19.3 二次函数的性质（ 性质与最值 2大题型提分练）数学北京版九年级上册

19.3二次函数的性质 同步练习 题型一 二次函数的性质 1．已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，则下列说法正确的是（　　） A．y有最小值1 B．y有最小值3 C．y有最大值1 D．y有最大值3 2．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 3．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，0） C．（3，0） D．（0，﹣4） 4．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+6x（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣5，最大值为4，则m的取值范围是（　　） A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3 5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②若OC＝OB，则c＝2； ③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0； ④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中真命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为 　 　． 7．二次函数y＝5x2﹣2x的图象的对称轴是 　 　． 8．抛物线y＝（x+3）2的对称轴是直线　 　． 9．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 题型二 二次函数的最值 11．若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 12．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 13．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是（　　） A．7 B．4 C．6 D．3 14．已知抛物线y＝（a﹣1）x2+a﹣1的最高点为（0，3），则a＝　 　． 15．已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 1．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A． B． C． D．1 2．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝13时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　） A．5 B． C．8 D．12 3．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 4．请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 　 　． 6．已知二次函数y＝x2+2bx+c （1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.3二次函数的性质 同步练习 题型一 二次函数的性质 1．已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，则下列说法正确的是（　　） A．y有最小值1 B．y有最小值3 C．y有最大值1 D．y有最大值3 【分析】根据二次函数的性质即可判定． 【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3， ∵a＝1＞0，顶点坐标为（1，3）， ∴当x＝1时，y有最小值是3． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求二次函数的最值． 2．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据开口方向、形状与函数的图象相同，可知所求抛物线的二次项系数为，再根据顶点（﹣5，﹣1），即可写出相应的函数解析式． 【详解】解：顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是y（x+5）2﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是根据题目中的条件，可以写出相应的函数解析式． 3．若点M在抛物线y＝（x+3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　） A．（3，﹣4） B．（﹣3，0） C．（3，0） D．（0，﹣4） 【分析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案． 【详解】解： ∵y＝（x+3）2﹣4， ∴抛物线对称轴为x＝﹣3， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点M的横坐标为﹣3， 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h． 4．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+6x（a≠0）的图象上有且只有一个完美点，且当0≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣5，最大值为4，则m的取值范围是（　　） A．1≤m≤3 B．3≤m≤5 C．3≤m≤6 D．m≥3 【分析】根据二次函数y＝ax2+6x（a≠0）的图象上有且只有一个完美点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+6x（a≠0）的图象上有且只有一个完美点， 设完美点的坐标为（n，n）， ∴方程n＝an2+6n即an2+5n0有两个相等的实数根， ∴Δ＝52﹣4a×（）＝0， ∴a＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+6x﹣5的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴当x＝3时，函数有最大值为4， 又∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣5， 令﹣x2+6x﹣5＝﹣5， 则x＝0或6， ∴要使函数最小值为﹣5，最大值为4， 则3≤m≤6， 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①抛物线的对称轴是直线x＝1； ②若OC＝OB，则c＝2； ③若M（x0，y0）是x轴上方抛物线上一点，则（x0﹣a）（x0﹣b）＜0； ④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中真命题个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线x1，本说法是真命题； ②当x＝0时，y＝c+1，即点C的坐标为（0，c+1）， ∴OC＝c+1， 当OB＝OC＝c+1时，点B的坐标为（c+1，0）， ∴0＝﹣（c+1）2+2（c+1）+c+1， 解得，c1＝﹣1（舍去），c2＝2，本说法是真命题； ③抛物线y＝﹣x2+2x+c+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0）， ∴x0＞a，x0＜b， ∴（x0﹣a）（x0﹣b）＜0，本说法是真命题； ④因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，本说法是真命题； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的顶点坐标为 　（2，1）　． 【分析】根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+1， ∴该抛物线的顶点坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以写出顶点坐标． 7．二次函数y＝5x2﹣2x的图象的对称轴是 　直线x　． 【分析】利用二次函数的对称轴公式x可求对称轴． 【详解】解：∵二次函数y＝5x2﹣2x， ∴a＝5，b＝﹣2， ∴由对称轴公式可知，对称轴是直线x． 故答案为：直线x． 【点评】本题主要考查了求抛物线的对称轴的方法，难度不大，关键是掌握求对称轴的公式． 8．抛物线y＝（x+3）2的对称轴是直线　x＝﹣3　． 【分析】此题直接利用抛物线顶点式的特殊形式即可求得对称轴 【详解】解：∵y＝（x+3）2 ∴其对称轴为直线x＝﹣3 故答案为：x＝﹣3． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质，顶点式是解题的关键． 9．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+3． （1）求开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x增大而减小，当x为何值时，y随x增大而增大． 【分析】（1）根据二次函数的性质进行解答即可； （2）根据对称轴的开口方向朝下，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而增大减小进行解答即可． 【详解】解：（1）y＝﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5， ∵﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线x＝1，顶点坐标为：（1，5）； （2）∵抛物线的开口向下， ∴x＞1时，y随x增大而减小，x＜1时，y随x增大而增大． 【点评】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+2（a＜0）与y轴交于点A． （1）求点A的坐标及抛物线的对称轴； （2）当0≤x≤3时，y的最大值是3，求当0≤x≤3时，y的最小值； （3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值的范围． 【分析】（1）令x＝0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴； （2）0≤x≤3时，y的最大值是3，可知抛物线开口向下，且对称轴x＝1，故最大值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向小时，离对称轴越远，函数值越小，可知x＝3时函数取最小值，即可得到答案； （3）根据题意列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：（1）令x＝0得y＝2， ∴A（0，2）， ∵y＝ax2﹣2ax+2＝a（x﹣1）2+2﹣a， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝1； （2）由a＜0可知抛物线开口向下， ∵对称轴是直线x＝1，当0≤x≤3时，y的最大值是3， ∴最大值在顶点处取得， ∴2﹣a＝3，解得a＝﹣1， ∴二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+2， ∵抛物线开口向下时，离对称轴越远，函数值越小， ∴当x＝3时，y有最小值，y＝﹣32+2×3+2＝﹣1； （3）∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，y1≠y2， ∴P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴x＝1对称， ∴x1+x2≠2恒成立，即x1+x2＞2成立或x1+x2＜2成立， ∴t+（t+2）≥2或（t+1）+（t+3）≤2， 解得t≥0或t≤﹣1． ∴t的取值的范围t≥0或t≤﹣1． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数性质列不等式． 题型二 二次函数的最值 11．若二次函数y＝x2﹣3x﹣m的最小值是非负数，则实数m取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由y＝x2﹣3x﹣m＝（x）2m，可得当x时，y取最小值为m，再结合最小值是非负数，可得m≥0，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵y＝x2﹣3x﹣m＝（x）2m， ∴当x时，y取最小值为m． ∵最小值是非负数， ∴m≥0． ∴m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 12．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．已知实数a，b满足b﹣a＝1且b≥4，则代数式a2﹣4b+11的最小值是（　　） A．7 B．4 C．6 D．3 【分析】根据题意用含b的代数式表示a，将代数式转化为只含b的代数式，配方后，求最值即可． 【详解】解：∵b﹣a＝1， ∴a＝b﹣1， ∴a2﹣4b+11＝（b﹣1）2﹣4b+11 ＝b2﹣2b+1﹣4b+11 ＝b2﹣6b+12 ＝（b﹣3）2+3； ∵b≥4， ∴当b＝4时，（b﹣3）2+3的值最小为4； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数求最值，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．已知抛物线y＝（a﹣1）x2+a﹣1的最高点为（0，3），则a＝　4　． 【分析】把（0，3）代入y＝（a﹣1）x2+a﹣1即可求出的a值． 【详解】解：把（0，3）代入y＝（a﹣1）x2+a﹣1得，a﹣1＝3， ∴a＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的特征，掌握函数图象上点的性质是解题的关键． 15．已知y＝x2﹣4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值． 【分析】求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得． 【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴对称轴为直线x＝2， 当x＝2时，取得最小值为﹣1， ①当m+2＜2时，即m＜0时， x＝m+2时，最小值是， ∴（m+2﹣2）2﹣1＝m2﹣1， ∴或舍去）， ②当m＞2时， 当x＝m时，最小值取， ∴（m﹣2）2﹣1， ∴或 （舍去）， 综上所述，或． 【点评】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是分类讨论． 1．设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　） A． B． C． D．1 【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大． 【详解】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F， 设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2， 则AE＝a2，BF＝b2， 作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D， 设点D（0，m）， ∵DG∥BH， ∴△ADG∽△ABH， ∴，即． 化简得：m＝ab． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOE+∠BOF＝90°， 又∠AOE+∠EAO＝90°， ∴∠BOF＝∠EAO， 又∠AEO＝∠BFO＝90°， ∴△AEO∽△OFB． ∴， 即， 化简得ab＝1． 则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）． ∵∠DCO＝90°，DO＝1， ∴点C是在以DO为直径的圆上运动， ∴当点C到y轴距离为时，点C到y轴的距离最大． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数结合动点问题背景下的最值求法，涉及相似三角形，圆周角定理，此题难度较大，关键是要找出点D为定点，确定出点C的轨迹为一段优弧，再求最值． 2．如图，已知点A（10，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝13时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　） A．5 B． C．8 D．12 【分析】首先利用勾股定理得到DE＝12，然后利用抛物线的对称性及相似三角形的判定和性质得到和，两个式子相加得出结果． 【详解】解：分别过点B、D、C作BF⊥AO于点F，DE⊥AO于点E，CM⊥AO于点M， ∵DA＝DO＝13， ∴， ∴， 设OF＝m，AM＝n，则PF＝OF＝m，MP＝AM＝n， ∵OF+FP+PM+AM＝OA＝10，即2m+2n＝10， ∴m+n＝5， ∵BF∥DE， ∴△OBF∽△ODE， ∴， 即①， 同理②， ①+②得：， ∴BF+CM＝12， 故选：D． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、抛物线的对称性以及相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到比例式是解决问题的关键． 3．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“方形点”，例如：点（1，﹣1）， ，，都是“方形点”． 下列结论： ①直线y＝﹣5x+3上存在“方形点”； ②抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”之间的距离是； ③若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤4； 其中，正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【分析】令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3，求出x、y的值即可判断①；令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，求出x、y的两对值，再结合勾股定理求出这两点之间的距离，即可判断②；把（2，﹣2）代入y＝ax2+3x+c，求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，得出y＝﹣x2+3x﹣4，化为顶点式，可得出该二次函数的最值，再根据当y＝﹣8时，求出x的值即可判断③． 【详解】解：①令y＝﹣x，则﹣x＝﹣5x+3， 解得，x， ∴y，即点（，）在直线y＝﹣5x+3上， 故①正确； ②令y＝﹣x，则﹣x＝x2+x﹣3，解得x1＝﹣3，x2＝1， ∴当x＝﹣3，时y＝3；当x＝1，时y＝﹣1 ∴抛物线y＝x2+x﹣3上的2个“方形点”为（﹣3，3），（1，﹣1）， ∴点（﹣3，3）与（1，﹣1）之间的距离4； 故②正确； ③∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“方形点”． ∴﹣2＝4a+6+c， ∴c＝﹣4a﹣8， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“方形点”． ∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根， ∴Δ＝16﹣4ac＝0， ∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0， 解得，a＝﹣1， c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4 ∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x）2， 二次函数图象的对称轴为直线x，函数的最大值为， 当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8， 解得，x1＝﹣1，x2＝4， 当m≤4时，函数的最大值为，最小值为﹣8． 故③不正确， 故选：B． 【点评】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一元二次方程根与系数的关系等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“方形点”，结合Δ＝b2﹣4ac求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 4．请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线：　y＝x2+x﹣1（答案不唯一）　． 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，0，b2﹣4ac＞0即可． 【详解】解：开口向上，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴的抛物线可以是y＝x2+x﹣1． 故答案为：y＝x2+x﹣1（答案不唯一）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 　﹣3＜t＜0或t＞1　． 【分析】分四种情况：当点P在x轴的下边，y轴的左侧时，当点P在x轴的上边，y轴左边时，当点P在BB′上方时，当点P在BB′下方，y轴右边时，分别画出图象，结合图象即可求得答案． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，B（0，3a）， ∴点B的对称点为B′（﹣2，3a）， 令y＝0，得﹣ax2﹣2ax+3a＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴C（﹣3，0），A（1，0）， 根据题意可知，需要分类讨论： 当点P在x轴的下边，如图1，不合题意 当点P在x轴的上边，y轴左边时，抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图2， 此时﹣2＜t＜0； 当点P在BB′上方，y轴右边时，如图3，不合题意； 当点P在BB′下方，y轴右边时，如图4，抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， 此时t＞1； 综上所述，当抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，﹣2＜t＜0或t＞1． 故答案为：﹣2＜t＜0或t＞1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 6．已知二次函数y＝x2+2bx+c （1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由； （2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值． 【分析】（1）令y＝1，判断所得方程的判别式大于0即可求解； （2）求得函数的对称轴是直线x＝﹣b，然后分成﹣b≤﹣2，﹣2＜﹣b＜2和﹣b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是﹣3，即可解方程求解． 【详解】解：（1）由y＝1得 x2+2bx+c＝1， ∴x2+2bx+c﹣1＝0 ∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0， 则存在两个实数，使得相应的y＝1； （2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b， ①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3； ②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时 ﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b，不合题意，舍去， ③当﹣2＜﹣b＜2时，则3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1（不合题意，舍去），b2． 综上：b＝3或． 【点评】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$