第11章 三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第11章 三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点4．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点5．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点6．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点7．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点8．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点9．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点10．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 章节题型整合练习 一．三角形 1．（2023秋•屯昌县期末）下列图形中，三角形是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•汉阳区期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2023秋•兰山区校级月考）如图，共有 　　个三角形． 4．（2023秋•确山县期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 二．三角形的角平分线、中线和高 5．（2024春•西安期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 　　． 6．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 7．（2024春•靖江市校级月考）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 　　；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为2，则　　． 8．（2024春•船营区校级期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 三．三角形的稳定性 9．（2023秋•汉滨区期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 10．（2023秋•湖北期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 　　． 11．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置． 12．如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问一根长的木条，能否满足要求，并说明理由． 四．三角形的重心 13．（2023秋•临潼区期中）三条中线的交点叫做的 　　． 14．（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 　　． 15．（2023秋•墨玉县月考）下列说法： ①平分三角形内角的射线是三角形的平分线； ②三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心； ③三角形的三条高线交于一点； ④直角三角形只有一条高． 其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2021秋•临邑县校级期中）如图，的周长为，，分别是，边上的中线，，相交于点，的延长线交于点，且，，求的长． 五．三角形三边关系 17．（2024春•金沙县校级期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是　　 A． B． C． D． 18．（2024•榕江县校级二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 19．（2024春•麦积区期末）已知的边长、、满足：（1）；（2）为偶数，则的值为 　　． 20．（2024春•卢龙县期末）已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． 六．三角形内角和定理 21．（2024春•沅江市期末）如图，要想知道黑板上两直线，所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线，所夹锐角的度数为　　 A． B． C． D． 22．（2024春•威海期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则　　． 23．（2024春•呈贡区校级期末）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 24．（2023秋•泾阳县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　　，　　； （2）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 七．三角形的外角性质 25．（2024春•定陶区期末）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　　 A． B． C． D． 26．（2024春•淮安区期末）如图，已知，，则　　． 27．（2024春•广陵区期末）将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则　　． 28．（2024春•定陶区期末）如图，在中，，，，且平分，求的度数． 八．直角三角形的性质 29．（2024•五峰县模拟）两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于　　 A． B． C． D． 30．（2024春•丰顺县期末）如图，在一个三角形的纸片中，，则图中的度数为 　　． 31．（2024春•汉中期末）如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形中这两个锐角的度数． 32．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 九．多边形 33．（2023秋•南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是　　 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 34．（2024•礼县模拟）如图，正六边形的边长为12，，分别平分，，则的周长为　　 A．24 B．36 C．38 D．40 35．（2021秋•依安县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，边形可以分割出 　　个三角形． 36．（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为，多边形内部的格点数为，多边形边上的格点数为． （1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格： 多边形 面积 内部格点数 边上格点数 Ⅰ 　6　 　　 　　 　　 Ⅱ 7 4 8 8 Ⅲ 　　 　　 　　 　　 Ⅳ 9 5 10 10 Ⅴ 15.5 11 11 16.5 （2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：与的数量关系可用等式表示为 　　； （3）已知格点长方形，设其边长，，其中，为正整数．请以格点长方形为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式． 一十．多边形内角与外角 37．（2024•红塔区三模）如果一个多边形的每个内角都是，那么它的边数为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 38．（2024•永安市二模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 　　． 39．（2023秋•太和县期末）已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 40．（2024春•新安县期末）（1）如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； （2）如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 三角形 章节整合练习（10个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．三角形 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性． 知识点2．三角形的角平分线、中线和高 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 知识点3．三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中． 知识点4．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 知识点5．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 知识点6．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点7．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点8．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点9．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 知识点10．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 章节题型整合练习 一．三角形 1．（2023秋•屯昌县期末）下列图形中，三角形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的定义即可得到结论． 【解答】解：选项是三角形， 故选：． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 2．（2023秋•汉阳区期末）根据下列已知条件，能确定的形状和大小的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据全等三角形的判定方法，若各选项的条件满足三角形全等的条件，则可确定三角形的形状和大小，否则三角形的形状和大小不能确定． 【解答】解：、，，，的大小不能确定，故不符合题意； 、，，，则利用“”可判断是唯一的，故符合题意； 、，，，的形状和大小不能确定，故不符合题意； 、，，，的形状和大小不能确定，故不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 3．（2023秋•兰山区校级月考）如图，共有 　6　个三角形． 【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形数出三角形的个数． 【解答】解：图中有：，，，，，，共6个． 故答案为：6． 【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的定义，数三角形时，要不重不漏． 4．（2023秋•确山县期中）如图，在中，，分别是，上的点，连接，交于点． （1）图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． （2）除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【分析】（1）以为边的三角形有4个； （2）以为顶点的三角形有3个，除外，还有2个． 【解答】解：（1）以为边的三角形有4个，，，，． （2）除外，以点为顶点的三角形还有、． 【点评】本题考查的是认识三角形，熟练掌握三角形的定义是解题的关键． 二．三角形的角平分线、中线和高 5．（2024春•西安期末）如图，是的高，是的中线，是的角平分线．若，则的度数为 　　． 【分析】根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到，，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：是的高， ， ，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， 他所作的线段应该是的中线， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 7．（2024春•靖江市校级月考）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 　4　；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为2，则　　． 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解；分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 【解答】解：如图， 是的中点， ， 的周长的周长， 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得，， ， 解得； 或3， 故答案为：4；1或3． 【点评】本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 8．（2024春•船营区校级期末）如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为3，求的长． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； （2）是中点， ， 与的周长差为3， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 三．三角形的稳定性 9．（2023秋•汉滨区期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等 【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性． 故选：． 【点评】数学要学以致用，会对生活中的一些现象用数学知识解释． 10．（2023秋•湖北期末）如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形，这样做的数学依据是 　三角形具有稳定性　． 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 11．如图是一个从侧面看四腿木椅的示意图，椅子容易变形，请你将修复加固的零件画在图中，并用虚线在图中标明位置． 【分析】利用三角形稳定性即可解题． 【解答】解：因为四边形不具有稳定性， 所以椅子会变形．利用三角形的稳定性， 可用三角形角铁对椅子修复加固，如图： 【点评】本题主要考查了三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性的知识，通过添加线段，将图形转化为含三角形是解题的关键． 12．如图，是一个四边形木框，为了使它保持稳定的形状，需在或上钉上一根木条，现量得，，，，试问一根长的木条，能否满足要求，并说明理由． 【分析】利用三角形三边关系分别得出，的取值范围进而得出答案． 【解答】解：四边长分别为，、、，它的形状是不稳定的， ，， ，， 的取值范围是：， 四边长分别为，、、，它的形状是不稳定的， ，， ，， 的取值范围是：． 现有一根长的木条，能把这个四边形木框固定． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出，的取值范围有两种情况再进行取舍是解题关键． 四．三角形的重心 13．（2023秋•临潼区期中）三条中线的交点叫做的 　重心　． 【分析】三角形的重心是三角形三边中线的交点，由此即可得到答案． 【解答】解：三条中线的交点叫做的重心． 故答案为：重心． 【点评】本题考查重心，关键是掌握重心的定义． 14．（2023秋•海淀区校级期中）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，点、、、、、、在小正方形的格点上，则表示三条中线的交点是 　点　． 【分析】由三角形中线、重心的定义，即可得到答案． 【解答】解：由勾股定理得：， 是的中线， ， 是的中线， 表示三条中线的交点是点． 故答案为：点． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的中线，关键是掌握三角形中线，重心的定义． 15．（2023秋•墨玉县月考）下列说法： ①平分三角形内角的射线是三角形的平分线； ②三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心； ③三角形的三条高线交于一点； ④直角三角形只有一条高． 其中正确的个数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①利用三角形的角平分线的定义判断即可； ②利用三角形的重心的定义判断即可； ③利用三角形的高的性质判断即可； ④利用三角形的高手的定义判断即可． 【解答】解：①平分三角形内角的射线是三角形的平分线，错误，角平分线是线段； ②三角形的三条中线交于一点，这个交点叫做三角形的重心，正确； ③三角形的三条高线交于一点，正确； ④直角三角形只有一条高，错误，有3条高． 故选：． 【点评】本题考查三角形的重心，三角形的角平分线，中线，高等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2021秋•临邑县校级期中）如图，的周长为，，分别是，边上的中线，，相交于点，的延长线交于点，且，，求的长． 【分析】根据三角形的重心性质，得是的中线，再根据三角形的中线性质与三角形的周长公式便可求得． 【解答】解：，，，分别是，边上的中线， ，， 的周长为， ， 点是中线，的交点， 是边上的中线， ． 【点评】本题考查了三角形的重心，关键是三角形的重心得是边上的中线． 五．三角形三边关系 17．（2024春•金沙县校级期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【解答】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项不符合要求． 故选：． 【点评】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键． 18．（2024•榕江县校级二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【解答】解：、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意； 、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意； 、，不符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，不能组成三角形，所以本选项不符合题意； 、，符合三角形的三边规则，两边之和大于第三边，能组成三角形，所以本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 19．（2024春•麦积区期末）已知的边长、、满足：（1）；（2）为偶数，则的值为 　4　． 【分析】首先根据非负数的性质求得，的值，再根据三角形的三边关系求得的取值范围，结合是偶数进行求解． 【解答】解：， ，． 又，，为的边长， ． 为偶数 ． 故答案为：4． 【点评】本题要特别注意非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零； 初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）． 20．（2024春•卢龙县期末）已知在中，，，且为奇数． （1）求的周长； （2）判断的形状． 【分析】（1）首先根据三角形的三边关系定理可得，再根据为奇数确定的值，进而可得周长； （2）根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形． 【解答】解：（1）由题意得：， 即：， 为奇数， ， 的周长为； （2）， 是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 六．三角形内角和定理 21．（2024春•沅江市期末）如图，要想知道黑板上两直线，所夹锐角的大小，但因交点不在黑板内，无法直接测量，小慧设计了间接测量方案（相关标记和数据如图所示），则直线，所夹锐角的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】延伸直线，交于点，根据，，可求出，，最后根据三角形的内角和，即可求解． 【解答】解：如图，延长直线，相交于点， ，， ，， ， 直线，所夹锐角的度数为， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和，邻补角，解题的关键是正确作出辅助线． 22．（2024春•威海期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则　56　． 【分析】如图，根据折叠的性质得到，，再利用平角定理得到，，把两式相减得到，再利用三角形外角性质得到，所以． 【解答】解：如图， 沿直线翻折，点落在点的位置， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：56． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了折叠的性质． 23．（2024春•呈贡区校级期末）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数． 【分析】根据已知条件得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，于是得到答案． 【解答】解：是边上的高， ， ， ， ， 平分， ， ． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 24．（2023秋•泾阳县期末）如图，在中，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）当，时，　115　，　　； （2）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得； （2）由角平分线的性质和三角形内角和定理可得，利用邻补角求出，，再结合角平分线的性质和三角形内角和定理可得，由此即可得到答案． 【解答】解：（1），分别是，的平分线，，， ，， ， ； ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故答案为：115，65； （2）当的大小变化时，的值不发生变化， 理由如下： ，分别是，的平分线， ，， ， ， ，， ，， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， 当的大小变化时，的值不发生变化． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、利用邻补角求度数，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 七．三角形的外角性质 25．（2024春•定陶区期末）如图，在中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由折叠的性质可知，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 26．（2024春•淮安区期末）如图，已知，，则　80　． 【分析】直接利用三角形的外角性质即可求解； 【解答】解：，是的外角，， ， ， 故答案为：80． 【点评】本题主要考查三角形的外角性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 27．（2024春•广陵区期末）将一副直角三角板如图放置，，．若边经过点，则　75　． 【分析】由三角形内角和定理可求解的度数，利用三角形外角的性质可求解的度数，进而可求解． 【解答】解：，， ， ，， ， ， ， 故答案为75． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键． 28．（2024春•定陶区期末）如图，在中，，，，且平分，求的度数． 【分析】根据三角形的外角性质求得的度数，根据角的平分线的定义求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求得的度数． 【解答】解：，， ， 平分，， ， ． 【点评】本题考查三角形的外角性质以及角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键． 八．直角三角形的性质 29．（2024•五峰县模拟）两直角三角板按如图所示方式摆放，若，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据平角为，推出，可得结论． 【解答】解：平角是， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 30．（2024春•丰顺县期末）如图，在一个三角形的纸片中，，则图中的度数为 　270　． 【分析】由三角形的内角和定理求解，再结合四边形的内角和定理可得答案． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：270． 【点评】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键． 31．（2024春•汉中期末）如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形中这两个锐角的度数． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余构建方程即可解决问题． 【解答】解：设较小的锐角是度，则另一锐角是度， 则， 解得：， 答：这个直角三角形中这两个锐角的度数分别为和． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 32．（2023秋•东湖区校级期末）如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）与相等吗？请说明理由． 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可； （2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案． 【解答】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： ， ， ， 又平分， ， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键． 九．多边形 33．（2023秋•南沙区期末）下列图形中具有稳定性的是　　 A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【分析】根据三角形具有稳定性，其他多边形具有不稳定性可得结论． 【解答】解：三角形具有稳定性； 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性． 34．（2024•礼县模拟）如图，正六边形的边长为12，，分别平分，，则的周长为　　 A．24 B．36 C．38 D．40 【分析】根据正六边形可知为，又因为，所以为等边三角形，可求得的周长． 【解答】解：六边形是正六边形， ，， 是等边三角形， ， 故的周长为36， 故选：． 【点评】本题考查正六边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 35．（2021秋•依安县期末）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，边形可以分割出 　　个三角形． 【分析】（1）三角形分割成了两个三角形； （2）四边形分割成了三个三角形； （3）以此类推，边形分割成了个三角形． 【解答】解：边形可以分割出个三角形． 【点评】此题注意观察：是连接边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律． 边形分割成了个三角形． 36．（2022秋•西城区期末）在单位长度为1的正方形网格中，如果一个凸多边形的顶点都是网格线交点，我们称其为格点凸多边形，并记该格点多边形的面积为，多边形内部的格点数为，多边形边上的格点数为． （1）对于图中的五个凸多边形，补全以下表格： 多边形 面积 内部格点数 边上格点数 Ⅰ 　6　 　　 　　 　　 Ⅱ 7 4 8 8 Ⅲ 　　 　　 　　 　　 Ⅳ 9 5 10 10 Ⅴ 15.5 11 11 16.5 （2）借助以上表格猜想格点凸多边形的面积公式：与的数量关系可用等式表示为 　　； （3）已知格点长方形，设其边长，，其中，为正整数．请以格点长方形为例，尝试证明（2）中的格点凸多边形的面积公式． 【分析】（1）由三角形，梯形面积公式可求图形的面积，由图形可知图形内部格点数，边上格点数； （2）由（1）即可总结结论； （3）用，表示出长方形的面积，长方形内部格点数，边上格点数，即可解决问题． 【解答】解：（1）Ⅰ的面积是，内部格点数是，边上的格点数是，， Ⅲ的面积是，内部格点数是，边上的格点数是，． 故答案为：6，3，8，7；5.5，2，9，6.5． （2）由（1）可以总结出结论：， 故答案为：． （3）长方形的面积，内部格点数是，边上的格点数是， ， ． 【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是由长方形的长，宽，表示出，长方形内部格点数，边上格点数． 一十．多边形内角与外角 37．（2024•红塔区三模）如果一个多边形的每个内角都是，那么它的边数为　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列出方程，求解即可． 【解答】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 故选：． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 38．（2024•永安市二模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 　　． 【分析】根据多边形内角和及正多边形性质求得的度数，从而求得的度数，再结合正方形性质及三角形内角和定理即可求得答案． 【解答】解：图中六边形为正六边形， ， ， 正方形中，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查多边形的内角和及正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 39．（2023秋•太和县期末）已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 【分析】由多边形的内角和定理，多边形的外角和是，即可求解． 【解答】解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， ， 这个多边形的每个内角是． 【点评】本题考查多边形的概念，关键是掌握多边形内角和定理：且为整数），多边形的外角和是． 40．（2024春•新安县期末）（1）如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； （2）如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； （3）用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ，， ， ． 【点评】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$