精品解析：福建省华安县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

华安一中2023-2024学年上学期第二次月考 高一数学试题 第Ⅰ 卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求解，再根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】，共轭复数为. 故选：B 2. 已知，若，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由，可得，解得， 又由，可得. 故选：C. 3. 在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：B. 4. 《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ） A. 60.08斛 B. 171.24斛 C. 61.73斛 D. 185.19斛 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数． 【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为尺， 则底面周长为尺，解得尺， 又高为尺， 所以圆锥的体积为（立方尺）； 又（斛）， 所以估算堆放的稻谷约有（斛）． 故选：C． 5. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求解出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得， 可得，解得， 则，故A正确， 故选：A 6. 如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解. 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（ ） A. 64 B. 84 C. -69 D. -89 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式整理可求得关系，再由三角形面积公式和余弦定理求得三边，再由数量积运算得到结果 【详解】由，得， 所以， 则，即，即， 又，即， 又，得， 联立、、，解得， 则，即， 由，平方知， 所以. 故选：C. 8. 在中，为线段上动点，且，则的最小值为（） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由推得；再由求得，，最后由和平面向量基本定理可推得利用常值代换法即可求得所求式的最小值. 【详解】因，则，由， 可得，即， ， 又 解得因，故， 又，解得 又，所以，， 又，即 因为线段上的动点，即共线，且， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于，将各个条件分别化简，得出关于三角形的边长和夹角，代入向量等式，利用平面向量基本定理即得最后运用常值代换法即可求得最值. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. MN与AB是异面直线 D. BF与CD成角 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及异面直线的意义判断即可. 【详解】将正方体的展开图还原，如图， 对于A，连接，显然，则四边形是平行四边形， ，而，因此，A正确； 对于B，由，得， 则，而，因此，B错误； 对于C，平面，平面，，平面， 因此MN与AB是异面直线，C正确； 对于D，由选项B知，，因此BF与CD成角，D正确. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于x的方程的根，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和几何意义，即可求解. 【详解】A.设，则，故A正确； B.，故B正确； C.若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，表示圆上的点与点的距离，则距离的最小值为，故C正确； D.由题意可知，即， 则，，，故D错误. 故选：ABC 11. 如图所示，在中，，，，分别是边上的两个三等分点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则化简以，可判定A正确；设和，根据向量的数量积的运算法则，可判定B正确；根据数量积的运算法则，可判定C正确；由，可判定D错误． 【详解】由，所以，所以A正确； 由， 设，因为， 所以，即， 可得，则，所以B正确； 由，所以C正确； 由， 所以，所以D错误． 故选：ABC． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的外接球即为四棱锥的外接球，长方体的对角线就是外接球的直径，结合球体的表面积公式求解. 【详解】长方体的外接球即为四棱锥的外接球， 因为，. 长方体的对角线长为， 则长方体的外接球的半径， 该“阳马”外接球的表面积为. 故答案为： 13. 圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意将圆锥的侧面展开，得到点绕圆锥侧面移动到的最短距离为，再利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示： ，. 由图知：点绕圆锥侧面移动到的最短距离为. . 故答案为： 14. 我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为．若，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得，再化简已知条件，结合面积公式求解. 【详解】因为，根据正弦定理，得，即， 又因为，即， 所以. 故答案为： 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求的值； （2），求； （3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1）5； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）求出坐标，再求出模即可； （2）求出和的坐标，再由，得到关于的方程，求解即可； （3）由向量与的夹角为锐角，得到且与不共线，从而建立关于的不等式关系，求解即可. 【小问1详解】 由，知，所以． 【小问2详解】 由，知,, 因为， 所以，解得： 【小问3详解】 由题可得，，由已知有与的夹角为锐角， 故即是要且与不共线． 从而命题等价于，即，所以的取值范围是． 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，，点在边上，且，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得，即可求解； （2）根据平面向量的线性运算可得，结合向量数量积的运算律和定义计算即可求解. 小问1详解】 ，由正弦定理得， ， 又， 所以， 得，又， 所以，即， 得，又，所以， 故； 小问2详解】 由，得，即， 所以， 所以，即. 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． （1）求证：． （2）求证：平面． （3）在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据折叠过程中AE与DE垂直不变，DE与BE垂直不变，可以推出，，从而平面，即可证明． （2）通过作辅助线，利用中位线证明线线平行，进而得到平面平面MNH，然后利用面面平行的性质可得 （3）因为平面，即BC垂直平面内任一直线，那么只要在平面内找到一条过点E，且垂直的直线，则这条直线与的交点就是点G，然后利用线面垂直的判定证明即可 【小问1详解】 ∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． 【小问2详解】 取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． 【小问3详解】 取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 19. 的内角的对边分别为已知. （1）若的周长等于3，求； （2）若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的关系，再结合三角形的周长即可得解； （2）①根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式即可得解；②先求出角的范围，再利用正弦定理求出边，再根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由余弦定理及已知条件得，， 又因为的周长等于3， 所以，得。 联立方程组， 解得； 【小问2详解】 ①根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以； ②因为是锐角三角形， 由①知得到， 故，解得， 由正弦定理，得， 又，所以， 所以 ， 又因， 故， 所以， 故的取值范围是. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华安一中2023-2024学年上学期第二次月考 高一数学试题 第Ⅰ 卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. i是虚数单位，则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则（ ） A. 25 B. 16 C. 5 D. 4 3. 在中，内角所对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ） A. 60.08斛 B. 171.24斛 C. 61.73斛 D. 185.19斛 5. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则（ ） A 64 B. 84 C. -69 D. -89 8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（） A. 4 B. C. 2 D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. MN与AB是异面直线 D. BF与CD成角 10. 下列说法正确的是（ ） A ， B. C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于x的方程的根，则 11. 如图所示，在中，，，，分别是边上两个三等分点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 我国古代数学名著《九章算术》，将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图所示，在长方体中，已知，．该“阳马”的外接球的表面积______． 13. 圆锥SAB的底面半径为，母线长为的中点，一个动点自底面圆周上的点绕圆锥侧面移动到，则这点移动的最短距离是__________. 14. 我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设分别为内角的对边，表示的面积，其公式为．若，，则的面积为______． 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，． （1）求的值； （2），求； （3）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围． 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求大小； （2）若，，点在边上，且，求线段的长． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． （1）求证：． （2）求证：平面． （3）在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 的内角的对边分别为已知. （1）若的周长等于3，求； （2）若为锐角三角形，且； ①求； ②求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$