13.1.2 线段的垂直平分线的性质-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（人教版）

第十三章轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段的垂直平分线的性质(1) 门基础巩固练奈失基通克调新和 知识点2线段垂直平分线的判定 4.如图是“一带一路”示意图，若记北京为A 知识点1线段垂直平分线的性质 地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接 1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别 AB,AC,BC,形成了一个三角形.若想建立 交AB,BC于点D,E,连接AE,若AE=4, 一个货物中转仓，使其到A,B,C三地的距 EC=2,则BC的长是 ( 离相等，则中转仓的位置应选在 ( A.2 B.4 A.三边垂直平分线的交点 C.6 D.8 B.三边中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点 生定所科 第4题图 第5题图 第1题图 第2题图 5.如图，在△ABC中，DM,EN分别是AB, 2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,E是 AC的垂直平分线.若△ADE的周长是 BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于 18cm,则BC的长是 cm. 点F,连接CF.若∠A=50°，∠ACF=40°， 6. 如图，在△ABC中， 则∠CFD的度数为 ∠ACB=90°，AD平分 3.如图，AD⊥BC,BD=DC, ∠BAC,DE⊥AB交AB 点C在线段AE的垂直平 于点E 分线上，AB,AC,CE的长度 (1)若∠BAC=50°，求 有什么关系，AB十BD与DE有什么关系？ ∠EDA的度数； (2)求证：直线AD是线段CE的垂直平分线. 45 数学八年级上册 能力提升练笑破能力提升素本 (2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时 点B在线段AF的垂直平分线上？为什么？ 7.如图，点P是∠AOB外的一点，点M,N分 别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的 对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于 OB的对称点R落在MN的延长线上.若 PM=2.5cm,PN=3cm,MV=4cm,则线 段QR的长为 ( ) A.4.5 cm B.5.5 cm C.6.5 cm D.7 cm ■核心素养练 12.如图，BD是△ABC的角平分线 第7题图 第8题图 8.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C在 ④④ 直线1外，且与点A在直线1的同侧，点P是 2 周 直线I上的任意一点，连接AP,BC,CP,则BC (1)如图1，DE⊥AB于点E,DF⊥BC于 与AP+PC的大小关系是 () 点F,连接EF,求证：BD所在直线是EF A.BC>AP+PC B.BC<AP+PC 的垂直平分线 C.BC>AP+PC D.BC≤AP+PC (2)如图2，当有一点G从点D向点B运 9.(2023·青海)如图，在△ABC中，DE是BC 动时，GE⊥AB于点E,GF⊥BC于点F, 的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则 此时(1)中的结论是否成立？请证明. △ABD的周长是 (3)如图3，当点G沿BD方向从点D沿 BD的延长线运动时，GE⊥AB于点E, GF⊥BC(或其延长线)于点F,此时(1)中 的结论是否成立？不需证明. 10.如图，在△ABC中，已知点O是边AB,AC 垂直平分线的交点，点E是∠ABC, ∠ACB平分线的交点，若∠O十∠E 180°，则∠A 度」 : 第10题图 第11题图 11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 CD的中点，连接AE并延长，交BC的延 长线于点F (1)求证：CF=AD: 6 第十三章轴对称 第2课时 线段的垂直平分线的性质(2) 儿基础巩固练东来港陆玩国新分 (1)根据题意，利用直尺和圆规补全图形： (2)证明：直线1垂直平分线段AE. 知识点1线段垂直平分线的作法 1.如图，在△ABC中，∠ACB =90°，分别以点A和点C 为圆心，以相同的长 (大于2AC)为半径作弧，两 弧相交于点M和点N,作直线MN交AB于 点D,交AC于点E.连接CD.下列选项错误 的是 () A.AD-CD B.∠A=2∠DCB C.∠ADE=∠DCBD.∠A=∠DCA 知识点2画对称轴 2.如图，在R△ABC中，∠B=90°，分别以A. 5.如图，△ABC与△DEF关于直线1对称，请 仅用无刻度的直尺，在图1与图2中分别作 C为圆心，大于AC的一半的长度为半径画 出直线. 弧，交于两点M,N,连接MN,交AC于点 D,交BC于点E,并连接AE.已知∠C 32°，则∠BAE的度数为 ■核心素养练 6.如图，校园里有两条路OA, N OB,在这两条路附近有两块 宣传牌C,D,学校准备在这 3.如图，已知△ABC,请用尺规过点A作一条 里安装一盏路灯，要求灯柱 直线，使其将△ABC分成面积相等的两部 的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两 分.（不写作法，保留作图痕迹） 条路的距离也一样远，请你画出灯柱的位置 P,简要说明理由. Be 4.已知如图，点A、点B在直线1异侧，以点A 为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C,D 两点.分别以C,D为圆心，AB长为半径作 弧，两弧在直线1下方交于点E,连接AE. 4 147在△DOB和△EOC中， I∠BDO=∠CEO, 第十三章轴对称 ∠DOB=∠EOC OB=OC. 13.1轴对称 ∴.△DOB≌△EOC(AAS), 13.1.1轴对称 ∴.OD=OE 在Rt△ADO和Rt△AEO中， 基础巩固练 OD=OE. 1.C2.D3.B4.C OA-OA. 5.①⑤ ∴.Rt△ADO≌Rt△AEO(HL), 6.D .∠1=∠2， 7.4 方法二： 8.解：(1)，四边形ABCD与四边形EFGH关于 ,OD=OE,∠ADC=∠AEB=90°， 直线MN对称，AB=3cm,EH=4cm, ∴.∠1=∠2 .'.EF=AB=3 cm,AD=EH=4 cm. 8.19.15 (2).∠ABC=125°，∠A+∠D=155°， 10.(1)解：作PQ⊥BE于Q,如图， .∠C=360°-∠B-(∠A+∠D)=80°， .∠G=∠C=80° H (3),对称轴垂直平分对称点的连线， ∴.直线MN垂直平分线段BF. 能力提升练 9.C10.B11.D12.D13.D B 14.9 15.解：由题意，知四边形DEFC与四边形D'EFC BP平分∠ABC,PH⊥BA,PQ⊥BE, 关于EF成轴对称， ∴.PQ=PH=8cm, ∴.∠DEF=∠DEF 即点P到直线BC的距离为8cm. .'AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=65°， (2)证明：：CP平分∠ACE,PQ⊥BE, ∴∠D'EF=65°， PD⊥AC, ∴.∠AED=180°-∠DEF-∠D'EF=50°. ∴.PD=PQ, 16.解：(1)，△ABC与△ADE关于直线MN对 由(1)知PH=PQ, 称，ED=4cm,FC=1cm, ..PD=PH, ∴.BC=ED=4cm. PD⊥AC,PH⊥BA, ..BF=BC-FC=4-1=3(cm). .点P在∠HAC的平分线上 (2),'△ABC与△ADE关于直线MN对称， 11.证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°， ∠BAC=76°，∠EAC=58°， ∴.∠CAB=180°-∠B-∠C=110. ∴.∠EAD=∠BAC=76. .AE⊥BC ∴.∠CAD=∠EAD-∠EAC=76°-58 =18. ∴.∠AEC=90°. 核心素养练 ∴.∠DAF=∠AEC+∠C=110°， 17.解：如图所示： ∴.∠DAF=∠CAB. 在△DAF和△CAB中， AD=AC, ∠DAF=∠CAB, AF=AB. ∴.△DAF≌△CAB(SAS). 13.1.2线段的垂直平分线的性质 ∴.DF=CB. 12.证明：B是AD的中点， 第1课时 线段的垂直平分线的性质(1) ..AB=BD, 基础巩固练 .BC∥DE, 1.C ∴.∠ABC=∠D, 2.60 在△ABC和△BDE中， 3.解：.AD⊥BC,BD=DC, (AB=BD, .AD垂直平分线段BC, ∠ABC=∠D, ..AB=AC, BC=DE, ,:点C在线段AE的垂直平分线上， ∴.△ABC≌△BDE(SAS), ∴.AC=CE.∴.AB=AC=CE. .∠C=∠E. ∴.AB+BD=CD+CE, 即AB+BD=DE. 41 4.A 4.(1)解：如图所示 5.18 6.(1)解：，AD平分∠BAC, ·∠EAD=2∠BAC=25 .DE⊥AB,∴.∠DEA=90°， B .∴.∠EDA=180°-90°-25°=65°. (2)证明：DE⊥AB, (2)证明：如图，连接AC,CE,ED,AD .∴.∠AED=90°=∠ACB. 又，AD平分∠BAC,.∠DAE=∠DAC. ,AD=AD,.△AED≌△ACD(AAS), ∴.AE=AC,DE=DC, .直线AD是线段CE的垂直平分线. 能力提升练 .AC=AD-AB,CE=ED-AB, 7.A8.D ∴.AC=CE,AD=DE, 9.1310.36 ∴，直线l垂直平分AE 11.(1)证明：，AD∥BC,.∠ECF=∠EDA. 5.解：如图1，过BC,EF的交点和点A作直线，该 E为CD的中点，CE=DE. 直线就是所求作的直线L.如图2，过BC,FE的 在△FEC和△AED中， 延长线的交点和AC,DE的延长线的交点作直 I∠FEC=∠AED, 线，该直线就是所求作的直线 CE=DE, ∠ECF=∠EDA, ∴.△FEC≌△AED,∴.CF=AD. (2)解：当BC=6时，点B在线段AF的垂直平 分线上，理由如下： ,BC=6,AD=2,AB=8, ..AB=BC+AD, 图1 图2 又CF=AD,BC+CF=BF,∴.AB=BF, 点B在线段AF的垂直平分线上 6.解：如图，分别作出∠AOB 核心素养练 的平分线和线段CD的垂直 12.(1)证明：，BD平分∠ABC,DE⊥AB, 平分线，两线的交点便是灯 DF⊥BC, 柱的位置P.理由如下： DE=DF,点D在EF的垂直平分线上 ,点P在∠AOB的平分 在△BDE布RI△BDF中，B-B6 线上， ,点P到两条路的距离一样远 ∴.Rt△BDE≌Rt△BDF,∴.BE=BF, :点P在线段CD的垂直平分线上， 点B在EF的垂直平分线上， ∴，点P到宣传牌C,D的距离相等. .BD所在直线是EF的垂直平分线。 点P即为所求 (2)解：成立.证明如下： 13.2画轴对称图形 同(1)可证GE=GF,BE=BF, ,点G,B在EF的垂直平分线上， 第1课时画轴对称图形 ∴BG所在直线是EF的垂直平分线， 即BD所在直线是EF的垂直平分线. 基础巩固练 (3)解：成立. 1.C2.D 3.9cm4.B 第2课时线段的垂直平分线的性质(2) 5.解：(1)如图所示，四边形AB'CD'即为所求. 基础巩固练 1.B 2.26 D 3.解：如图，直线AD即所求 (2)四边形ABCD的面积=S△AD十S△cD 2×4X1+2×4X3=8 42