专题(三) 全等三角形四种常见结论的证明技巧&专题(四) 全等三角形的常见模型-【提分教练】2024-2025学年八年级数学上册同步精导优化与设计方案（人教版）

数学八年级上册 专题(三) 全等三角形四种常见结论的证明技巧 类型1 全等三角形法证线段或角相等 类型2 全等三角形法证明线段的位置关系 1.(2023·吉林)如图,点C在线段BD上; 3.如图,在△ABC中,CD|AB,垂足为D.BE △ABC和△DEC中. A= D.AB=DE IAC.垂足为G.AB=CF,BE=AC B- E.求证:AC-DC (1)求证:AE一AF 2.如图,在四边形ABCD中,AB//DC,E是 (2)AE与AF有何位置关系,请说明理由 CD的中点,AE-BE.求证: D= C 32 第十二章 全等三角形 类型3 等线段代换法证线段的和差关系 5.如图,点A、点B分别在/,L。上,且AB / 4.如图,在Rt△ABC中,BAC=90{},ABC 于点A,AB 1。于点B,在/。上点B的右侧 60{*}.AD.CE分别平分BAC.ACB 有任意一点G,连接AG,同时在/上点A 的右侧截取AD-AB,过点D作DE AG 于点E,过点B作BF/DE交AG于点F 试探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关 系,并说明理由. (1)求/AOE的度数; (2)求证,AC-AE士CD 33 数学八年级上册 专题(四) 全等三角形的常见模型 类型1 “X”型 (1)如图1.求证:①△ACD△CBE;②AD 1.(2023·乐山)如图,已知AB与CD相交于 +BE-DE: 点O.AC//BD,AO-BO.求证:AC=BD (2)如图2,AD+BE=DE还成立吗?若不 成立,请直接写出新的结论.(不用证明) 类型4 类型2“手拉手”型 中点型 2.如图,点D在△ABC外部 5.如图,在△ABC中,点D为BC的中点 点C在DE边上,BC与AD (1)求证:AB十AC>2AD; 交于点0.若 1=2= (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围 3.AC-AE求证: (1)△ABC△ADE (2)B-D. 类型3 一线三垂直型 6.如图,AB-AE,ABAE. 3.如图,已知三条平行直 AD=AC.AD AC,点M 线乙..7.,7。两条平 为BC的中点,求证:DE 行线间的距离为2,1。,1。 -2AM. 两条平行线间的距离为 4.将一等腰直角三角形如图放置,过A,B 分别向直线/。作垂线,垂足分别为D,E,则 DE一 4. 已知在Rt△ABC中. ACB-90*,CA CB.直线/经过点C,过A点作AD|/干点 D.过B点作BE /于点E. 。 3412.(1)解：DE=BF,且DE∥BF '.Rt△AEF≌Rt△BEF, 证明：，DE⊥AC,BF⊥AC, ∴.∠EAB=∠EBA. ∴.∠DEC=∠BFA=90°， AB∥DC, ∴.DE∥BF.,AE=CF, '.∠DEA=∠EAB,∠CEB=∠EBA, ∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE .∠DEA=∠CEB. 在Rt△ABF和R△CDE中·AF=CE, AB=CD, ,E是CD的中点，.DE=CE DE=CE. '.Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 在△ADE和△BCE中，∠DEA=∠CEB, ..BF=DE. AE=BE. (2)证明：在△DEM和△BFM中， ∴.△ADE≌△BCE(SAS),∴.∠D=∠C ∠DEM=∠BFM, 3.(1)证明：CD⊥AB,BE⊥AC, ∠DME=∠BMF, ∴.∠ADC=∠AGB=90°， DE=BF, ∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90, ∴.△DEM≌△BFM(AAS). .∠ACD=∠EBA, ∴.MB=MD. 在△AEB和△FAC中， 核心素养练 AB=CF, 13.解：李乐的说法正确. ∠EBA=∠ACF, 理由：如图，在△ABC和△DEF中，AB>AC, BE=AC, ED>DF,AB=DE,AC=DF,∠ACB=∠DFE, ∴.△AEB≌△FAC(SAS), 过点A作AG垂直BC的延长线于点G,过点 ∴.AE=AF D作DH垂直EF的延长线于点H (2)解：AE⊥AF,理由如下： 由(1)知△AEB≌△FAC, ∴∠E-∠CAF, BE⊥AC,垂足为G, C G .∠AGE=90°， ,∠ACB=∠DFE,∴.∠ACG=∠DFH. :∠E+∠EAG=90°， 在△ACG和△DFH中， ∴.∠CAF+∠EAG=90°， ∠G=∠H=90°， 即∠EAF=90°，∴.AE⊥AF ∠ACG=∠DFH, 4.(1)解：，∠BAC=90°，∠ABC=60°， AC=DF, .∠ACB=180°-90°-60°=30°. ∴.△ACG≌△DFH,∴.AG=DH. 'AD,CE分别平分∠BAC,∠ACB 在RAZ布R△DEH中，8PF。 ∴∠CA0=2∠BAC=4,∠AC0=2∠ACB ∴.Rt△ABG≌Rt△DEH,∴.∠B=∠E. =15°， 在△ABC和△DEF中， ∴.∠AOE=∠CAO+∠ACO=45°+15°=60°. ∠B=∠E, (2)证明：如图，在AC上截取AF=AE,连 ∠ACB=∠DFE, 接OF. AB=DE, ∴.△ABC≌△DEF 当△ABC和△DEF是锐角三角形时，证明方 法类似. 李乐的说法正确 专题（三）全等三角形四种常见 'AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD. AE-AF, 结论的证明技巧 在△AOE和△AOF中，{∠EAO=∠FAO, 1.证明：在△ABC和△DEC中， AO-AO. ∠A=∠D, ∴.△AOE≌△AOF(SAS), AB=DE, ∴.∠AOE=∠AOF. ∠B=∠E, 由(1)知∠AOE=60°， ∴.△ABC≌△DEC(ASA), .∠AOF=60°，∠COD=60°， ..AC=DC. ∴.∠COF=180°-∠AOF-∠COD=60°. 2.证明：如图，过点E作EF⊥AB I∠FOC=∠DOC, 垂足为F 在△COF和△COD中，{CO=CO, 在Rt△AEF和Rt△BEF中， ∠FCO=∠DCO, AE=BE, ∴.△COF≌△COD(ASA), EF=EF, ..CF=CD, ∴.AC=AF+CF=AE+CD 37 5.解：AF=BF十EF.理由如下： ,D为BC的中点，DB=CD ,DE⊥AG,BF∥DE,∴.BF⊥AG, AD-DE, ∴.∠AED=∠AFB=90°， 在△ADC和△EDB中，{∠ADC=∠BDE, ∴.∠BAF+∠ABF=90°， DB-CD. 又，∠BAF+∠DAE=90°， ∴.△ADC≌△EDB(SAS). ∴.∠DAE=∠ABF ∴.BE=AC. 又，'AD=AB,∠AED=∠AFB=90°， 在△ABE中，AB十BE>AE, ∴.△ADE2△BAF(AAS), ∴.AB+AC>2AD ∴.AE=BF (2)解：AB=5,AC=3, ∴.AF=AE+EF=BF+EF ∴.5-3<2AD5+3..1<AD<4. 6.证明：如图，延长AM至点N,使MN=AM, 专题（四）全等三角形的常见模型 连接BN, 1.证明：，AC∥BD,∴.∠A=∠B,∠C=∠D, 点M为BC的中点， 在△AOC和△BOD中， ∴.CM=BM. ∠C=∠D, 在△AMC和△NMB中， ∠A=∠B, AM-MN, AO=BO, ∠AMC=∠NMB, ∴.△AOC≌△BOD(AAS),.AC=BD. CM=BM, 2.证明：(1)，∠1=∠3， ∴.△AMC≌△NMB(SAS) .∠1+∠DAC=∠3+∠DAC, .AC=BN,∠C=∠NBM. 即∠BAC=∠DAE. AB⊥AE,AD⊥AC, :∠E=∠180°-∠3-∠ACE,∠ACB=180 ,∴.∠EAB=∠DAC=90° -∠2-∠ACE,∠2=∠3， ,∴.∠EAD+∠BAC=180° ∴.∠ACB=∠E.在△ABC与△ADE中， ∴.∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C ∠BAC=∠DAE, =180°-∠BAC=∠EAD. AC=AE, 在△EAD和△ABN中， ∠ACB=∠E, AE=AB. .△ABC≌△ADE(ASA). ∠EAD=∠ABN, (2)由(1)可得△ABC≌△ADE. AD-=BN, ∴.∠B=∠D. '.△EAD≌△ABN(SAS). 3.10 .'.DE=AN-2AM. 4.(1)证明：①，AD⊥DE,BE⊥DE, 12.3角的平分线的性质 ∴.∠ADC=∠CEB=90°. :∠ACB=90°， 第1课时角的平分线的性质 ∴.∠ACD+∠BCE=90. :∠ACD+∠DAC=90°， 基础巩固练 ∴.∠CAD=∠BCE. 1.C2.C3.B ∠ADC=∠CEB, 4.4 在△ACD和△CBE中， ∠CAD=∠BCE, 5.证明：OD平分∠AOB, AC=CB, ∴.∠BOD=∠AOD. ∴.△ACD≌△CBE(AAS). .OB=OA.OD=OD ②由①，得△ACD≌△CBE ∴.△OBD≌△OAD(SAS) ..AD=CE,CD=BE. ∴.∠BDO=∠ADO,即DP平分∠ADB. .DE=CE+CD,..AD+BE=DE ,PM⊥BD,PN⊥AD, (2)不成立.AD-BE=DE. ∴.PM=PN 5.(1)证明：如图，延长AD至点E,使DE=AD, 6.证明：，点O在∠BAC的平分线上，BD⊥AC, 连接BE. CE⊥AB, ∴.∠BEO=∠CDO=90°，OE=OD. 在△BEO和△CDO中， ∠BEO=∠CDO=90°， OE=OD. ∠EOB=∠DOC, ∴.△BEO≌△CDO(ASA), ∴.OB=OC 能力提升练 7.A8.C 9.40°10.311.3cm 38