第五单元平行四边形和梯形（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

第五单元平行四边形和梯形（单元讲义） 四年级上册数学人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 1.平行与垂直 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两条直线互相平行。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两条直线的交点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫点到直线的距离。 平行线间的距离处处相等 2.画垂线、画平行线（过直线上一点或过直线外一点） （1）重合（2）平移（3）画线（垂线标垂直符号） 画长方形或正方形（标长度、标垂直符号） 3.平行四边形：两组对边分别平行的四边形。特征：对边平行且相等，对角相等 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 高：画高用虚线，底边的垂足画垂直符号。 平行四边形有无数条高，有两种长度的高。具有不稳定性，易变形。 长方形和正方形是特殊的平行四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形。 平行的一组对边叫做底。短边叫上底，长边叫做下底；不平行的一组对边叫做腰。梯形有无数条高，只有一种长度的高。 等腰梯形（两腰相等）和直角梯形（有两个角是直角）是特殊的梯形。 精讲例题 【例题一】．量出下面图形中∠1、∠2的度数，写出互相平行和互相垂直的线段． 【答案】．（1）经测量：∠1=40°，2=140°； （2）AB和CD互相平行；AB和AC互相垂直，AC和CD也互相垂直 【详解】试题分析：（1）先把量角器放在角的上面，使量角器的中心和角的顶点重合，零度刻度线和角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数． （2）根据在同一平面内，永不相交的两条直线互相平行；相交成直角的两条直线叫做互相垂直；据此解答即可． 解：（1）经测量：∠1=40°，2=140°； （2）AB和CD互相平行；AB和AC互相垂直，AC和CD也互相垂直． 点评：（1）此题主要是考查根据角的度量方法正确量出各角度数． （2）此题考查了垂直和平行的特征和性质，根据意义判断即可． 【例题二】．把下面的平行四边形画完整，并画出它的一条高． 【答案】． 【详解】试题分析：（1）把三角板的一条直角边与已知线段BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段BC重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知线段AC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知线段AC重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可． 上述画出的两条平行线相交与点D，则四边形ABCD就是要求的平行四边形． 解：如图所示： ， 红色线段为平行四边形的两条边，蓝色虚线是平行四边形的高． 点评：平行四边形的特征是对边平行且相等，本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线和作平行线的能力． 【例题三】．找出图形中的平行线。 【答案】．见详解 【分析】平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行；据此解答。 【详解】如图所示： 在长方形中，对边互相平行，a∥b，c∥d，所以在长方形中有两组平行线； 在正方形中，相对的边互相平行，a∥b，c∥d，所以在正方形中有两组平行线。 【点睛】此题考查了平行的特征及性质。 【例题四】．用画平行线与垂线的方法画一个长4厘米，宽2厘米的长方形． 【答案】． 【详解】试题分析：根据长方形特征，长方形的对边相等，四个角都是直角．用平行线的画法：先用三角板画一条2厘米的线段，三角板不动，再用另一三角板的一直角边靠着这块三角板，另一条边上下滑动，在2厘米线段的两个端点分别画两条4厘米的线段，再连接这两条线段的另外两点，即可画出一个长为4厘米，宽为2厘米的长方形． 解：根据分析画图如下： 故答案为 点评：本题是考查指定长和宽画长方形，要根据长方形的特点及用三角板画平行线和直角的方法画． 专项练习 1．在方格图中再画两个形状、大小与已知平行四边形不同的平行四边形． 2．数数下图有多少个平行四边形？有多少个梯形？ 3．过O点分别画出已知直线AB的垂线和平行线． 4．（1）画出图中图形的高． （2）过A点作已知直线的平行线和垂线． 5．过A点和B点分别画下面直线的垂线，观察你画的两条直线是否平行？ 6．在下面画出一个平行四边形，并作出平行四边形底边上的高，以刚才做高的底为底，你还能再画一条高吗？可以做多少条高？这些高的长度相等吗？为什么？ 7．如图，网格中的每个小方块是正方形 （1）经过A点画出与直线m平行的直线； （2）经过B点画出与直线m垂直的直线． 8．我会画：长方形、正方形、平行四边形． 9．（1）画一个50度的角． （2）过A点画已知直线的平行线和垂线． 10．在下图中，，（    ）⊥（    ），在线段AB、AC、AD、AE中，线段（    ）最短。过E点画一条线段EF，使得EF＝AD。 11．公园里有一个花坛的形状是平行四边形，它的周长是38米，其中一条边长为4米，其余三条边的长分别是多少米？ 12．如图，一块梯形草坪的下底是上底的3倍，如果上底增加24米，就成了一个平行四边形草坪。梯形草坪的上、下底分别是多少米？ 13．一块钢板是一个等腰梯形，它的上底是36厘米，下底是70厘米，周长是2米。这个等腰梯形的一条腰长是多少厘米？ 14．下图是（    ）梯形；画出图中的一条高；量出上底、下底和高的长度，在图中注明；并画集合圈表示出四边形、平行四边形、梯形、长方形四者之间的关系。 15．用一根长50厘米的铁丝围成一个等腰梯形，量得上底长8厘米，下底长18厘米。求它的腰长？ 16．分别过下面三角形的三个顶点向各自的对边作垂线，并说一说你发现了什么？ 我发现了：__________________ 17．杏花村打算修一条小路与主干道相连，如何修最短？请你画下来，并简要说明理由。 理由：____________________________________________ 18． （1）量一量，图中∠B＝（    ）°。 （2）在图中找一个点D，使四边形ABCD是一个梯形，请你画出这个梯形。 （3）以线段BC为底，画出这个梯形的高。 19．一个平行四边形相邻两条边的长分别是15厘米、13厘米．这个平行四边形的周长是多少？ 20．（1）量一量，下图梯形中最大的角是（    ）°，这是一个（    ）角。 （2）画一画，过点A画出梯形的高。 21．如图，四边形 ABCD 是平行四边形． (1)AD∥(　　)，DC∥(　　)． (2)量一量，∠1＝(　　　)°，∠1 是一个(　　)角． (3)过点O画出平行四边形 ABCD 两条不同的高． 22．一头牛去河边喝水，它怎么走才能尽快喝到水呢？在图中标出路线，并说明理由． 23．下图是街心花园平面图中一个四边形运动场地，你知道它的内角和是多少度吗？结合三角形内角和的研究方法，请你画一画，算一算，写出你的研究过程。 24．技术员叔叔想把一块平行四边形试验田用栅栏围上，防止小鸡进去破坏。一共要围多少米栅栏？ 25． 一个等腰梯形的周长是42分米，它的上底长12分米，下底长20分米，一条腰长多少分米？ 26．如图。 （1）如果线段AD和线段CE相等，那么直线a和直线b之间是什么关系？ （2）线段BF和直线b之间是什么关系？ 27．一室外停车场对停车位进行合理规划，采用倾斜式停车，车位对边互相平行。（如图所示）。 （1）量一量，∠1＝（    ）° （2）请你在图上画出线段AB的垂线。 （3）请在图中照样子接着画出车位4的示意图。 28．已知：直线L和L外一点P，过 P点作L的垂线和平行线． 29．如图，哪两条路是互相平行的，哪两条路是互相垂直的？ 30．在一个等腰梯形的花坛周围围栏杆，栏杆长42米，这个梯形的上底是12米，下底是16米，这个等腰梯形的腰长多少米？ 31．过C点分别向AB作一条垂线和一条平行线． 32．下面的图形中有几个梯形？把它们写出来． 如：梯形ABFE、 33．（1）在下图的梯形中画一条线段，使分成的图形中有一个是平行四边形。 （2）画出梯形的一条高；画出平行四边形的一条高，使它与AB垂直。 （3）这两条高的长度有什么关系？（    ）。 34．如图小方格的边长是1cm。 （1）找到点D，与图上点A、B、C构成平行四边形ABCD，并连接AD与CD；过点B画平行四边形AD边上的高，并标上垂足E和垂直符号。 （2）如果将点B向右平移（    ）格，则四边形ABCD就变成了直角梯形；如果将点D向左平移（    ）格，则四边形ABCD就变成了等腰梯形。 35．过B点画出角两边的平行线． 参考答案： 1． 【详解】试题分析：根据平行四边形的特征：对边平行且相等，画出两个形状、大小与已知平行四边形不同的平行四边形即可． 解： 点评：此题主要考查的是平行四边形的画法． 2．6个平行四边形；4个梯形 【分析】根据平行四边形和梯形的定义，平行四边形对边平行且相等，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此解答。 【详解】平行四边形单个的有4个，2个平行四边形组成的平行四边形有2个，则2＋4＝6（个） 整个图形是一个梯形，中间被分开的有两个梯形，从对面看还有一个梯形，则梯形有4个。 答：图中有6个平行四边形，有4个梯形。 【点睛】此题解答的关键是要认真观察，有条理、有顺序的进行数，做到不重复，不遗漏。 3． 【详解】试题分析：（1）用三角板的一条直角边的已知直线AB重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和O点重合，过O沿直角边向已知直线画直线即是过O点的AB的垂线， （2）把三角板的一条直角边与已知直线AB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线AB重合的直角边和O点重合，过点沿三角板的直角边画直线即是过O点AB的平行线． 解：根据分析画图如下： 点评：本题主要考查了学生画平行线和垂线的能力． 4．（1） （2） 【详解】试题分析：（1）从梯形的顶点向底边引垂线，点到垂足之间的线段叫做梯形的高，从平行四边形的一个顶点向对边引垂线，点到垂足之的线段叫做平行四边形的高．根据高的定义可画出高． （2）①把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． ②把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 解：（1） （2） 点评：本题考查了学生对梯形和平行四边形高的作法，以及画平行线和垂线的能力． 5．      观察图形可知，两条直线互相平行． 【详解】略 6．画图见详解；能；无数；相等；因为两平行线之间的所有垂线段都相等； 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；两平行线之间的所有垂线段都相等，依此画图并解答。 【详解】 如图所示，以刚才做高的底为底，还能再画一条高，一共可以做无数条高，这些高的长度相等，因为两平行线之间的所有垂线段都相等。 【点睛】此题考查的是画平行四边形、作平行四边形的高，以及平行线之间的距离，应熟练掌握。 7． 【详解】试题分析：（1）先把直尺与已知直线m重合，然后将直尺向直线m外那一点A平移，直到与直线外那一点A重合，再沿直尺过A点作一条直线即可，从而作出已知直线m的平行线． （2）用三角板的一条直角边与已知直线m重合，沿重合的直线m平移三角板，使三角板的另一条直角边和B点重合，过B沿直角边向已知直线m画直线即可． 解：据分析画图如下： ． 点评：此题主要考查过直线外一点做已知直线的平行线和垂线的作法． 8． 【详解】试题分析：平行四边形是两组对边分别平行的四边形；四个角都为直角的平行四边形是长方形；四条边都相等的长方形是正方形；据此画出即可． 解：如图就是要画的图形（答案不唯一）： 点评：本题考查了长方形、正方形、平行四边形的性质及画法，注意要沿着格子画． 9． 【详解】试题分析：（1）①画一条射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线（两重合）； ②对准量角器50°的刻度线点一个点（找点）； ③把点和射线端点连接，然后标出角的度数； （2）①用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． ②把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 解：根据题干分析画图如下： 点评：此题考查了画指定度数的角和平行线与垂线的画法． 10．AD；BE；AD 【分析】（1）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。据此可知，图中AD⊥BE。 （2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，过A点到的4条线段中，线段AD最短。 （3）两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离。平行线之间的距离处处相等。据此可知，要使EF＝AD，则过E点向作垂线，这条垂线即为所求的线段EF。 【详解】在下图中，，AD⊥BE，在线段AB、AC、AD、AE中，线段AD最短。过E点画一条线段EF，使得EF＝AD。如下图所示： 【点睛】本题考查垂直和平行的性质。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。这个性质常用于解决最短路线问题。平行线之间的距离处处相等 11．15米、4米、15米 【分析】平行四边形的对边平行且相等，因此其余三条边有一条边是4米，则用38米减去2个4米后，再除以2即可得到与4米相邻的边的长度，依此计算并解答即可。 【详解】38－4－4＝30（米） 30÷2＝15（米） 答：其余三条边的长分别是15米、4米、15米。 【点睛】熟练掌握平行四边形的特点，是解答此题的关键。 12．上底：12米  下底：36米 【详解】上底：24÷（3－1）＝12（米）    下底：12×3＝36（米）    提示：增加24米变成平行四边形，24米是上底的倍 13．47厘米 【分析】1米＝100厘米，根据进率统计单位；等腰梯形的两腰相等；再计算一条腰长＝（周长－上底－下底）÷2；据此解答。 【详解】2×100＝200（厘米） （200－36－70）÷2 ＝94÷2 ＝47（厘米） 答：这个等腰梯形的一条腰长是47厘米。 【点睛】掌握等腰梯形的概念，以及等腰梯形周长的计算方法是解答本题的关键。 14．见详解 【分析】（1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形。据此可知，这个图形是等腰梯形。 （2）互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。用直尺量出上底、下底和高的长度。 （3）正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。平行四边形和梯形均属于四边形。据此画图即可。 【详解】图形是等腰梯形梯形。 【点睛】熟练掌握梯形的定义以及梯形高的画法，注意梯形的高有无数条。熟练掌握四边形的分类及关系，注意梯形不属于平行四边形，平行四边形也不属于梯形，平行四边形和梯形均属于四边形。 15．12厘米 【分析】用这根铁丝围成一个等腰梯形，等腰梯形的周长等于铁丝长度。等腰梯形中，两条腰相等。用铁丝长度减去上底，再减去下底，即可求出两条腰的长度和。再除以2，即可求出腰长。 【详解】（50－8－18）÷2 ＝24÷2 ＝12（厘米） 答：它的腰长12厘米。 【点睛】等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰，灵活运用等腰梯形的周长公式解决问题。 16．图见详解；三条垂线相交于一点 【分析】过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与三角形的一条边长重合；沿着直线移动三角尺，使重合边长对面的顶点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。作图后写出发现即可。 【详解】 如图： 我发现了：三条垂线相交于一点。 17．画图见详解 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从杏花村向主干道斜边作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】 理由：从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短。 18．（1）60；（2）见详解；（3）见详解 【分析】（1）角的度量方法：量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）在A点所在横线右边2个格子位置取一点D，连接AD、DC即可得到一个梯形。 （3）从A点作BC的垂线段即为梯形的高。 【详解】（1）经测量，∠B＝60°。 （2）（3）见下图： 【点睛】本题主要考查了角的度量和画梯形及梯形高的方法。 19．56厘米 【解析】略 20．（1）140，钝； （2）见详解 【分析】（1）量角器的中心和角的顶点重合，量角器的0刻度线和角的一条边重合，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈；然后根据角的分类判断是什么角即可； （2）高是指梯形上下底的距离，在梯形的上底的任取一个端点作垂直于下底的线段，称为作高，注意高要用虚线画，且要标明垂足，据此解答。 【详解】（1）下图梯形中最大的角是（140）°，这是一个（钝）角。 （2）如图所示： 【点睛】本题考查了角的度量方法及梯形高的画法，熟练掌握并正确作图是解答本题的关键。 21．(1)BC    AB     (2)115  钝 (3) 【解析】略 22． 两点之间垂线段最短 【解析】略 23．360度 【分析】连接四边形的1条对角线，可把四边形分成两个三角形；根据三角形的内角和定理，三角形内角和是180°，所以任意四边形的内角和180°×2＝360°。 【详解】如图： 因为三角形内角和180°，所以任意四边形的内角和180°×2＝360°。 答：四边形的内角和是360度。 【点睛】先把四边形分成2个三角形，再根据三角形的内角和定理解答。 24．44米 【分析】根据给出的平行四边形的两条边，四边形总共的长度就是两条边和的2倍。 【详解】 答：一共要围44米栅栏。 【点睛】此题考查平行四边形的周长，相邻两边和的2倍。熟练掌握并灵活应用。 25．5分米 【分析】等腰梯形的两条腰相等，用梯形的周长减去下底与上底的长度，再除以2即可得一条腰长多少分米。 【详解】（42－12－20）÷2 ＝（30－20）÷2 ＝10÷2 ＝5（分米） 答：一条腰长5分米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等腰梯形的特征，以及梯形周长公式的灵活运用。 26．（1）平行关系 （2）相交关系 【分析】根据与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等；进而解答即可。 【详解】由图可得： （1）线段AD垂直直线b，线段CE垂直直线b，又因为线段AD和线段CE相等， 所以：直线a平行直线b。 即直线a和直线b是平行关系。 （2）线段BF和直线b是相交关系。 【点睛】本题解题关键是同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交。 27．（1）60； （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上（与0度刻度线同一圈）所显示的刻度就是被量角的度数。 （2）将三角尺的一条直角边与AB重合，沿着三角尺的另一条直角边画线，即可画出线段AB的垂线。 （3）在线段AB所在的直线（n）上截取AC＝AB，根据平行四边形的特征，过点C作AD的平行线交m于E点，四边形ACDE就是所画的一个停车位。（画法不唯一） 【详解】（1）通过用量角器量一量，发现角的另一条边与量角器的60°刻度线重合，所以∠1＝60°。 （2）（3）作图如下： 28． 【详解】试题分析：（1）用三角板的一条直角边的直线L重合，沿重合的直线L平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与直线L重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和直线L重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可． 解：根据分析画图如下： 点评：本题考查了学生画平行线和垂线的能力． 29．体育场路和凤起路，凤起路和庆春路，新华路和建国北路，体育场路和健康路，西健康路和东健康路互相平行； 体育场路、凤起路、庆春路分别和新华路、建国北路、西健康路、东健康路互相垂直 【详解】试题分析：根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答． 解：据分析可知： 体育场路和凤起路，凤起路和庆春路，新华路和建国北路，体育场路和健康路，西健康路和东健康路互相平行； 体育场路、凤起路、庆春路分别和新华路、建国北路、西健康路、东健康路互相垂直． 点评：此题考查了平行和垂直的定义，注意基础知识的积累． 30．7米 【详解】(42－12－16)÷2＝7(米) 31．，红色的直线是直线AB的平行线，绿色直线是直线AB的垂线 【详解】试题分析：（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和C点重合，过C点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． 解：如图所示：，红色的直线是直线AB的平行线，绿色直线是直线AB的垂线． 点评：本题主要考查了学生画平行线和垂线的能力． 32．梯形BFGC、梯形CGHD、梯形AEHD 【详解】略 33．（1）见详解； （2）见详解； （3）相等 【分析】（1）过B点画BE平行于AD，则四边形ABED是平行四边形（画法不唯一）； （2）分别过A、B作DC的垂线AF和BG，AF和BG就是平行四边形和梯形的高； （3）根据平行线之间的距离处处相等判断即可。 【详解】（1）（2）画图如下： （3）这两条高的长度相等。 【点睛】本题考查了平行四边形和梯形的高的画法，以及平行线的特点。 34．（1）见详解 （2）2；4 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等且平行，从C点出发向左找到与AB边相等的格子数即可画出平行四边形；根据平行四边形的高的意义，从顶点B作它对边AD的垂线段，这条垂线段就叫高，据此画出即可； （2）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两条腰相等的梯形叫做等腰梯形，据此特征解答。 【详解】（1）画图如下： （2）如果将B点右平移2格，则四边形ABCD就变成了直角梯形；如果将D点向左平移4格，则四边形ABCD就变成了等腰梯形。 【点睛】本题考查了平行四边形、直角梯形和等腰梯形的特征。 35． 【详解】试题分析：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和B点重合，过B点沿三角板的直角边画直线即可． 解：由分析画图如下： 点评：本题考查了学生画平行线的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$