1.4正弦函数和余弦函数的概念及其性质教学设计-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 一、单元内容及内容解析 1. 内容 本单元内容包括任意角的正弦函数、余弦函数的定义、利用单位圆研究其性质、判断正弦函数值和余弦函数值的符号.由三角函数的定义及终边的对称性和旋转得到诱导公式.内容框图如下： 本单元建议教学用时为 4 课时，第 1 课时:单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义;第 2 课时：单位圆与正余弦函数的基本性质；第 3 课时：诱导公式与对称；第 4 课时：诱导公式与旋转. 2. 内容解析 （1）内容的本质 任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角学认 知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结合思 想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.本单元内容是在前面角的扩充和弧度制 引入的基础上，先通过初中三角函数的推广得出任意角的三角函数，再利用单位圆研究正余 弦函数的性质及诱导公式. （2）蕴含的数学思想和方法 三角函数的概念及基本性质：这两节是概念的形成课，应按“事实—概念” 的路径，即 学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．学生在经历这个过程而形成 三角函数概念的同时，得到值域、函数值的符号、诱导公式一及同角三角函数的基本关系等 性质．在三角函数定义形成的过程中体现了抽象与概括、特殊与一般、对应等思想. 诱导公式：借助其内容本质分析可知，研究路径可以归结为：圆的对称性——角的终边 的对称性——点的坐标间的关系——三角函数的关系。从整体上看，各种各样的三角函数关 系式所研究的问题是：角的终边具有某种特殊关系时，相应的三角函数值之间具有怎样的特 殊关系，本质上都是圆的几何性质（主要是对称性）的直接反映.在推导诱导公式的过程中， 蕴含这着对称、坐标变换、函数变换等数学思想. （3）知识的上下位关系 三角函数的概念及基本性质：在此之前，学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角 形边长的比来刻画的，任意角的三角函数看成是锐角三角函数的推广，利用象限角终边上点 的坐标比定义三角函数．后续的内容，特别是在微积分中，最常用的是弧度制以及弧度制下 的三角函数，从定义可以方便地推导任意角三角函数的性质、诱导公式，为公式的记忆提供 了图形支持. 诱导公式：前面已经研究 “角的终边相同”时同名三角函数，而诱导公式研究的是直角 坐标系下“角的终边具有某种特殊对称性”时三角数之间的关系. 如果在诱导公式的基础上， 把2kπ + α(k ∈ Z), α, α ± π, 2π ± α与α的三角函数关系进行扩充，可得出和（差）角的三角函数，从而使所有三角公式形成一个有机整体. （4）育人价值 本单元的学习有助于学生学会合乎逻辑地、有条理地、严谨精确地思考和解决问题，有 助于发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算、直观想象等方面的素养. （5）教学重点 基于以上分析，确定本单元的教学重点:利用单位圆探究正余弦函数的定义、性质及诱 导公式. 二、单元目标及目标解析 1. 目标 第一课时：单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 （1）了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系； （2）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦） 的定义，发展数学抽象素养； 第二课时：单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的性质 （1）引导学生借助单位圆推导正弦函数的基本性质 （2）类比得出余弦函数的基本性质 （3）利用正余弦函数基本性质解决相关问题 第三课时：诱导公式与对称 （1）借助单位圆的对称性，利用定义推导出前四组诱导公式； （2）能综合运用诱导公式将任意给定的三角函数值转化为锐角三角函数值， 第四课时：诱导公式与旋转 （1）根据角的终边的旋转关系，推导并掌握对应的诱导公式. （2）能运用诱导公式解决三角函数式的化简、求值和证明. 2. 目标解析 第一、二课时：单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义、性质 达成上述目标的标志是： （1）学生在经历“锐角三角函数终边上一点定义—锐角三角函数在单位圆上定义—任 意角三角函数在单位圆上定义”的抽象活动中，明确研究的问题，使研究对象简单化、本质 化；学生能类比初中三角函数定义，抽象出任意角正余弦函数概念；能根据定义求给定角的 正余弦函数值； （2）学生能根据定义得出三角函数的定义域、值域、单调性等性质；能根据定义，结 合终边相同的角的表示，得出一组诱导公式，并能据此描述三角函数周而复始的取值规律， 求某些特殊角的三角函数值； 第三、四课时：诱导公式 达成上述目标的标志是： （1）能利用定义，借助单位圆上关于原点、x 轴、y 轴、直线 y = x 对称的点的横、 纵坐标之间的关系，推导诱导公式； （2））能归纳运用诱导公式解题的基本步骤：先确定角的象限，再选择恰当的诱导公式， 并按照一定的顺序进行运算，求得运算结果. 三、教学问题诊断分析 三角函数概念的学习，其认知基础是函数的一般观念及对指、对、幂函数的研究经验， 另外还有圆的集合知识，对于分析周期函数能够起到引领作用.但是之前的函数定义都以“运算”为基础，而三角函数的定义是建立在对应的基础之上，以前的学习经验无法直接迁移，特别是对三角函数的本质特征：任意角的三角函数是研究一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系，会形成认知难点. 在利用单位圆抽象出正余弦函数性质可能稍有困难，不能从“数”出发，准确和谐地将“数”与“形”进行转化。因此性质探究过程中借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助, 激发学生从“数”与“形”的角度思考，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题，让学生经历由特殊到一般、一般到特殊的认知过程，初步形成运用函数思 想解决问题的习惯。 诱导公式内容较多，推导过程基于三角函数的定义，借助于单位圆的对称性，以及平面 直角坐标系内点的坐标的特点，以定义为纽带进行转化理解.会形成理解上的难点，教学中 要强调标题的作用，如“诱导公式与对称”“诱导公式与旋转”等，再次强化学生对三角函 数这种“对应”式定义的理解，会更好的服务于后续的三角函数基础性质的发现. 基于以上的分析，确立本单元教学中正余弦概念及性质的抽象、诱导公式的推导及应用 为教学难点. 四、单元教学支持条件分析 在本单元的教学中，充分发挥信息技术的作用，特别利用单位圆探究正余弦函数的定义、 性质及诱导公式等问题中都起到重要的作用. 五、课时教学设计 课题：4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 一．课时教学内容 利用单位圆抽象出任意角的正弦函数、余弦函数的定义二．课时教学目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程； 2.经历自主探究发现问题（任意角的三角函数值与锐角三角函数值之间的内在联系）， 提出研究方法（利用坐标的对称关系，从三角函数的定义得出相应的关系式）并完成推导过 程，并对任意角三角函数化简、求值； 3.在探究活动中，学生通过独立思考和合作交流，发展思维，从探索中获得成功的体验， 落实数学抽象、数学运算、逻辑推理素养. 三．教学重点与难点 教学重点：借助单位圆认识和理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义； 教学难点：借助终边上一点的坐标理解任意角正弦函数、余弦函数的定义. 四．教学过程设计 （一）创设情境• 明确对象 赴九天、探苍穹，神州十四号载人飞船出征，中国空间站迎来第三批访客。中国空间站 每 90 分钟绕地球运行一周，每天绕地球约 15 至 16 圈。 必修一我们学习了函数，知道函数是刻画客观世界变化的数学模型。中国空间站围绕地 球是周而复始的圆周运动，我们已有的函数模型可以刻画这种周期变化吗？ 从刚才的视频，我们抽象出天宫绕地球旋转的数学模型，为动点 P 绕圆做圆周运动。可见，点 P 在旋转过程中，OP 与 x 非负半轴形成角α，所以，刻画圆周运动的函数模型一定与角α有关。 设计意图：用数学的观点、函数的视角看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的 重要性，定义新函数的必要性，经历发现问题→寻求方案→明确方向的过程。 1. 复习锐角三角函数的定义 问题 1：在初中，我们借助直角三角形学习了锐角三角函数，你能回忆初中锐角的正弦、 余弦是如何定义的？它们自变量是什么？以什么为函数值？自变量的范围是什么？函数值 的范围是什么？ 设计意图：温故知新，寻找新知识的生长点，让学生体会知识的产生、发展过程，就要 从源头上开始，从学生现有认知状况开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐 角三角函数融入学生已有的函数知识结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理 逻辑的自然. 2. 当α为钝角或者任意角时，提出问题 问题 2：在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数 R， 那么对于任意角α，比如当α为钝角时，角α的“斜边”这种说法还存在吗？ 三角函数不能用边长的比值来定义。 那么任意角的三角函数该如何定义呢？这是我们本节课研究重点 设计意图：制定方案：类比反思→结合经验→知识迁移。问题 1 到问题 2 是温故知新化 过程，利用角a 的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学习新 知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利于将 探究的主动权交给学生. （二）探究新知 • 构建定义 1. 终边上点坐标表示的锐角三角函数 问题 3：（定义坐标化）要想研究任意角的三角函数，中国有句古话：“工欲善其事， 必先利其器”. 随着角的概念推广和弧度制的引入，我们一般借助什么工具来研究角？ 设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠 定研究的基础. 师：平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键。 我们先研究哪种角的三角函数？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？ 追问：我们把一个锐角放在直角坐标系内。由于任意角α都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α可以方便研究？ 设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的 认知规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节 课任意角三角函数概念的建构这一教学难点. 问题 4：（表达式形式优化）在锐角α的终边上任取一点P(u,v)，它与原点 O 的距离为 r ， 过点 P 做 x 轴的垂线，垂足为 M,直角边、斜边有新的寓意吗？你能用点 P 的坐标及 r 来表 示锐角α的三角函数吗？ 设计意图： 把锐角α放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一 目了然的，这样可以把初中锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标关系， 为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.利用数形结合思想，完成长度和坐标的转换。追问 1：当锐角α确定，如果改变α的终边上的 P 位置，角α的正弦值会发生改变吗？原 因是什么？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值可以类比得到，更方便学生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三角函 数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫,也为任意角的终边定义法奠定基础。 追问：数学追求“简洁美”，既然这个比值与终边上点 P 的位置无关，那么当 P 点选在 何处时，sin α和cos α的形式最简单？ 设计意图:通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出sin α和 cos α的简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上 P 点有对应关系. 2．单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数 由上一环节得到单位圆上的点坐标表示的锐角三角函数： sina =v cosa =u 由此可知：对于锐角α来说， · P 的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v = sin α · P 的横坐标u是该角的正弦函数值，记作u = cos α 问题 5：(函数化过程)当锐角α发生变化时，P 点的坐标会发生相应的改变吗？相应的 正弦、余弦函数值呢？也就是说：当锐角α确定了，P 点的坐标是唯一确定（配合动画演示） 设计意图：在初中，学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内 涵，突出了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要 环节，是准确理解三角函数概念的关键. 追问 1：通过上述演示，你能说出锐角α正弦v = sin α、余弦u = cos α的自变量吗？ 以什么为函数值呢？ 我们在高一上学期学过了函数的概念，知道函数是两个非空数集之间的对应关系。 追问 2：你能从函数的观点出发，给出锐角的正弦函数形如y = f(x)的定义吗？ 对于任意一个锐角x（x弧度表示），都有唯一确定的正弦值sinx与之对应，按照这个对 应法则所建立的函数，叫做锐角的正弦函数，记作y = sinx,函数的定义域是(0,2π) 中间强调：初中的自变量是 60 进制的角度，不是 10 进制的实数，所以初中所学不符合函数定义，故角一定是弧度。 设计意图：用文字语言、图形语言、符号语言分别描述概念，深入理解数学概念的内涵 与外延。只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自行 总结任意角的三角函数概念时有参照对象，为总结任意角三角函数定义打好基础. 追问 3：函数角度下的锐角三角函数概念和初中所学有什么区别？ 设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是 有“始边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在x轴非负半轴上，其终边与单位 圆有唯一交点，从而能形成函数关系.弥补初中锐角三角函数对“函数性”解释，为归纳任 意角三角函数概念扫清心理障碍. 3. 推广至任意角三角函数的概念 问题 6：由特殊到一般的思想，结合锐角三角函数概念形成和发展的过程，你能给任意 角的三角函数下一个定义吗？ 任意角正弦函数定义：对于任意一个角x（x弧度表示），都有唯一确定的正弦值sinx与之对应，按照这个对应法则所建立的函数，叫做正弦函数，记作y = sinx,函数的定义域是R注 1：任意角的三角函数是以角为自变量，单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的 函数 注 2：角α的弧度数与实数一一对应，所以角α是 R 上的实数，与之对应的函数值sinα是闭区间[−1,1]上的实数 · 3：建立了两个实数集的对应关系（使三角函数抽象为一个与角无关的函数，只是刻画周期变化规律的、实数到实数上的映射） 设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义.学生可 以意识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延 伸.体现知识的螺旋上升，让学生经历模型解构与数学化的过程，突出用函数的观点全面认 识三角函数概念形成和发展过程，落实数学抽象和直观想象的核心素养。 （三）强化定义• 巩固新知 我们利用坐标思想、数形结合思想实现了初中三角函数到锐角三角函数的拓展，并由特 殊到一般得到任意角三角函数的概念，下面能不能利用“三角函数的本质特征”过三关、斩 六将。 第一关：在单位圆中，α = −4π，你能画出角α并求出角α的正弦、余弦函数值吗？若α = 7π4呢？ 设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学生学习如何利用定义来解决不同的问 题，加深对定义的理解。 第二关：已知角 的终边经过点 P(12,23)，你能求出角α的正弦、余弦值吗？ 设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同， 由任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公 式一的作用和三角函数的周期性. 第三关：已知任意角α终边上除原点外的一点Q(x,y)，求角α的正弦函数值、余弦函数值。 师：以问题驱动学生思考： 你对该问题有什么思路？可以用图形语言和数学语言描述它吗？ 怎样利用三角函数概念辅助解决这个问题? 角α在运动变化过程中，终边有哪些特殊位置?怎样求这些特殊位置上 的正、余弦函数值？ 对于没有思路小组，可以提出问题： 若α = 2π3终边上作一点 P 且OP = 2，你能求点P的坐标吗？ 观察横、纵坐标分别除以 2 得到的值，与α = 2π3的三角函数值有关系吗？ 若OP = r,点 P 的坐标分别除以r后的值，与α = 2π3的三角函数值有关系吗？ 得出sin α = yr，cos α = xr，其中r = x2 + y2,你能证明这个结论吗？ 追问：当角α的终边在坐标轴上，上述结论能成立吗？也就是这个结论能一般化吗？ 抽象概括： 设角α终边上除原点外的一点Q(x0,y0)，则 sin α = y ，cos α = x ， 其中r = x2 + y2 r r 练习： 在单位圆中，画出下列各特珠角，求各角终边与单位圆的交点坐标(u，v)， 并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入表中: 思考： 观察此表格中的数据，你能发现函数u = cos α和v = sin α的变化有什么特点吗 设计意图：借助单位圆直观的载体，将问题转化为可以用点Q(x,y)的坐标表示角α的正 弦函数值、余弦函数值。课堂难点以问题驱动、自主交流、合作探究的方式，突出学生主体 地位，更加明确数学概念的发展，理解三角函数概念本质。 （四）归纳梳理 • 升华认知 通过本节课的学习，你有什么认知？有什么收获？ 师生活动：教师引导学生从知识、方法、经验等方面进行总结 设计意图：小结归纳不仅是对知识的简单回顾，还要发挥学生的主体地位，引导学生从 知识、方法、经验等方面进行总结，引导学生逐步形成创新能力。在学生谈收获、谈体验的 过程中，进一步优化学生的认知结构，培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生的归纳 概括能力。 （五）课后作业 • 巩固成果 1. 利用三角函数的定义求7π6的正弦，余弦值 2（1）已知角β的终边经过点M(−3,−1)，求sin β与cos β的值（2）已知角β的终边经过点P(−3t,−t)，求sin β−cos β的值. 3. 课外探究 ： 请同学们课后以小组合作的方式，完成一篇关于“三角函数发展史”的数学小论文或探究正切函数的定义，并说明合理性. 设计意图：围绕课堂的重点，分层布置作业，必做题对本节课学生知识水平的反馈，思 考和活动是对本节课内容的延伸，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，有利于拓展学生 的自主发展的空间。 （六）板书设计 §4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 1. 锐角正弦函数、余弦函数定义 投影区 互动探究题 2. 任意角的正弦函数、余弦函数定义 （七）课后反思 学科网（北京）股份有限公司 $$