFE＝180° ∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE＝360° ∵∠1+∠2＝214° ∴∠AEF+∠AFE＝360°﹣214°＝146° ∵在△AEF中：∠A+∠AEF+∠AFE＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A＝180°﹣146°＝34° 方法二： ∵在四边形BCEF中：∠B+∠C+∠1+∠2＝360°（四边形内角和为360°） ∠1+∠2＝214° ∴∠B+∠C＝360°﹣214°＝146° ∵在△ABC中：∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理） ∴∠A＝180°﹣146°＝34°． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（　　） A．140° B．180° C．250° D．360° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值． 【解答】解：∵∠C＝70°， ∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°， ∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°． 故选：C． 4．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　61°　． 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC∠ACF（∠B+∠B+∠1+∠2）＝119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数． 【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC∠DAC，∠ECA∠ACF， ∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1 ∴∠DAC∠ACF（∠B+∠2）（∠B+∠1）（∠B+∠B+∠1+∠2）， ∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC∠ACF＝119° ∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC∠ACF）＝61°． 故答案为：61°． 5．如图，已知∠A＝40°，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理分别求得∠1+∠2，∠3+∠4，就可求得最后结果． 【解答】解：∵∠A＝40°， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝180°﹣∠A＝140°． ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝280°． 【模型4 老鹰抓小鸡模型】 【结论】如图所示，∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 【证明】如图，连接AF. ∵∠DBF是△ABF的外角，∠FCE是△ACF的外角， ∴∠FCE=∠CAF+∠CFA， ∴∠DBF＋∠FCE=∠BAF＋∠BFA+∠CAF+∠CFA=∠BAC+∠BFC， 即∠BAC+∠BFC=∠DBF＋∠FCE. 【练习】 1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（　　） A．40° B．60° C．80° D．140° 【分析】证明∠1+∠2＝2∠A即可解决问题． 【解答】解：连接AA′． ∵∠B＝60°，∠C＝80°， ∴∠A＝40° ∵∠2＝∠EA′A+∠EAA′，∠1＝∠DA′A+∠DAA′，∠BAC＝∠EA′D， ∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°， 故选：C． 2．如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1+∠2＝80°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】根据翻折的性质可得∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义可求解∠BED+∠BDE的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠B的度数． 【解答】解：由翻折可知：∠BED＝∠B'ED，∠BDE＝∠B'DE， ∵∠1+∠BED+∠B'ED＝180°，∠2+∠BDE+∠B'DE＝180°， ∴∠1+2∠BED+∠2+2∠BDE＝360°， ∵∠1+∠2＝80°， ∴2∠BED+2∠BDE＝280°， ∴∠BED+∠BDE＝140°， ∵∠BED+∠BDE+∠B＝180°， ∴∠B＝180°﹣140°＝40°． 故选：C． 3．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝70°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C'处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】根据三角形内角和定理，易得∠C＝180°﹣65°﹣70°＝45°；设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'，则∠2的度数可求． 【解答】解：根据题意，易得∠C＝∠C'＝180°﹣65°﹣70°＝45°； 如图，设C'D与BC交于点O，易得∠2＝∠C+∠DOC，∠DOC＝∠1+∠C'， 则∠2＝∠C+∠1+∠C'＝45°+20°+45°＝110°． 故选：D． 4．如图，在△ABC中，∠C＝46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是 　 　． 【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝46°， 根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D， 则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+92°， 则∠1﹣∠2＝92°． 故答案为：92°． 5．一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部） （1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝　 　°． （2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案； （3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB（∠ABC+∠ACB）＝90°∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案． 【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置， ∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∴∠ADE（180°﹣∠1），∠AED（180°﹣∠2）， 在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°， ∴45°（180°﹣∠1）（180°﹣∠2）＝180°， 整理得∠1+∠2＝90°； 故答案为：90； （2）∠1+∠2＝2∠A， 理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE， ∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE， ∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE， 即∠1+∠2＝2∠A； （3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°， ∴∠A＝54°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB（∠ABC+∠ACB） （180°﹣∠A） ＝90°∠A． ∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）， ＝180°﹣（90°∠A） ＝90°∠A ＝90°54° ＝117°． 6．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，求∠1+∠2的度数； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由； （3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出∠α、∠1、∠2之间关系为：　 　．（不需说明理由）． 【分析】（1）如图1中，连接PC．由∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE，推出∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC），由∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°，即可推出∠1+∠2＝140°． （2）结论：∠1+∠2＝90°+α．证明方法类似（1）． （3）由∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α，由∠C＝90°，即可推出∠1＝90°+∠2+α． 【解答】解：（1）如图1中，连接PC． ∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC）， ∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α＝50°， ∴∠1+∠2＝140°． （2）结论：∠1+∠2＝90°+α． 理由如图2中，连接PC． ∵∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝（∠DCP+∠PCE）+（∠DPC+∠EPC）， ∵∠DCP+∠PCE＝90°，∠DPC+∠EPC＝α ∴∠1+∠2＝90°+α． （3）如图3中， ∵∠1＝∠C+∠COD，∠COD＝∠2+α， ∵∠C＝90°， ∴∠1＝90°+∠2+α． 故答案为∠1＝90°+∠2+α． 【模型5 双内角平分线模型】 【结论】如图所示，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC =90°+∠A. 【证明】 设∠ABD=∠DBC=c，∠ACD=∠BCD=y. 由△ABC的内角和为180°,得∠A＋2x＋2y=180°.① 由△BDC的内角和为180°,得∠BDC＋x＋y=180°.② 由②得x＋y=180°-∠BDC.③ 把③代入①,得∠A＋2(180°-∠BDC)=180°，即2∠BDC=180°＋∠A， 即∠BDC =90°+∠A. 【练习】 1．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠BAC＝80°，则∠BOC的度数是（　　） A．130° B．120° C．100° D．90° 【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BOC即可． 【解答】解：∵∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°， ∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣50°＝130°， 故选：A． 2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数． 【解答】解：∵∠AOB＝125°， ∴∠OAB+∠OBA＝55°， ∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O， ∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝2×55°＝110°， ∴∠C＝70°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝20°， 即∠CAD的度数是20°． 故选：A． 3．如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°，则∠ABO的度数为 　 　． 【分析】根据角平分线的定义可得出∠BAC＝60°、∠ACB＝70°，结合三角形内角和可得出∠ABC＝50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC＝30°，∠ECA＝35°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝60°，∠ACB＝2∠ECA＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝50°． ∵△ABC的三条角平分线交于一点， ∴BO平分∠ABC， ∴∠ABO∠ABC＝25°． 故答案为：25°． 4．已知在△ABC中，∠A＝100°，点D在△ABC的内部连接BD，CD，且∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD． （1）如图1，求∠BDC的度数； （2）如图2，延长BD交AC于点E，延长CD交AB于点F，若∠AED﹣∠AFD＝12°，求∠ACF的度数． 【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BDC的度数； （2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α，∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD，依据三角形外角性质，即可得到∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF，再根据∠AED﹣∠AFD＝12°，即可得到α的值． 【解答】解：（1）∵∠A＝100°， ∴∠ABC+∠ACB＝80°， 又∵∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠BCD， ∴∠CBD∠ABC，∠BCD∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD（∠ABC+∠ACB）＝40°， ∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°； （2）设∠ACF＝α，则∠BCD＝α， ∵∠BDC＝140°， ∴∠CBD＝40°﹣α＝∠ABD， ∵∠AED是△DCE的外角，∠AFD是△BDF的外角， ∴∠AED＝∠ACF+∠CDF，∠AFD＝∠ABE+∠BDF， ∴∠AED﹣∠AFD＝∠ACF+∠CDF﹣∠ABE﹣∠BDE＝α﹣（40°﹣α）＝12°， 解得α＝26°， ∴∠ACF＝26°． 5．已知任意一个三角形的三个内角的和是180°．如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O （1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数； （2）若∠A＝a，求∠BOC的度数； （3）如图2，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∠A＝a，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCBACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°； （2）∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵在△ABC中，∠ABC的角平分线BO与∠ACB的角平分线CO的交点为O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCBACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）＝90°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°）＝90°； （3）∵∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（60°）＝120°． 6．已知△ABC中，∠A＝60°，在图（1）中∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O1，则计算可得∠BO1C＝120°： （1）在图（2）中，设∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，得到∠BO2C．则∠BO2C＝　　； （2）在图（3）中请你猜想，当∠ABC、∠ACB同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2⋯On﹣1，则∠BOn﹣1C＝　　（用含n的代数式表示）． 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°得出（∠ABC+∠ACB），再由∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1、O2得出∠O2BC+∠O2CB的度数，进而可得出结论； （2）根据n等分的定义求出∠On﹣1BC+∠On﹣1CB的度数，在△On﹣1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵O2B和O2C分别是∠B、∠C的三等分线， ∴∠O2BC+∠O2CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣60°）＝120°60°； ∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝180°﹣（120°60°）＝60°60°＝100°． 故答案为：100°； （2）∵On﹣1B和On﹣1C分别是∠B、∠C的n等分线， ∴∠On﹣1BC+∠On﹣1CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣60°）； ∴∠BOn﹣1C＝180°﹣（∠On﹣1BC+∠On﹣1CB）＝180°﹣（）60°． 故答案为：60°． 【模型6 双外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，则∠BDC=90°- ∠A. 【证明】设∠EBD=∠CBD=x，∠BCD=∠FCD=y. 由△BCD的内角和为180°,得x＋y＋∠BDC=180°.① 易得2x＋2y=180°＋∠A.② 由①得x+y=180°-∠BDC.③ 把③代人②,得2(180°-∠BDC)=180°+∠A， 即2∠BDC=180°-∠A， 即∠BDC=90°- ∠A. 【练习】 1．如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝α，∠H＝β，则α与β之间的数量关系为 　 　． 【分析】根据角平分线定义设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ，则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ，∠ABC＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣2φ，在△ABC中由三角形内角和定理得α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°，即θ+φ＝90°+1/2α，在Rt△HBC中由三角形内角和定理得β+θ+φ＝180°，据此可得α与β之间的数量关系． 【解答】解：∵BF和CG分别是∠ABD和∠ACE的角平分线， ∴设∠ABF＝∠DBF＝θ，∠ACG＝∠ECG＝φ， 则∠ABD＝2θ，∠CBH＝∠DBF＝θ，∠ACE＝2φ，∠BCH＝∠ECG＝φ， ∴∠ABC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2θ，∠ACB＝180°﹣∠ACE＝180°﹣2φ， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴α+180°﹣2θ+180°﹣2φ＝180°， 整理得：θ+φ＝90°α， 在Rt△HBC中，∠H+∠CBH+∠BCH＝180°， ∴β+θ+φ＝180°， ∴β+90°α＝180°， 整理得：α+2β＝180°． ∴α与β之间的数量关系为α+2β＝180°． 故答案为：α+2β＝180°． 2．在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，当∠Q＝65°，则∠BPC＝　 °． 【分析】由三角形内角和定理得∠QBC+∠QCB＝180°﹣∠Q＝115°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PBC），根据角平分线定义得∠EBC＝2∠QBC，∠FCB＝2∠QCB，则∠EBC+∠FCB＝2（∠QBC+∠QCB）＝230°，再根据三角形外角性质得∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，则∠EBC+∠FCB＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝180°+∠A，由此得180°+∠A＝230°，则∠A＝50°，然后根据∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．得∠PBC+∠PBC（∠ABC+∠ACB）＝65°，据此可得∠BPC的度数． 【解答】解：如图所示： ∵∠Q＝65°， ∴∠QBC+∠QCB＝180°﹣∠Q＝115°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PBC）， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠EBC＝2∠QBC，∠FCB＝2∠QCB， ∴∠EBC+∠FCB＝2（∠QBC+∠QCB）＝2×115°＝230°， 由三角形外角性质得：∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC， ∴∠EBC+∠FCB＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝2∠A+180°﹣∠A＝180°+∠A， ∴180°+∠A＝230°， ∴∠A＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠PBC∠ACB， ∴∠PBC+∠PBC（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A＝65°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PBC）＝180°﹣65°＝115°． 故答案为：115． 3．如图，点F，C在射线AN上，点B，E在射线AM上，∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P，∠MBC与∠NCB的角平分线交于点G．若∠G＝67°，那么∠P＝　 　°． 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的性质分别用角A表示出∠G和∠P即可． 【解答】解：∵∠MEF与∠NFE的角平分线交于点P， ∴∠G＝180°﹣（∠NCB∠MBC）＝180°﹣[（180°﹣∠ACB）（180°﹣∠ABC）]＝180°[180°+180°﹣（∠ACB+∠ABC）]＝180°（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°， ∵∠MBC与∠NCB的角平分线交于点G， ∴∠P＝180°﹣（∠NFE∠MEF）＝180°﹣[（180°﹣∠AFE）（180°﹣∠AEF）]＝180°[180°+180°﹣（∠AEF+∠AFE）]＝180°（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝67°， 故答案为：67°． 4．如图，△ABC中，∠CAB＝n°，∠CBA＝m°，点D是△ABC 三个内角平分线交点，延长DB到点G，∠FCB与∠CBG的平分线将于点E，若BE∥AC，则 　 　． 【分析】先由三角形的外角定理得∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°，再根据角平分线的定义及邻补角的定义得∠CBE∠CBG＝90°m°，然后根据BE∥AC得∠FCB+∠CBE＝180°，进而得4n+3m＝360°，由此可得值． 【解答】解：∵∠CAB＝n°，∠CBA＝m°， ∴∠FCB＝∠CAB+∠CBA＝n°+m°， ∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD∠CBAm°， ∴∠CBG＝180°﹣∠CBD＝180°m°， ∵BG平分∠CBG， ∴∠CBE∠CBG＝90°m°， ∵BE∥AC， ∴∠FCB+∠CBE＝180°， 即n°+m°+90°m°＝180°， 整理得：4n+3m＝360°， ∴（4n+3m）360°＝72°． 故答案为：72°． 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BD是△ABC内角∠ABC的平分线，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，CD是△ABC外角∠ACF的平分线，以下结论不正确的是（　　） A．AD∥BC B．∠ACB＝2∠ADB C．∠ADC＝90°﹣∠ABD D．BD平分∠ADC 【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD＝∠DAC，由三角形外角得∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，得出∠EAD＝∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论正确． B、由AD∥BC，得出∠ADB＝∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC，∠ABC＝2∠ADB，得出结论∠ACB＝2∠ADB， C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，得出结论∠ADC＝90°﹣∠ABD； D、用排除法可得结论． 【解答】解：A、∵AD平分△ABC的外角∠EAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， 故A正确． B、由（1）可知AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∴∠ABC＝2∠ADB， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ADB， 故B正确． C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD＝∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB ∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°， ∴∠ADC+∠ABD＝90° ∴∠ADC＝90°﹣∠ABD， 故C正确； 不妨设，D选项正确，可以推出AB＝AD＝AC，推出∠ACB＝∠ACD＝∠DCF＝60°，显然不可能，故D错误． 故选：D． 6．如图，AD，BD分别是△ABC的外角∠BAF，∠ABG的角平分线；AE，BE分别是∠DAB，∠ABD的角平分线；AM，BN分别是∠FAD，∠DBG的角平分线．当∠C＝（　　）时，AM∥BN． A．45° B．50° C．60° D．120° 【分析】由角平分线的定义可求得∠MAB∠FAB，∠NBA∠ABG，再由三角形的外角性质可得∠FAB＝∠C+∠ABC，∠ABG＝∠C+∠BAC，再由三角形的内角和得∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C，要使AM∥BN，则可使∠MAB+∠NBA＝180°，从而可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠BAF的角平分线；AM是∠FAD的角平分线， ∴∠DAB＝∠FAD∠FAB，∠MAD∠FAD， ∴∠MAB∠FAB， 同理可得：∠NBA∠ABG， ∵∠FAB＝∠C+∠ABC，∠ABG＝∠C+∠BAC，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴∠FAB+∠ABG＝2∠C+∠ABC+∠BAC， ∴∠MAB+∠NBA ∠FAB∠ABG （∠FAB+∠ABG） （2∠C+∠ABC+∠BAC） （2∠C+180°﹣∠C） （180°+∠C）， 要使AM∥BN， 则∠MAB+∠NBA＝180°， 即（180°+∠C）＝180°， 解得：∠C＝60°． 故选：C． 【模型7 内外角平分线模型】 【结论】如图所示，∠ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，则∠D=∠A. 【证明】设∠ABD=∠DBC=x，∠ACD=∠ECD=y. 由外角定理得2y=∠A+2x ，① y=∠D+x.② 把②代人①,得2(∠D+x)=xA+2x , 即∠D=∠A. 【练习】 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（　　） A．25° B．50° C．65° D．70° 【分析】由角平分线的定义可得∠PBC∠ABC，∠ACP＝∠DCP∠ACD，从而可求得∠DCP＝90°∠ACB，再利用三角形的外角性质得∠DCP＝∠PBC+∠P，从而可求解． 【解答】解：如图， ∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P， ∴∠PBC∠ABC，∠ACP＝∠DCP∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠PBC∠ACB，∠DCP（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB， ∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°， ∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP， 25°∠ACB＝90°∠ACB， 解得：∠ACB＝65°． 故选：C． 2．如图，BE是△ABC中∠ABC的平分线，CE是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABC＝40°，∠ACD＝100°，则∠A+∠E＝（　　） A．40° B．90° C．100° D．140° 【分析】由BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，利用角平分线的定义，可求出∠CBE，∠DCE的度数，由∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠A，∠E的度数，再将其代入∠A+∠E中，即可求出结论． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE∠ABC40°＝20°，∠DCE∠ACD100°＝50°． ∵∠ACD是△ABC的外角，∠DCE是△BCE的外角， ∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝100°﹣40°＝60°，∠E＝∠DCE﹣∠CBE＝50°﹣20°＝30°， ∴∠A+∠E＝60°+30°＝90°． 故选：B． 3．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP的度数为（　　） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案 【解答】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN， ∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PFA和Rt△PMA中， ， ∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL）， ∴∠FAP＝∠PAC＝50°． 故选：B． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＜∠A，BD是角平分线，BE是边AC上的高，延长BD与外角∠ACF的平分线交于点G．以下四个结论：①∠ABD＝∠CBD；②∠ABE+∠A＝90°；③；④∠A﹣∠ACB＝2∠EBD．其中结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明∠ABC＝2∠GBC，∠ACF＝2∠GCF，∠ACF＝∠ABC+∠A，∠GCF＝∠GBC+∠G，从而可得出，可判断③，由2∠EBD＝2（90°﹣∠ADB），∠ADB＝∠DBC+∠ACB，可得2∠EBD＝180°﹣（2∠DBC+2∠ACB）＝∠A﹣∠ACB，从而可判断④，从而可得答案． 【解答】解：∵BD是△ABC角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD，故①正确； ∵BE是边AC上的高， ∴∠ABE+∠A＝90°，故②正确； ∵BD是△ABC角平分线，CG平分∠ACF， ∴∠ABC＝2∠GBC，∠ACF＝2∠GCF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠GCF＝∠GBC+∠G， ∴2∠GCF＝2∠GBC+∠A， ∴，故③正确； ∵2∠DBE＝2（90°﹣∠ADB），∠ADB＝∠DBC+∠ACB， ∴2∠DBE＝180°﹣（2∠DBC+2∠ACB） ＝180°﹣（∠ABC+2∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A+∠ACB） ＝∠A﹣∠ACB，故④正确； ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 5．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，⋯，∠A2023BC和∠A2023CD的平分线交于点A2024，则∠A2024的度数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角平分线定义设∠ABA1＝∠CBA1＝α，∠ACA1＝∠DCA1＝β，则∠ABC＝2α，∠ACD＝2β，由三角形外角性质得∠DCA1＝∠CBA1+∠A1，∠ACD＝∠ABC+∠A，即β＝α+∠A1，2β＝2a+∠A，由此得∠A1∠A，同理：∠A2∠A1∠A，∠A3∠A2∠A，…，以此类推，∠An∠A，据此可得当∠A＝60°时，∠A2024的度数． 【解答】解：∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1， ∴设∠ABA1＝∠CBA1＝α，∠ACA1＝∠DCA1＝β， ∴∠ABC＝2α，∠ACD＝2β， 由三角形外角性质得：∠DCA1＝∠CBA1+∠A1，∠ACD＝∠ABC+∠A， 即β＝α+∠A1，2β＝2a+∠A， ∴2（α+∠A1）＝2α+∠A， ∴∠A1∠A， 同理：∠A2∠A1∠A，∠A3∠A2∠A， …，以此类推，∠An∠A， ∴当∠A＝60°时，∠A2024∠A． 故选：C． 6．如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；②；③DH∥AB；④；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据BD和CD是△ABC两个外角的平分线，可得，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，可得∠BCD＝∠ABC，可得③正确；④根据，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可得，再由∠A＝∠ABC，可得，可得⑤正确，即可求解． 【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线， ∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD， ∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°， ∴DB⊥BH，故①正确； ②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线， ∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ，故②正确； ③∵∠A＝∠ABC， ∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC， ∵CD是∠BCF的平分线， ∴， ∴DH∥AB，故③正确； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE， ∴， ∵∠A＝∠ABC， ∴， ∵， ∴∠CBD＝∠D，故⑤正确． 综上所述，正确的有5个． 故选：D． 7．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： （1）【问题再现】 如图（1），若∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠BAO的平分线于点D．则∠D＝　 　°； （2）【问题推广】 ①如图（2），若∠MON＝α（0°＜α＜180°），（1）中的其余条件不变，则∠D＝ °（用含α的代数式表示）； ②如图（2），∠MON＝α（0°＜α＜180°），点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合），点E是OB上一动点，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与射线AE交于点D，若∠Dα，则AE是△OAB的角平分线吗？请说明理由； （3）【拓展提升】 如图（3），若∠NBC∠ABN，∠DAO∠BAO，试探索∠D和∠O的数量关系（用含m的代数式表示），并说明理由． 【分析】（1）利用三角形外角的性质可得∠ABN＝90°+∠OAB，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可； （2）①利用三角形外角的性质可得∠ABN＝∠MON+∠OAB，在根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可；②根据三角形内角和的性质以及角平分线的定义，得出，即可求解； （3）利用三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ABN＝90°+∠OAB， ∴∠OAB+∠OBA＝90°， ∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45° （2）①∠ABN＝α+∠OAB， ∠OAB+∠OBA＝180°﹣α， ∵AD平分∠OAB，BC是∠ABN的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②是，理由如下： ∵∠ABN＝α+∠OAB， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣α， ∵BC是∠ABN的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴∠BAD＝180°﹣∠D﹣∠DBA ， ， ∴AE是△OAB的角平分线； （3），理由如下： ∵∠ABN＝∠O+∠OAB， ∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∠D＝180°﹣∠DBA﹣∠BAD ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$