精品解析：山西省晋城市城区晋城市第二中学校2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

晋城二中高一第二学期第一次月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 3. 设a，b都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 设平面向量、满足，，，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 设复数，是其共轭复数，若，则实数（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 10. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是（ ） A. 若，则与不是共线向量 B. C. 若，且，则 D. 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 12. 在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B 若，则 C. 若，则一定是钝角三角形 D 若，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 14. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝________. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形． 16. 设为的内心，，，，则______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求值． 18. 如图，在四边形中，，，，且，. （1）求实数的值； （2）若，是线段上的动点，且，求的最小值. 19. 在中，，，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，，求的面积． 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，求周长的最大值． 21. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； 22. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 晋城二中高一第二学期第一次月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得结果. 【详解】因为，因此，. 故选：B 2. 函数的零点一定位于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理即可判定函数的零点所在区间. 【详解】因为， 所以，， 又在上连续不间断，且单调增， 所以的零点一定位于区间， 故选：B. 3. 设a，b都是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】取，可判断充分性，取可判断必要性，分析即得解. 【详解】当，满足，但，所以充分性不成立； 若，则．但不满足，必要性不成立． 因此“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D 4. 已知，满足：，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对两边平方化简求出的值，从而可求出的值 【详解】解：因为，，，， 所以，，得 ， 所以， 故选：D 5. 欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模. 【详解】由题设，. 故选：B 6. 设平面向量、满足，，，则在方向上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直建立等式可求出，进而可求出向量在方向上的投影向量. 【详解】因为，，，则， 所以，， 所以，在方向上的投影向量为， 故选：D. 7. 设复数，是其共轭复数，若，则实数（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数，写出其共轭复数．代入即可解出． 【详解】解: 或 所以 【点睛】本题主要考查了复数与共轭复数之间的关系，利用两个式子相等，对应关系相等，属于基础题． 8. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB=5，BD=6，AC=4，AD=3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得，再根据平方关系可求. 【详解】由题意，在中，由余弦定理， ； 因为，所以， 在中，由正弦定理所以， 解得 由题意，因为为锐角，所以 故选：D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算，复数的定义，复数模的三角不等式及共轭复数的定义，计算求解后判断即得． 【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误； 对于B，， 因为，所以，从而，所以正确； 对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：BCD． 10. 对于任意的平面向量，下列说法错误的是（ ） A. 若，则与不是共线向量 B. C. 若，且，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据数量积的运算律即可判断B；举反例即可判断C；根据数量积的定义即可判断D. 【详解】对于A，当时，，但是共线向量，故A错误； 对于B，根据数量积的分配律得，故B正确； 对于C，若，且，则， 不妨取，此时，故C错误； 对于D，表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量， 而向量的方向不确定，所以无法确定与是否相等，故D错误. 故选：ACD. 11. 设正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，，，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，，，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：ABD. 12. 在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ） A. ，，则的外接圆半径是4 B. 若，则 C. 若，则一定是钝角三角形 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D. 【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误； 由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确； 因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确； 若，显然，故D错误. 故选：BC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 13. 已知幂函数的图象过点，则 ____________ 【答案】3 【解析】 【分析】设出函数解析式，由已知点求得参数值得解析式，然后代入计算． 【详解】设，则，，即， ∴． 故答案为：3. 14. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，F为直径BC上一点，且＝2，则·＝________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量三角形法则将转化为即可求解. 【详解】由题意知，，且. 又由知，， 所以 故答案为：. 15. 在中，内角，，所对的边分别是，，，若，则是______三角形． 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】由已知式运用余弦定理将其化成，利用正弦定理，得到，即得或，即可确定三角形形状. 【详解】由余弦定理，，则，同理可得，， 由可得，化简得，, 由正弦定理得，则, 而， 则得或，即或， 故是等腰三角形或直角三角形. 故答案：等腰三角形或直角三角形. 16. 设为的内心，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形和条件，推得，利用三角形等面积求得的内切圆半径，继而得出，最后利用向量的线性运算求出即得. 【详解】 如图，因，,为的内心，延长交于点，则, 于是，,，设的内切圆半径为， 则，解得，即,因,故, 于是，,则，即. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行得出，进而由模长公式的得出的值； （2）根据向量垂直的坐标表示得出的值． 【小问1详解】 由得，∴，∴ 【小问2详解】 由已知， 又，∴，解得 18. 如图，在四边形中，，，，且，. （1）求实数的值； （2）若，是线段上的动点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）根据和向量的数量积定义求解即可； （2）方法1，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，用表示出，根据二次函数的性质得出最小值；方法2：由向量的线性运算表示出，求出的最小值即可得出答案. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∵， 又， ∴， ∴. 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为， 则，，， （方法1）以原点，以，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，则， 设，，， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值11. （方法2）设线段的中点为，则 当于点时，， 所以的最小值为. 19. 在中，，，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求得； （2）由向量的数量积等于0列出方程，可求得角，利用三角函数的定义求得边，最后运用三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由余弦定理，，因，则； 小问2详解】 由， 因，则， 因，且，则，故， 因，则， 则的面积为. 20. 在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，证明：； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合题设可得，再利用正弦定理边化角，即可证明结论； （2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周长的最大值. 【小问1详解】 证明：由余弦定理知和， 得， 又，则， 结合正弦定理得， ； 【小问2详解】 由（1）知，又， 故，即， ，所以， 则，故，当且仅当，即时取等号， 故，即周长的最大值为6. 21. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得到，根据周期公式即可得到答案； （2）根据整体法列出不等式解出即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 令， 解得， 可得函数的单调递减区间为, 22. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式； （2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围． 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 所以， 所以， 可得，函数. （2）由（1）知 所以在上单调递减. 由，得， 因为函数是奇函数， 所以， 所以，整理得， 设，， 则， 当时，有最大值，最大值为. 所以，即. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$