12.3 角的平分线的性质-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（人教版）

第十二章 全等三角形 12.3角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质 基础现固练奈失赫础现围餐知 5.如图，OD平分∠AOB,OA=OB,P为OD 上一点，PM⊥BD于点M,PN⊥AD于点 知识点1角平分线的作法 N.求证：PM=PN 1.如图，用尺规作角平分线， 根据作图步骤，在说明射线 AN是∠BAC的平分线过 程中，以下说法错误的是 () A.由作弧可知AE=AF B.由作弧可知FP=EP C.由SAS证明△AFP≌△AEP D.由SSS证明△AFP≌△AEP 知识点2角平分线的性质 2.(2024·新都区模拟) 6.如图，已知点O在∠BAC的 如图，点P在∠AOB 平分线上，BD⊥AC, 的角平分线上，过点P CE⊥AB,垂足分别为D,E, 作PC⊥OA,交OA于 求证：OB=OC 点C,且PC=8,则P 到OB的距离为 ( A.4 B.6 C.8 D.10 3.如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3,BC =5,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积 为 A.8 B.7.5 能力提升练突破院力提纤素养 C.15 D.无法确定 4.(2024·湖北模拟)在 7.(2024·莱芜区模拟)如图， Rt△ABC中，∠C= OP平分∠MON,PA⊥ON 90°，作∠CAB的平分 于点A,点Q是射线OM上 线AP交BC于点D. 的一个动点，若PA=4,则 PQ的长不可能是 若AB=10,S△ABD= A.3.5 B.4 20,则CD的长为 C.4.5 D.5 35 ”,,,,。。 数学八人年级上册 8.如图，已知△ABC的周长 圆核心素养练 是20，B0.C0分别平分 ∠ABC,∠ACB,OD⊥BC 13.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 于点D,且OD=3,则 60°，AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分 △ABC的面积是() 线，AD,CE相交于点F. A.20 B.25 C.30 D.35 9.如图，BP平分∠ABC,D为 BP上一点，E,F分别在 BA,BC上，且满足DE= 图1 图2 DF,若∠BED=140°，则 (1)请你判断并写出FE与FD之间的数 ∠BFD的度数为 量关系 10.(2024·历下区模拟) 如图，点C在∠AOB (2)如图2，如果∠ACB不是直角，其他条 的平分线上，CD⊥ 件不变，(1)中所得的结论是否仍然成立？ OA于点D,且CD= 若成立，请给出证明：若不成立，请说明 3,如果E是射线OB 理由 上一点，那么线段CE 长度的最小值是 11.如图，BD平分∠ABC,AD平分△BAC的 外角，MD∥BC与AC相交于点N,与AB 相交于点M,已知BM=7cm,CN 4cm,则MN的长为 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥ BC交∠BAC的平分线AE于点E,EFI AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC于点 G.求证：BF=CG. 36 第十二章 全等三角形 第2课时 角的平分线的判定 儿基础现固练东实基油乳用新列 5.如图，在△ABC中，外角 ∠CBD和∠BCE的平分线 知识点1角的平分线的判定 交于点F,且FM⊥AD于 1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示， 点M,FN⊥AE于点N.求 到∠AOB两边距离相等的点应是() 证：点F在∠BAC的平分 线上 A.点M B.点N C.点P D.点Q 2.如图，AB∥CD,点P到AB,BC,CD的距 离都相等，则∠P的度数为 第2题图 第3题图 6.如图，已知△ABC的角 3.如图，在△ABC中，点O到三边的距离相 平分线BM,CN相交于 等，若∠BAC=60°，则∠BOC= 点P 知识点2角的平分线的判定与其他知识的综合 (1)AP是否平分 4.如图，已知AB=AC, ∠BAC?请说明理由. DE⊥AB交AB的延长线 (2)由此题你得到的结论是 于点E,DF⊥AC交AC的 延长线于点F,DE=DF. 求证：BD=CD. ,,,, 37 数学八年级上册 能力提升练笑破能力提升素茶 11.如图，在四边形ABCD 中，过点C作CE⊥AB 7.如图，已知点P到BE,BD, 于点E,并且CD AC的距离恰好相等，则点P CB,∠ABC+∠ADC 的位置：①在∠B的平分线 =180°. 上：②在∠DAC的平分线上： 1)求证：AC平分∠BAD: ③在∠ECA的平分线上：④恰在∠B, (2)若AE=3BE=9,求AD的长： ∠DAC,∠ECA的平分线的交点处.上述结 (3)若△ABC和△ACD的面积分别为36 论中，正确的有 ( 和24，求△BCE的面积. A1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，D为边CB上的 一点，连接AD.若AC=12, AD=13,△DCA的周长为30，要使AD恰 好是△ABC的角平分线，则点D到边AB 的距离为 9.如图，已知射线OC上的任意一点到∠AOB 的两边的距离都相等，点D,E,F分别在 OC,OA,OB上，如果要想证得OE=OF,只 需要添加以下四个条件中的某一个即可，请 ■核心素养练 写出所有可以添加的条件的序号 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是 ①∠ODE=∠ODF:②∠OED=∠OFD: R1△ABC的一条角平分线，点O.E,F分 ③ED=FD:④EF⊥OC 别在BD,BC,AC上，且四边形OECF是 正方形（四条边相等，四个角都是直角）. (1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC=5,BC=12,AB=13,求OE 的长 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，∠B=∠C,D是BC边 上的动点，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F,当点D移动到什么位置 时，AD恰好平分∠BAC?请说明理由. :.: : 38 。。，,。。。m有年了5.解：AF=BF十EF.理由如下： ,D为BC的中点，DB=CD ,DE⊥AG,BF∥DE,∴.BF⊥AG, AD-DE, ∴.∠AED=∠AFB=90°， 在△ADC和△EDB中，{∠ADC=∠BDE, ∴.∠BAF+∠ABF=90°， DB-CD. 又，∠BAF+∠DAE=90°， ∴.△ADC≌△EDB(SAS). ∴.∠DAE=∠ABF ∴.BE=AC. 又，'AD=AB,∠AED=∠AFB=90°， 在△ABE中，AB十BE>AE, ∴.△ADE2△BAF(AAS), ∴.AB+AC>2AD ∴.AE=BF (2)解：AB=5,AC=3, ∴.AF=AE+EF=BF+EF ∴.5-3<2AD5+3..1<AD<4. 6.证明：如图，延长AM至点N,使MN=AM, 专题（四）全等三角形的常见模型 连接BN, 1.证明：，AC∥BD,∴.∠A=∠B,∠C=∠D, 点M为BC的中点， 在△AOC和△BOD中， ∴.CM=BM. ∠C=∠D, 在△AMC和△NMB中， ∠A=∠B, AM-MN, AO=BO, ∠AMC=∠NMB, ∴.△AOC≌△BOD(AAS),.AC=BD. CM=BM, 2.证明：(1)，∠1=∠3， ∴.△AMC≌△NMB(SAS) .∠1+∠DAC=∠3+∠DAC, .AC=BN,∠C=∠NBM. 即∠BAC=∠DAE. AB⊥AE,AD⊥AC, :∠E=∠180°-∠3-∠ACE,∠ACB=180 ,∴.∠EAB=∠DAC=90° -∠2-∠ACE,∠2=∠3， ,∴.∠EAD+∠BAC=180° ∴.∠ACB=∠E.在△ABC与△ADE中， ∴.∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C ∠BAC=∠DAE, =180°-∠BAC=∠EAD. AC=AE, 在△EAD和△ABN中， ∠ACB=∠E, AE=AB. .△ABC≌△ADE(ASA). ∠EAD=∠ABN, (2)由(1)可得△ABC≌△ADE. AD-=BN, ∴.∠B=∠D. '.△EAD≌△ABN(SAS). 3.10 .'.DE=AN-2AM. 4.(1)证明：①，AD⊥DE,BE⊥DE, 12.3角的平分线的性质 ∴.∠ADC=∠CEB=90°. :∠ACB=90°， 第1课时角的平分线的性质 ∴.∠ACD+∠BCE=90. :∠ACD+∠DAC=90°， 基础巩固练 ∴.∠CAD=∠BCE. 1.C2.C3.B ∠ADC=∠CEB, 4.4 在△ACD和△CBE中， ∠CAD=∠BCE, 5.证明：OD平分∠AOB, AC=CB, ∴.∠BOD=∠AOD. ∴.△ACD≌△CBE(AAS). .OB=OA.OD=OD ②由①，得△ACD≌△CBE ∴.△OBD≌△OAD(SAS) ..AD=CE,CD=BE. ∴.∠BDO=∠ADO,即DP平分∠ADB. .DE=CE+CD,..AD+BE=DE ,PM⊥BD,PN⊥AD, (2)不成立.AD-BE=DE. ∴.PM=PN 5.(1)证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD, 6.证明：，点O在∠BAC的平分线上，BD⊥AC, 连接BE. CE⊥AB, ∴.∠BEO=∠CDO=90°，OE=OD. 在△BEO和△CDO中， ∠BEO=∠CDO=90°， OE=OD. ∠EOB=∠DOC, ∴.△BEO≌△CDO(ASA), ∴.OB=OC 能力提升练 7.A8.C 9.40°10.311.3cm 38 12.证明：连接BE,EC ∴.∠ABF=∠CBF= 由ED⊥BC,且D为BC 1 的中点， ∠ABC=30. 易证△BED≌△CED, 在Rt△BNF中，∠NFB .BE=CE. =90°-∠ABF=90°-30 ,EF⊥AB,EG⊥AG, =60°，同理可得∠BFM 且AE平分∠FAG, =60°， 图2 FE-GE. ∴.∠MFN=∠NFB+∠BFM=120°. 在Rt△BFE和R△CGE中，FEGE, BE=CE, .'∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA)=180 ∴.Rt△BFE≌Rt△CGE(HL), 2(∠BAC+∠ACB)=180°-2180° ∴.BF=CG 核心素养练 ∠AB0=180°-号×180°-60)=120， 13.解：(1)FE=FD. ∴.∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°， 理由：如图1，过点F分别作FM⊥BC于点M, 又.∠MFN=∠MFD+∠DFN,∠DFE= FN⊥AB于点N,FH⊥AC于点H,连接BF. ∠DFN+∠NFE, ∴.∠DFM=∠EFN. 在△DMF和△ENF中， ∠DMF=∠ENF, MF=NF. ∠DFM=∠EFN, ∴.△DMF≌△ENF(ASA), 图1 ∴.FE=FD ,F是△ABC的两条角平分线的交点， 第2课时角的平分线的判定 .BF也是角平分线（三角形的角平分线交于 一点)， 基础巩固练 ..MF=FN.FN=FH.FM=FH. 1.A ,在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 2.90°3.120 ∠ABC=60°， 4.证明：如图，连接AD ∴.∠BAC=30°， DE=DF,DE⊥AB,DF ∴∠DAC-号∠BAC-15 ⊥AC, ∴.AD平分∠BAC, ∠BCE=∠ACB=45 ∴.∠1=∠2. 在△ADB和△ADC中， ∴.∠CDA=90°-∠DAC=90°-15=75°. AB=AC, ,∠FMC=90°，∴.∠MFC=45 ∠1=∠2， 利用“HL”易证得Rt△BNF≌Rt△BMF, AD=AD, ∴.∠NFB=∠MFB. ∴.△ADB≌△ADC(SAS), :∠ABF=∠CBF=号∠ABC=80, ∴.BD=CD 5.证明：过点F作FO⊥BC于 ∴.∠NFB=∠MFB=60°， 点O. ∴.∠MFN=120°， ,BF平分∠CBD,CF平分 ∴.∠NFE=180°-∠MFC-∠MFN=180° ∠BCE,FM⊥AD, 45°-120°=15°， FN⊥AE, ∴.∠NEF=90°-∠NFE=75°=∠MDF. ∴.FM=FO,FO=FN, 在△DMF和△ENF中， ∴.FM=FN,又FM⊥AD, I∠DMF=∠ENF, FN⊥AE, ∠MDF=∠NEF, .点F在∠BAC的平分线上 MF=NF, 6.答案：(2)三角形的三条内角平分线相交于一点 ∴.△DMF≌△ENF(AAS),∴.FE=FD. 解：(1)AP平分∠BAC. (2)成立，证明如下： 理由如下： 如图2，过点F分别作FM⊥BC于点M,FN 如图，过点P作PQ⊥BC ⊥AB于，点N,FH⊥AC于点H,连接BF. 于点Q,PK⊥AB于 由(I)知，FN=FM=FH,∠ABF=∠CBF 点K, .∠ABC=60°， PL⊥AC于点L, 39 ,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 核心素养练 ..PK=PQ,PL=PQ,..PK=PL, 12.(1)证明：如图，过点O作OM⊥AB,垂足 ∴.AP平分∠BAC 为M. 能力提升练 7.D 8.59.①②④ 10.解：当点D移动到BC的中点时，AD恰好平分 ∠BAC. BD是△ABC的一条角平分线，OM⊥AB, 理由：当D是BC的中点时，BD=CD. OE⊥BC, ,DE⊥AB,DF⊥AC, ..OE=OM. .∠DEB=∠DFC=90 ,四边形OECF是正方形， 又，∠B=∠C,BD=CD, ∴.OE=OF,OF⊥AC, ∴.△DEB≌△DFC(AAS) ∴.OM=OF ∴.DE=DF, 又.OM⊥AB,OF⊥AC, 又，DE⊥AB,DF⊥AC, 点O在∠BAC的平分线上」 .AD平分∠BAC (2)解：由(1)知BO平分∠ABC,OM=OE. 11.(1)证明：如图，过点C作CF⊥AD,交AD的 又，OB=OB,∴.Rt△BMO≌Rt△BEO, 延长线于点F,则∠F=90° .BE=BM. 同理可得AM=AF D CE=CF=x.BE=BM=y,AM=AF= ,在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13, x+y=12, x=2, E B ∴.y十x=13,解得y=10, CE⊥AB, x十之=5， x=3. ∴.∠CEA=∠CEB=90°， .CE=2,∴.OE=2. ∴.∠F=∠CEA=∠CEB. .∠ADC+∠CDF=180°， 章末考点集训 且∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠CDF=∠B. 1.D2.B 3.AB=DC(答案不唯一) ∠F=∠CEB, 在△CDF和△CBE中， 4.A ∠CDF=∠B, 5.3 CD=CB, 6.(1)证明：AC平分∠BAD, ∴.△CDF≌△CBE(AAS), ,∴.∠BAC=∠DAC, ..CF=CE. CB⊥AB,CD⊥AD, 又，'CF⊥AD,CE⊥AB, ∴.∠B=∠D=90°， ∴.AC平分∠BAD. 在△ABC和△ADC中， (2)解：在Rt△CAF和Rt△CAE中， 1∠B=∠D, AC=AC, ∠BAC=∠DAC, CF=CE, AC=AC, '.Rt△CAF≌Rt△CAE(HL), .△ABC≌△ADC(AAS) ..AF=AE. (2)解：由(1)，知△ABC≌△ADC, 由(1)知△CDF≌△CBE, ∴BC=CD=3,SAe=S△Ac, ..DF=EB. 3BE=9,∴.BE=3, Sar=2ABBC-2×4X3=6, .DF=3. S△0x=6, .AD=AF-DF,..AD=AE-DF. .S四边移AWD=S△AM十S△，C=12. .AE=9,∴.AD=9-3=6. ∴.四边形ABCD的面积是12. (3)解：由(1)(2)知△CAF≌△CAE, 7.答案：(1)二 △CDF≌△CBE, (1)解：小虎同学的证明过程中，第二步出现 .SAcw=S△cE,SAr=S△E: 错误. 设△BCE的面积为x,则△CDF的面积为x 故答案为二 由题意，得S△D十S△r=S△Ax一S△aE· (2)证明：方法一： 即24十x=36-x,解得x=6. :∠ADC=∠AEB=90, ∴.△BCE的面积为6. ∴.∠BDC=∠CEB=90°， 40