第三章 位置与坐标 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） -2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第三章 位置与坐标 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 要点： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 三、坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 要点：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 四、关于坐标轴对称点的坐标特征 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)． 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 03 题型归纳 题型一 确定位置及其路径 1．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（    ） A．3号楼2单元5楼1号 B．黄海路8号 C．北偏西 D．东经，北纬 巩固训练 2．一个学生方队，B的位置是第8列第7行，记为(8，7)，则学生A在第二列第三行的位置可以表示为(      ) A．(2，1) B．(3，3) C．(2，3) D．(3，2) 3．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 题型二 判断点所在的象限 4．点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 巩固训练 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标可能是（　　）    A． B． C． D． 6．如果点在第二象限，那么点在第（    ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 题型三 求点到坐标轴的距离 7．点的坐标为，那么点到轴和轴的距离依次是（    ） A． B． C．3，2 D．2，3 巩固训练 8．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 题型四 写出平面直角坐标系中点的坐标 9．若点在y轴上，则点P的坐标为（    ) A． B． C． D． 巩固训练 10．已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 11．若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 12．点在轴的下侧，轴的右侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13．已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．已知点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 题型五 平面直角坐标系中点的坐标综合判断 15．下列说法中错误的是（    ） A．轴上的所有点的纵坐标都等于 B．轴上的所有点的横坐标都等于 C．原点的坐标是 D．点与点是同一个点 巩固训练 16．下列说法正确的是(   ) A．和表示同一个点 B．点在x轴的正半轴上 C．点在第四象限 D．点到x轴的距离为3 17．下列命题不正确的是（    ） A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同 B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点 C．若点在y轴上，则 D．到x轴的距离为3 18．在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件，求出M点的坐标． (1)点M在y轴上； (2)点M到x轴的距离为1； (3)点N的坐标为，且轴． 19．已知在平面直角坐标系中，有线段，其中点，点，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型六 轴对称 20．下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 21．下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 轴对称的应用 22．一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    巩固训练 23．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 题型八 坐标的平移 24．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 巩固训练 25．如果点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是，那么a，b的值分别是(        ) A． B． C． D． 26．佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标(    ) A．纵坐标不变，横坐标减2 B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2 C．纵坐标不变，横坐标除以2 D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2 题型九 坐标的对称问题 27．在平面直角坐标系中，点(5，6)关于x轴的对称点是（    ） A．(6，5) B．(－5，6) C．(5，－6) D．(－5，－6) 巩固训练 28．已知、两点关于轴对称，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 29．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．2 B． C．5 D． 30．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为． (1)请画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 题型十 坐标系的简单应用 31．根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置.    (1)小彬家在广场西南方向1200米处； (2)小丽家在广场北偏西20°方向600米处； (3)柳柳家在广场东偏北30°方向900米处. 巩固训练 32．如图是某学校的平面示意图，已知从清源楼向西走300米到达明德楼，图书馆在知行楼与致远楼的正中间位置．    (1)请根据以上条件，选取清源楼为坐标原点，以正东方向为x轴的正方向，以100米为一个单位长度建立平面直角坐标系，并标出图书馆的位置； (2)在（1）的条件下，可得致远楼坐标为，请直接写出图书馆、知行楼、清源楼和崇文楼的坐标． 33．如图是中国象棋棋盘的一部分，棋盘中“马”所在的位置用(2，3)表示． (1)图中“象”的位置可表示为 ； (2)根据象棋的走子规则，“马”只能从“日”字的一角走到与它相对的另一角；“象”只能从“田”字的一角走到与它相对的另一角．请按此规则分别写出“马”和“象”下一步可以到达的位置． 题型十一 点坐标的规律问题 34．小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 35．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 36．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 37．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 题型十二 平面直角坐标系的几何应用 38．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 巩固训练 39．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． (3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 41．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 位置与坐标 知识归纳与题型突破（十二类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、有序数对 把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号. 二、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 要点： （1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. （2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化. （3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征： ① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零． ② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等； 平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等． ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； 关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数． ④ 象限角平分线上的点的坐标特征： 一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等； 二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数． 注：反之亦成立． （4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论： ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|． ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|； y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． ③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|； 平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|． （5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补. 三、坐标方法的简单应用 1．用坐标表示地理位置 (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 要点：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置． (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度． 2．用坐标表示平移 (1)点的平移 点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换． (2)图形的平移 在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 四、关于坐标轴对称点的坐标特征 1.关于坐标轴对称的点的坐标特征 P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)； P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)； P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)． 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)． 3.平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同. 03 题型归纳 题型一 确定位置及其路径 1．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（    ） A．3号楼2单元5楼1号 B．黄海路8号 C．北偏西 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定物体的位置，解题的关键是掌握确定物体的位置的方法． 【解析】解：北偏西只有方向，没有距离，不能确定物体位置的， 故选：C． 巩固训练 2．一个学生方队，B的位置是第8列第7行，记为(8，7)，则学生A在第二列第三行的位置可以表示为(      ) A．(2，1) B．(3，3) C．(2，3) D．(3，2) 【答案】C 【分析】数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可解答． 【解析】根据题干分析可得：B的位置是第8列第7行，记为（8，7），学生A在第二列第三行的位置可以表示为：（2，3）． 故选C． 【点睛】本题考查了数对表示位置的方法，根据已知得出列与行的意义是解题的关键． 3．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象一一判断即可解决问题． 【解析】A选项：由图象可知不能到达点A，正确． B选项：由图象可知能到达点A，与题意不符． C选项：由图象可知到达点A，与题意不符． D选项：由图象可知(到达点A正确，与题意不符． 故选：A． 【点睛】本题考查坐标确定位置、解题的关键是理解点与有序数对是一一对应关系，属于中考常考题型． 题型二 判断点所在的象限 4．点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用各象限内点的坐标的符号特征进而得出答案． 【解析】解：因为点横坐标为负数，纵坐标为正数， 所以点在第二象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 巩固训练 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标可能是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中第三象限点的坐标特征，即可解答． 【解析】解：如图，在平面直角坐标系中，点在第三象限 ∴点的坐标可能是 故选：． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键． 6．如果点在第二象限，那么点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】B 【分析】由点P在第二象限得到，，即可得到a与b的符号，由此判断点Q所在的象限． 【解析】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴， ∴点在第二象限． 故选：B 【点睛】此题考查象限中点的坐标特点，熟记每个象限中的点坐标特点是解题的关键． 题型三 求点到坐标轴的距离 7．点的坐标为，那么点到轴和轴的距离依次是（    ） A． B． C．3，2 D．2，3 【答案】C 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，进行计算即可解答． 【解析】解：∵点的坐标为， ∴点到轴和轴的距离依次是3，2 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值． 巩固训练 8．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值判断，即可得到答案． 【解析】解：平面直角坐标系中，点到轴的距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值． 题型四 写出平面直角坐标系中点的坐标 9．若点在y轴上，则点P的坐标为（    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【解析】解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， 则， 则点P的坐标为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，掌握y轴上点的坐标特点，横坐标为零是解题关键． 巩固训练 10．已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接利用第二象限内的点的坐标特征即可得到答案． 【解析】解：点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是点的坐标，解答本题的关键是明确点到轴的距离是这点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是这点的横坐标的绝对值． 11．若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意，点与点的纵坐标相同，横坐标有两种情况：在右侧和在左侧，分别求解即可． 【解析】解：点的坐标是，，且轴， 点的纵坐标为，横坐标是或， 点的坐标为或， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，属于基础题，解题时注意分类讨论，避免出现漏解的情况． 12．点在轴的下侧，轴的右侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点在轴的下侧，轴的右侧，得出点在第四象限，再根据距离轴个单位长度，距离轴个单位长度即可得出最后结果． 【解析】解：点在轴的下侧，轴的右侧， 点在第四象限， 点距离轴个单位长度，距离轴个单位长度， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查的是点的坐标，用到的知识点为：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值，判断出所求点所在的象限是解答本题的关键． 13．已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角坐标系中垂直于轴或平行于轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可． 【解析】解：∵点Q的坐标为，点P的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质． 14．已知点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意得：，，再根据可得，即，写出符合条件的点P的坐标即可． 【解析】由题意得：，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，或当时，， ∴点P的坐标是或. 故选：D． 【点睛】本题关键在于由点到坐标轴的距离推出点的横纵坐标． 题型五 平面直角坐标系中点的坐标综合判断 15．下列说法中错误的是（    ） A．轴上的所有点的纵坐标都等于 B．轴上的所有点的横坐标都等于 C．原点的坐标是 D．点与点是同一个点 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中坐标轴上的点的特征，及各个象限内点的特征依次判断即可． 【解析】A. 轴上的所有点的纵坐标都等于，正确，故不符合题意；     B. 轴上的所有点的横坐标都等于，正确，故不符合题意；     C. 原点的坐标是，正确，故不符合题意；         D. 与点它们的横，纵坐标都不相同，所以不是同一个点，故D选项错误，符合题意． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中坐标轴上的点的特征，及各个象限内点的特征．第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．熟练掌握以上知识是解题的关键． 巩固训练 16．下列说法正确的是(   ) A．和表示同一个点 B．点在x轴的正半轴上 C．点在第四象限 D．点到x轴的距离为3 【答案】B 【分析】根据坐标的特点直接判断即可． 【解析】A．和表示两个点，所以A选项错误； B．点在x轴的正半轴上，所以B选项正确； C．点在第二象限，所以C选项错误； D．点到x轴的距离为1，所以D选项错误； 故选：B 【点睛】此题考查平面直角坐标系，解题关键是明确点的表示方式，和坐标轴上的点和象限点的特点，以及点到坐标轴的距离． 17．下列命题不正确的是（    ） A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同 B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点 C．若点在y轴上，则 D．到x轴的距离为3 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特点，点到坐标轴的距离求解即可． 【解析】解：A．平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相同，正确，不符合题意； B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点，正确，不符合题意； C．点P（a，b）在y轴上，则a＝0，正确，不符合题意； D．点P（，4），则P到x轴的距离为|4|＝4，选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 18．在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件，求出M点的坐标． (1)点M在y轴上； (2)点M到x轴的距离为1； (3)点N的坐标为，且轴． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 【分析】（1）点在y轴上，令横坐标等于零即可求解； （2）点到x轴的距离为1，则即可求解； （3）轴，则点M、N两点纵坐标相等求解即可． 【解析】（1）∵点在y轴上， ∴，即， ∴． （2）∵点到轴的距离为1， ∴， 解得或． 点的坐标为或． （3）∵点，点且轴， ∴． 解得． 故点的坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及平面直角坐标系中点到两坐标轴的距离，平行于x轴或者y轴时点的坐标特征，理解题意，熟悉相关知识是解决问题的关键． 19．已知在平面直角坐标系中，有线段，其中点，点，则线段中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据中点坐标公式求解即可． 【解析】解：∵点，点， ∴线段中点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，若点A，B的坐标分别为，，则线段AB的中点C的坐标为：． 题型六 轴对称 20．下列图形中，对称轴最多的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形． 【解析】解：A.该图有4条对称轴， B.该图有4条对称轴， C.该图有无数条对称轴， D.不是轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 巩固训练 21．下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（    ）个    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，分别找出图中的轴对称的条数，即可求解． 【解析】解：轴对称图形中，对称轴的条数四条的只有图形（1），（2）； 图形（3）是无数条； 图形（4）是两条； 图形（5）是七条． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 题型七 轴对称的应用 22．一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．    【答案】FM5379 【分析】由题意得所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【解析】解：根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示，    故该车牌号码为FM5379． 故答案为：FM5379． 【点睛】解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 巩固训练 23．如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查钟表的镜面对称问题，属于左右对称，数字的镜面对称数字是，据此即可求解． 【解析】解：此刻的实际时间应该是， 故答案为： 题型八 坐标的平移 24．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ） A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8） 【答案】D 【分析】让点B先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得到点A的坐标，让点B的横坐标减2，纵坐标加3即可得到点A的坐标． 【解析】解：∵将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5）， ∴点A的横坐标为﹣1﹣2＝﹣3，纵坐标为5+3＝8， ∴A点坐标为（﹣3，8）． 故选D． 【点睛】在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，本题需注意的是已知新点的坐标，求原来点的坐标，注意平移的顺序的反过来的运用．解决本题的关键是得到由点B到点A的平移过程． 巩固训练 25．如果点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是，那么a，b的值分别是(        ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点向上平移几个单位则点的纵坐标加上几个单位，向左平移几个单位则点的横坐标减去几个单位，即可求解． 【解析】解：根据题意可知：， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换——平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 26．佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标(    ) A．纵坐标不变，横坐标减2 B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2 C．纵坐标不变，横坐标除以2 D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2 【答案】D 【解析】解：图案横向拉长2倍就是纵坐标不变，横坐标乘以2，又向右平移2个单位长度，就是纵坐标不变，横坐标加2，应该利用逆向思维纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减 题型九 坐标的对称问题 27．在平面直角坐标系中，点(5，6)关于x轴的对称点是（    ） A．(6，5) B．(－5，6) C．(5，－6) D．(－5，－6) 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得答案． 【解析】点（5，6）关于x轴的对称点（5，-6）， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，熟练掌握关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题关键. 巩固训练 28．已知、两点关于轴对称，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解析】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 29．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（　　） A．2 B． C．5 D． 【答案】C 【解析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【解答】解：由点与点关于原点对称，得： ， ∴， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 30．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为． (1)请画出平面直角坐标系； (2)画出关于y轴对称的； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查坐标与轴对称，勾股定理及其逆定理． （1）根据点的位置，画出坐标系即可； （2）根据轴对称的性质，画出即可； （3）根据勾股定理及其逆定理，即可得出结果． 【解析】（1）解：画出平面直角坐标系，如图所示； （2）如图，即为所求； （3）∵， ∴， 是直角三角形． 题型十 坐标系的简单应用 31．根据下面的描述，在平面图上标出各场所的位置.    (1)小彬家在广场西南方向1200米处； (2)小丽家在广场北偏西20°方向600米处； (3)柳柳家在广场东偏北30°方向900米处. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】根据方向角和距离确定，注意比例尺； 【解析】（1）解：如图； （2）解：如图； （3）解：如图；    【点睛】本题考查方向和位置的表示；理解方向角是解题的关键． 巩固训练 32．如图是某学校的平面示意图，已知从清源楼向西走300米到达明德楼，图书馆在知行楼与致远楼的正中间位置．    (1)请根据以上条件，选取清源楼为坐标原点，以正东方向为x轴的正方向，以100米为一个单位长度建立平面直角坐标系，并标出图书馆的位置； (2)在（1）的条件下，可得致远楼坐标为，请直接写出图书馆、知行楼、清源楼和崇文楼的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图书馆的坐标为、知行楼的坐标为、清源楼的坐标为，崇文楼的坐标为 【分析】（1）根据题中描述建立平面直角坐标系和确定图书馆的位置； （2）根据平面直角坐标系中对应楼的位置写出坐标即可． 【解析】（1）解：平面直角坐标系和图书馆的位置如图所示；    （2）解：由图可知，图书馆的坐标为、知行楼的坐标为、清源楼的坐标为，崇文楼的坐标为． 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系、点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解答的关键． 33．如图是中国象棋棋盘的一部分，棋盘中“马”所在的位置用(2，3)表示． (1)图中“象”的位置可表示为 ； (2)根据象棋的走子规则，“马”只能从“日”字的一角走到与它相对的另一角；“象”只能从“田”字的一角走到与它相对的另一角．请按此规则分别写出“马”和“象”下一步可以到达的位置． 【答案】(5，3) 【解析】整体分析： （1）根据“马”所在的位置确定原点，再确定“象”的位置；（2）根据象棋的走子规则，确定“马”和“象”下一步可以到达的位置. 解：(1)(5，3) (2)“马”下一步可到达的位置有(1，1)，(3，1)，(4，2)，(1，5)，(3，5)，(4，4)； “象”下一步可到达的位置有(3，1)，(7，1)，(3，5)，(7，5)． 题型十一 点坐标的规律问题 34．小明同学在一次数学探究活动中，将小正方形放置在如图所示的平面直角坐标系中，使得小正方形的中心（即正方形对角线的交点）位于原点，各顶点在坐标轴上，若各顶点到原点的距离为1．接下来，按如图方式作新正方形，即从第二个正方形开始，以前一个正方形的一条对角线为边作正方形，则第十个正方形中心的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现正方形边长的变化规律及第偶数个正方形中心点的坐标特征是解题的关键． 根据所给图形，求出正方形边长的变化规律，再由第偶数个正方形的左边的边在一条直线上即可解决问题． 【解析】解：由题可知， 第一个正方形的边长为， 第二个正方形的边长为， 第三个正方形的边长为， 第四个正方形的边长为， …， 所以第n个正方形的边长为（n为正整数）． 观察所给图形可知， 第偶数个正方形的左边在一条直线上． 当时， ， 即第十个正方形中心的横坐标为15． ， 即第十个正方形中心的纵坐标为46， 所以点的坐标为． 故选：C． 巩固训练 35．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形不难发现，每四次变换为一个循环组循环，用2023除以4，根据余数的情况确定最后点B所在的象限，然后根据关于坐标轴对称的点的变化规律解答． 【解析】点B第一次关于x轴对称后在第三象限，点B第二次关于y轴对称后在第四象限，点B第三次关于x轴对称后在第一象限，点B第四次关于y轴对称后在第二象限， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵余3， ∴经过第2023次变换后所得的B点与第三次变换的位置相同，坐标为． 故选：D 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，对称，确定出每4次变换为一个循环组是解题的关键． 36．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为整数点．如图，一列按箭头方向有规律排列的整数点，其坐标依次为，，，，，，，，…，根据规律，第2024个整数点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型点的坐标，根据图形得出每个正方形点阵的整点数量与坐标的关系，是解题的关键． 观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，n为大于1的正整数，当n为偶数时，最后一个点在轴上，第个点的坐标为，当n为奇数时，最后一个点在直线上，第个点的坐标为，然后按照规律求解即可． 【解析】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵， 如：第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， 第个点的坐标为， ，45为奇数， 第2025个点的坐标为， 退1个点，得到第2024个点是， 故答案为：． 37．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点出发，按图中箭头所示的方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，按这样的运动规律，经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律，根据已知和图性可得，点的横纵坐标每次一轮变化，横坐标每一次比前一次多，纵坐标按照循环，据此即可求解，从所给的数据和图形中找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【解析】解：前五次运动横坐标分别为， 第到次运动横坐标分别为， ， ∴第到次运动横坐标分别为， 前五次运动纵坐标分别为， 第到次运动纵坐标分别为， ， ∴第到次运动纵坐标分别为， ∵， ∴经过次运动横坐标为， 经过次运动纵坐标为， ∴经过次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是， 故答案为：． 题型十二 平面直角坐标系的几何应用 38．在平面直角坐标系中，点，，，轴，点Q的纵坐标为m．则以下说法错误的是（　　） A．当，点B是线段的中点 B．当，点P一定在线段上 C．存在唯一一个m的值，使得 D．存在唯一一个m的值，使得 【答案】D 【分析】根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据A、B、P、Q的坐标分别求得、，进而判断C，D选项． 本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 【解析】解：A.当时，，，． ∵，， ∴， 又∵A、B、P三点都在x轴上， ∴点B是线段的中点， 故A选项正确； B. 当时，，则点P在点A右侧， 又∵， ∴点P又在点B左侧， ∴点P一定在线段上． 故B选项正确； C. ，，，， ，． 若， 则， ， ， 解得， ∴当时，． 故C选项正确； D.∵，， 若， 则， 则或， 解得或， ∴当或时，． 故D选项错误． 故选：D． 巩固训练 39．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点和点的坐标，其中点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)动点若从点出发，沿射线以1个单位长度/秒的速度运动，运动时间为（秒），当为直角三角形时，求的值． (3)动点若从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动，运动时间为（秒），点，连接、，是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，为直角三角形 (3)当或时， 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）根据，结合坐标系可得答案； （2）分两种情况讨论，先画出图形，再结合图形性质与勾股定理可得答案； （3）先求解，再分情况画出图形，结合三角形的面积公式求解即可； 【解析】（1）解：∵为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点． ∴，； （2）解：如图， 当重合时，为直角三角形， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：当或时，为直角三角形； （3）解：∵，轴，轴，， ∴， 当在上时，，如图，， ∴， ∴， 解得：， 当在上时，，如图，而， ∴， ∴， 解得：； 综上：当或时，； 40．如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，若线段与的长满足等式． (1)求线段，的长； (2)若点C的坐标为，连接，则的面积为______； (3)若点D在线段上，且，点Q在x轴上且，请直接写出点D的坐标______，点Q的坐标______．（数学活动小组的同学发现：可连接，的面积是面积的，的面积是面积的，利用其面积即可求出点D坐标． 【答案】(1) (2)9 (3)；或 【分析】（1）根据非负数的性质得，据此可得出，的长； （2）过点C作轴于E，则，进而得，然后根据可得出答案； （3）连接，过点D作于M，于N，根据点D在线段AB上，且，可得，从而可求出，进而可得点D的坐标；根据点Q在x轴上且，可分为两种情况讨论，即可得出答案． 【解析】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：过点C作轴于E，如图1所示： ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：9． （3）解：连接，过点D作于M，于N，如图2所示： ∵点D在线段上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； ∵点Q在x轴上且， ∴有以下两种情况： 设， ①当点Q在x轴的负半轴上时，过点D作轴于P，如图3所示： ∵点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： ∴点Q的坐标为； ①当点Q在x轴的正半轴上时，过点D作轴于P，如图4所示： ∴， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴点Q的坐标为， 综上所述：点Q的坐标为或． 41．已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系； (3)如图3，若x轴恰好平分与x轴交于点E，过点C作轴于F，问与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】（1）如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形，证明，得到，，即可确定的坐标； （2）；证明，得到，，即可解答； （3），如图3，延长，相交于，证明，得到，再证明，得到，即可解答． 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等，并利用全等三角形的性质得到相等的线段． 【解析】（1）解：如图1，过点作轴，轴，则四边形为矩形， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：；过程如下： 轴， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． （3）解：，过程如下： 如图3，延长，相交于， 证明，． 轴恰好平分， ， 轴， ， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 $$