精品解析：河南省郑州市中牟县第一高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（4月）数学试题

2023——2024学年高一下学期第二次月考数学试题 命题人： 审题人： 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形，如图， 由斜二测画法可知， 所以， 故选：C． 3. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和夹角为两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两的夹角为或, 当夹角为时，； 当夹角为时， ； 综上所述：或. 故选：C． 4. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的特征及扇形的弧长公式计算即可. 【详解】由圆锥的特征可知圆锥的侧面展开图形成的扇形弧长为底面圆的周长， 则该弧长为， 又，由扇形的弧长公式可知：圆锥的母线长为. 故选：B 5. 在中，角的对边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 设，，，所以. 故选：A 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱和圆台的体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面圆半径为，底层圆台的上下底面圆半径分别为，且, 则青铜器的体积为， 故选：D 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化边为角，再结合降幂公式及两角和的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 由正弦定理可得， 所以，得， 在中，所以， 又，所以，即三角形为直角三角形. 故选：B. 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用可以求解的向量来表示. 【详解】记圆心为，则， 因为互为相反向量， 所以， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心， 所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2， 当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时. 所以. 故选：B 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 平行六面体的每个面都是平行四边形 【答案】BC 【解析】 【分析】由正四棱锥的概念判断选项B；由旋转体的结构特征判断选项A,C；由平行六面体的特征判断选项D. 【详解】对于A，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故选项A正确； 对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故选项B错误； 对于C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，而不是用一个平面去截圆锥，故选项C错误， 对于D，平行六面体的每个面都是平行四边形，故选项D正确， 故选：BC. 10. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 11. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判断A；利用特殊值法可判断B；利用复数的除法化简复数，结合复数的模长公式可判断C；解方程可判断D. 【详解】对于A，因为，则，其虚部为2，故A正确； 对于B，取，此时，但，故B错误； 对于C，若，则，故，故C正确； 对于D，若，则，解得，故D错误. 故选：AC. 12. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求，结合向量共线的坐标运算求解. 【详解】由题意可得：， 若B，C，D三点共线，可知， 则，解得. 故答案为：. 13. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 【答案】38.3 【解析】 【分析】设，则，在中利用正弦定理求解即可. 【详解】设，在中，，则， 在中，由正弦定理得，所以， 结合，，解得.所以泉标的高度约为38.3米. 故答案为：38.3 14. 在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式即可求解. 【详解】复数，对应的点关于直线对称，，则， 故 故答案为：. 15. 解答下列各题： （1）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； （2）已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得. （2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 （1）设复数， 因为为实数，所以，则复数， 又因为为纯虚数， 则，得， 所以复数． 【小问2详解】 ， 由复数表示的点位于第四象限，可得，解得， 当时，复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴m的取值范围为. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量平行关系和模长公式得到方程组，求出或； （2）根据向量垂直关系得到方程，求出，进而利用夹角余弦公式得到夹角. 【小问1详解】 设，根据，可得， 又，解得或， 当时，，当时，， 故或； 【小问2详解】 ， ，故，即， 故， ，故， 故与的夹角. 17. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理和三角函数值与角的关系可求出； （2）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理求出，最后再利用正弦定理求出外接圆半径，求得最后结果. 【小问1详解】 因为，整理得 又由余弦定理得，所以，即 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）得，因为的面积，所以，所以， 由于，所以， 又由余弦定理：，所以． 所以， 所以由正弦定理得，所以． 18. 如图，在中，点在边上，． （1）若，，，求； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，在与中，利用余弦定理求解即得. （2）由给定条件，求出角的范围，再利用正弦定理边化角，借助差角的正弦及正切函数的性质求解即得. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，即， 而，解得，则， 在中，， 由余弦定理得. 【小问2详解】 在锐角中，，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此，即， 所以的取值范围是. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . 【小问3详解】 点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023——2024学年高一下学期第二次月考数学试题 命题人： 审题人： 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5 3. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 或 4. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别是，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，分别为角的对边），则的形状可能是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面 B. 正四棱锥的侧面都是正三角形 C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D. 平行六面体的每个面都是平行四边形 10. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 复数的共轭复数的虚部为2 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 12. 已知向量，，，若B，C，D三点共线，则______． 13. 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为，则小明同学求出泉标的高度约为______米. （参考数据：，，） 14. 在复平面内，复数，对应的点关于直线对称，若，则____________________． 15. 解答下列各题： （1）已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z； （2）已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限． 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标; （2）若，且，求与的夹角θ． 17. 在中，设角所对的边长分别为，且． （1）求角； （2）若的面积，，求的值． 18. 如图，在中，点在边上，． （1）若，，，求； （2）若是锐角三角形，，求的取值范围． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $