13.3.2 等边三角形-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（人教版）

第十三章轴对称 13.3.2等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 基础现固练弃夫林陆玩国智如 知识点2等边三角形的判定 4.在△ABC中，①若AB=BC=CA,则 知识点1等边三角形的性质 △ABC为等边三角形：②若∠A=∠B 1.(2023·金昌)如图，BD是等边△ABC的边 ∠C,则△ABC为等边三角形；③有两个角 AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作 都是60°的三角形是等边三角形：④一个角 弧交BC的延长线于点E,则∠DEC= 为60°的等腰三角形是等边三角形.上述结 ( 论中正确的有 () A.20° B.25 C.30° D.35 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图，AB=AC=5,DB=DC,若∠ABC的 度数为60°，则BE的长为 第1题图 第2题图 2.如图，直线a,b过等边三角形ABC顶点A 和C,且a∥b,∠1=42°，则∠2的度数为 3.如图，已知△ABC为等 边三角形，BD为其中 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，∠A=60°，P为边AB 线，延长BC至点E,使 上一点，Q为边BC延长线上的一点，且PA CE=CD,连接DE,求 =CQ,连接PQ交AC边于点D,PD=DQ, ∠BDE的度数. 证明：△ABC为等边三角形， 57 数学八年级上册 知识点3等边三角形的性质与判定的综合 11.如图，△ABC是等边三角形，D是边BC 应用 上一点，且∠ADC的度数为(5.x一20)°，则 7.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC,若AB x的取值范围是 =10,BD=6,则△ADE的周长为 ( A.4 B.30 C.18 D.12 第11题图 第12题图 第7题图 第8题图 12.如图，△ABC是边长为3的等边三角形， 8.如图，在等边三角形ABC中，点P在 △BDC是等腰三角形，且∠BDC=120. △ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP= 以D为顶点作一个60°角，使其两边分别 ∠ACQ,BP=CQ,问：△APQ是什么形状 交AB于点M,交AC于点N,连接MN, 的三角形？试证明你的结论， 则△AMN的周长为 13.如图，在等边三角形 ABC中，∠ABC ∠ACB的平分线交于 点I,BI,CI的垂直平 分线ME,NF分别交 BC于点E,F.求证：BE=EF=CF 能力提升练破能力提升帝东 9.(2023·滨州)已知点P是等边△ABC的边 BC上的一点，若∠APC=104°，则在以线段 AP,BP,CP为边的三角形中，最小内角的 大小为 A.14° B.16 C.249 D.26 10.如图，过边长为1的等 边三角形ABC的边 AB上一点P,作PE AC于E,Q为BC延长 线上一点，当PA=(CQ时，连接PQ交AC 边于D,则DE的长为 ( A号 c号 n 58 第十三章轴对称 14.如图，点C是线段AB 圆核心素养练 上（除点A,B外）的任 15.(2024·淮南模拟)已知，在等边三角形 意一点，分别以AC ABC中，点E在AB上，点D在CD的延 BC为边在线段AB的 长线上，且ED=EC 同旁作等边三角形ACD和等边三角形 BCE,连接AE交DC于点M,连接BD交 CE于点N,连接MN. (1)求证：AE=BD: (2)判断△CMN的形状并说明理由. 图1 图 (1)[特殊情况，探索结论] 如图1，当点E为AB的中点时，确定线段 AE与DB的大小关系，请你直接写出结 论：AE DB(填“>”“<”或“=”). (2)[特例启发，解答题目] 如图2，当点E为AB边上任意一点时，确 定线段AE与DB的大小关系，请你直接 写出结论，AE DB(填“>”“<”或 “=”):理由如下，过点E作EF∥BC,交 AC于点F.(请你完成以下解答过程.) (3)[拓展结论，设计新题] 在等边三角形ABC中，点E在直线AB上， 点D在线段CB的延长线上，且ED=EC, 若△ABC的边长为1，AE=2,求CD的长 (请你画出相应图形，并直接写出结果). 159 数学八年级上册 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 基础巩固练东尖基陆玩网解加 6.如图，△ABC是一个直角 三角形，其中BC⊥AC, 知识点1含30°角的直角三角形的性质 ∠BAC=30°，AB=10 1.已知直角三角形中30°角所对的直角边为 cm,CB1⊥AB,B1C⊥ 2cm,则斜边的长为 ( AC,垂足分别是B,C,那么B,C的长是 A.2 cm B.4 cm 多少？ C.6 cm D.8 cm 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°，线段AB的垂直平分线分别交AC,AB 于点D,E,连接BD.若CD=1,则AD的长 为 第2题图 第3题图 知识点2含30°角的直角三角形的性质的 应用 7.如图，已知OA=10,P 3.(2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大 是射线ON上一动点， 数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立 ∠AON=60°. 体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰 (1)当△AOP是等边三 三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为 角形时，求OP的长： 120°，腰长为12m,则底边上的高是( (2)当△AOP是直角三角形时，求OP A.4m B.6m 的长 C.10m D.12m 4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CM平分 ∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC 交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN =1,则BC的长为 A.4 B.6 C.43 D.8 2 : 第4题图 第5题图 5.图1是某小区地下车库入口的智能道闸机， 图2是横杆升起时的示意图，已知AC 100cm,CD=220cm,∠DCE=30°，则此时 点D距离地面AB的高度为 第十三章轴对称 能力提升练笑破能力是升素示 13.如图，在等边△ABC中，D, E分别是BC,AC边上的 8.(2024·碑林区校级二模)如图，在△ABC 点，且AE=CD,AD与BE 中，AB=6,∠ABC=60°，点D在边BC上， 相交于点F,CF⊥BE.求 且AD=AC,若CD=2,则BD的长为 AF:BF的值. A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 9.如图，△ABE是等边三角形，C ■核心素养练 为BE的中点，CD⊥AB于D, 14.(2024·铁龄模拟)如图，在 则船的值为 △ABC中，∠C=90°，∠A= 30°，AB=4cm,动点P,Q分别 A.3 同时从A,B两点出发，分别在 C.4 AB,BC边上匀速移动，它们的 速度分别为p=2cm/s,o=1cmfs.当 10.将一块含有30°角的直角三角板ABC和等 点P到达点B时，P,Q两点同时停止运 边三角形DEF如图所示放置，当点E与 动，设点P的运动时间为ts.求： 点C重合时，点D恰好落在三角板ABC (1)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 的斜边AB上.若BD=3,则AD的长为 (2)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ CE) 第10题图 第11题图 11.如图，∠ABC=60°，AB=3,动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线 BC运动，设点P的运动时间为t秒，当 △ABP是钝角三角形时，t满足的条件是 12.如图，已知∠AOB= 30°，点P在边OA上， OD=DP=14,点E,F 在边OB上，PE=PF 若EF=6,则OF的长为 61(2),'AB=AC,AD所在直线是BC的垂直平 (2)解：：∠A=80°，∠C-40°， 分线，.∠BAD=∠CAD. .∠ABC=60°， 又DE⊥AB,DF⊥AC, ,∠ABC的平分线交AC于点D, ..DE=DF. 能力提升练 ∴∠ABD=∠CBD=2∠ABC=30, 9.B10.B 由(1)知∠EDB=∠EBD=30°， .12(》 故∠BDE的度数为30°. ×75° 4.D 13.解：(1)，AD是边BC上的高，AB=AC, 5.56.1.5 ∴.∠ADC=90°，AD是∠BAC的平分线， 7.证明：，'BD平分∠ABC, ∴.∠BAD=∠CAD. ∴.∠ABD=∠CBD ,∠BAD=30°，∴.∠CAD=30° .DE∥BC,.∠EDB=∠CBD, .AD=AE,∴.∠ADE=∠AED=75°， ..∠EDB=∠ABD, ∴.∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75 ∴ED=EB,即△EBD为等腰三角形 =15°. 又EF⊥BD于点F,∴EF平分∠BED, (2)∠BAD=2∠EDC.证明如下： ∴.∠BEF=∠DEF .AB=AC,AD=AE, 能力提升练 ∴.∠B=∠C,∠ADE=∠AED 8.C9.C :∠ADC=∠B+∠BAD,∠AED=∠C 10.611.4 +∠EDC, 12.(1)解：，AB=AC,AD是△ABC的中线， ∴.∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC ∴.∠BAD=∠CAD, =∠AED+∠EDC=∠C+2∠EDC, :∠BAC=120°，∴∠BAD=60°. ∴.∠BAD=2∠EDC (2)证明：，AE是∠BAD的平分线， 核心素养练 ∴.∠DAE=∠EAB, 14.解：(1)∠DAC的度数不会改变： DF∥AB,∴.∠F=∠BAE. .EA=EC, .∠DAF=∠F,∴.AD=DF, ∴.∠AED=2∠C.① ∴△ADF是等腰三角形 :∠BAE=90°， 核心素养练 ÷∠BAD=2[180°-(90-2∠C]=45 13.解：(1)，AB=10cm, .'.AM=AB-BM=(10-2t)cm,AN=t cm. +∠C, (2),'△AMN是以MN为底边的等腰三 ∴.∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C) 角形， =45°-∠C,② 由①，②，得∠DAC=∠DAE+∠CAE=45. ∴AM=AN,即10-21=1，解得1=号， (2)设∠ABC=m°， 则∠BAD=号180°-m)=90- :当1=号时△AMN是以MN为底边的等 2n, 腰三角形 ∠AEB=180°-n°-m°， 13.3.2等边三角形 ∴∠DAE=n-∠BAD=i°-∠90+2m, .EA=EC, 第1课时等边三角形的性质与判定 六∠CAE=2∠AEB=90-m- 2m, 基础巩固练 1.C ∴.∠DAC=∠DAE+∠CAE 2.102 =-90+2m+90°-2n-2m°-22 3.解：△ABC为等边三角形，BD为其中线 ∴.∠BDC=90°，∠ACB=60°， 第2课时等腰三角形的判定 ∴.∠ACE=180°-∠ACB=180°-60°=120°. .CE=CD,∴.∠CDE=∠CED=30°， 基础巩固练 ∴.∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+309 1.B2.B =120°. 3.(1)证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC 4.D 于点D, 5.2.5 ∴∠ABD=∠CBD, 6.证明：如图，过点P作PE ,DE∥BC, BQ交AC于点E, .∠EDB=∠CBD ∴.∠EPD=∠Q. ∴.∠EBD=∠EDB, 在△EPD和△CQD中， .'BE=DE. 44 ∠EPD=∠Q, ∠MAC=∠NDC, PD=QD. AC=DC, ∠PDE=∠QDC, ∠ACM=∠DCN, ∴.△EPD≌△CQD(ASA). .△ACM≌△DCN(ASA),∴.MC-NC, .PE=CQ. ,∠MCN=60°， PA=CQ,∴.PE=PA, ,△MCN为等边三角形. ∴∠PEA=∠A=60. 核心素养练 ,PE∥BQ, 15.答案：(1)= (2)= ∴.∠PEA=∠ACB=60. 解：(1)= ∴.∠A=∠ACB=∠B=60°， (2)=理由如下： .△ABC为等边三角形. 过点E作EF∥BC,交AC于点F,解答过程如 7.D 下：，△ABC为等边三角形， 8.解：△APQ为等边三角形. ∴.∠ABC=∠ACB=60°.，EF∥BC, 证明：，△ABC为等边三角形， ∴.∠AEF=∠AFE=60°，∴.△AEF为等边三 ..AB=AC. 角形，∴.AE=EF=AF,∴.BE=CF.ED 在△ABP和△ACQ中， EC,∴.∠D=∠ECD.,'∠DEB=∠ABC AB=AC, ∠D=6O°-∠D,∠ECF=∠ACB-∠ECD= ∠ABP=∠ACQ, 60°-∠ECD, BP=CQ. ∴.∠DEB=∠ECF ..△ABP≌△ACQ(SAS), DE=EC, .∴.AP=AQ,∠BAP=∠CAQ, 在△DBE和△EFC中，∠DEB=∠ECF, ∴△PAQ是等腰三角形 BE=FC, :∠BAC=∠BAP+∠PAC=6O°， ∴.△DBE≌△EFC(SAS), ∴.∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， .DB=EF,则AE=DB. △APQ是等边三角形. (3)根据题意画图，如图所 能力提升练 示，过点E作EF∥BC,交 9.B10.B AC延长线于点F, 11.16<x<2812.6 ,△ABC是等边三角形， 13.证明：连接E,IF ∴.∠ABC=∠ACB=60°， ,ME垂直平分IB, .EF∥BC,∴.∠AEF=∠F=60°，.△AEF IE=BE,同理IF=CF 为等边三角形，AE=EF=2,则可证△DBE≌ 又，△ABC是等边三角形， △EFC,.DB=EF=2,则CD=BC+DB=3. ∴.∠ABC=∠ACB=60°， 而BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB, 第2课时含30°角的直角三角形的性质 ∴.∠IBC=∠ICF=30°， IE=BC,.∠IEF=2∠IBE=60°， 基础巩固练 同理∠IPFE=60°， 1.B ∴△IEF为等边三角形 2.2 ∴.IE=IF=EF, 3.B4.B ..BE=EF=CF. 5.210cm 14.(1)证明：，△ACD和△BCE都是等边三 6.解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10cm, 角形， ∴.AC=DC,CE=CB,∠DCA=60°，∠ECB ∴BC=2AB=5cm =60°， ,CB1⊥AB,∴.∠B+∠BCB1=90°， ∴.∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即 又，∠A十∠B=90°， ∠ACE=∠DCB. ∴.∠BCB1=∠A=30° 在△ACE与△DCB中， AC=DC. 在R△BCB,中，BB,-2BC=2.5cm, ∠ACE=∠DCB, ∴.AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(cm). CE=CB, .在Rt△ABC1中，∠A=30°， '.△ACE≌△DCB(SAS),∴.AE=BD. (2)解：△CMV为等边三角形.理由如下： BC=7AB=7X7.5=3.75(cm. 由(1)得△ACE≌△DCB, 7.解：(1)当△AOP为等边三角形时，OP=OA ∴.∠CAM=∠CDN. =10. .'∠ACD=∠ECB=60°， (2)当∠APO是直角时，∠OAP=30°， ∴.∠DCN=60°. 在△ACM与△DCN中， 0P=20A=5: 45 当∠OAP是直角时，∠OPA=30°， 综上所述，这个三角形的三个内角的度数分别 ∴.OP=20A=20. 为50°，50°，80°或70°，70°，40 ∴.OP的长为5或20. 2.解：(1)当∠C为底角时， 能力提升练 ①如图1，当AB=AC时，AD⊥BC, 8.B9.B .'.BD=CD, 10.91.0<1<号或>612.18 AD=号BC,AD=BD=CD, 13.解：如图，过点B作BG⊥AD ∴.∠C=45. 于点G. ,AB=AC,AE=CD,∠BAE ②如图2，当AB=BC时，：AD-号BC =∠ACD=60°， ∴.△ABE≌△CAD(SAS), AD=2AB.∠ABD=30, ∴.∠ABE=∠CAD. ∴.∠C=75 ∴.∠BFD=∠ABF+∠BAF=∠CAD+ ∠BAD=60° ③知图3，当AB=BC时，：AD=号BC,AB ,在R△BFG中，∠FBG=90°-∠BFD=30, =BC, FG-7BF. ∴AD=2AB,∠DBA=30, 在△ABG和△BCF中， ∴.∠C=15° I∠BGA=∠BFC, ,∠BAG=60°-∠ABE=∠CBF, (2)当∠C为顶角时，如图4，AC=BC, ,AD⊥BC,.∠ADC=90°， AB=BC. ∴.△ABG≌△BCF(AAS), .AG=BF=2FG, AD-BC. ∴.AF=AG-FG=GF. AD-ZAC. ∴.AF:BF=1:2. .AF_1 ∴.∠C=30° …BF=2 综上，∠C的度数为45°或75°或15°或30° 核心素养练 14.解：在△ABC中，.∠C=90°，∠A=30°， ∠B=60°.根据题意，知0<t≤2，BP= 4-2t,BQ=t. (1)当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形，即 4-21=14= 故当1=青时，△PBQ为等边三角形， (2)若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP 90°时，BP=2BQ,即4-21=21，.1=1.②当 ∠BPQ=90°时，BQ=2BP,即t=2(4-2t), ®3 故当1-8或1=1时，△PBQ为直角三角形. 3.64.36或45 5.解：分两种情况讨论： 专题（五）分类讨论思想在等腰三角形中的应用 ①若∠A<90°，如图1所示. 1.解：(1)若顶角大于底角，可设底角的度数为x°， BD⊥AC,.∠A+∠ABD=90°， 则顶角的度数为(x十30)° ,∠ABD=36, 根据题意，得x十x十(x+30)=180, ∠A=90°-36°=54°， 解得x=50. .'AB=AC, 此时这个三角形的三个内角的度数分别为50°， 50°，80° ∴LABC=∠C=号×180°-540)=63. (2)若顶角大于底角，可设底角的度数为x°，则 ②若∠A>90°，如图2所示. 顶角的度数为(x一30)°. 同①可得∠DAB=90°-36°=54°， 根据题意，得x十x十(x一30)=180， ∴.∠BAC=180°-54°=126°， 解得x=70. .AB=AC, 此时这个三角形的三个内角的度数分别为0°， 70°，40°. ·∠ABC=∠C=2×180°-126)=27 46